КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2001 ГОДА, 8 КЛАСС

ОКРУЖНОЙ ТУР ЮГО-ВОСТОЧНОГО ОКРУГА, 17 АПРЕЛЯ 2001 ГОДА

1. (5 баллов) УЧИТЬСЯ, УЧИТЬСЯ И УЧИТЬСЯ
Для нумерации страниц нового учебника математики потребовалась 2001 цифра. Сколько страниц в этом учебнике?

Решение. Сначала выясним, какие числа использовались в нумерации. Однозначных чисел 9 (от 1 до 9), двузначных - 90 (от 10 до 99). Вместе они содержат 9*1+90*2=189 цифр, что недостаточно. Трехзначных чисел 900 (от 100 до 999), и они содержат 900*3=2700 цифр, что уже больше, чем нужно. Значит, будут использованы все однозначные и двузначные числа, трехзначные числа (не все), а четырехзначные - нет.
Из 2001 цифры на трехзначные числа приходится 2001-189=1812 цифр, значит, трехзначных чисел будет 1812:3=604. Всего получаем 9+90+604=703 страницы.

2. (7 баллов) ТВОЙ КОНЬ НЕ БОИТСЯ ОПАСНЫХ ТРУДОВ...
Султан закупил для своей армии партию боевых слонов и коней (без воинов), заплатив за них 444 барана и усилив ее таким образом на 152 воина. Затем он купил партию поменьше (по тем же ценам), снова расплатившись баранами, и усилил армию еще на 18 воинов. Один боевой слон стоит 100 баранов и заменяет 32 воина. Сколько стоит боевой конь, если он заменяет 3 воинов?

Решение. На первый взгляд кажется, что эта задача решается обычной системой линейных уравнений. Обозначим, как обычно, неизвестное через x, количество слонов - через s, количество коней - через k. Тогда воины дадут нам уравнение
32*s + 3*k=152,
а бараны - уравнение
100*s+x*k=444.
Имеем на три неизвестных два уравнения, что недостаточно для решения. Придется использовать дополнительно соображения неотрицательности и целочисленности неизвестных и прибегнуть к перебору. Проще всего перебирать слонов - они большие (по 100 баранов!), поэтому их количество сильнее всего ограничено. Действительно, их может быть от 0 до 4, поскольку 5 слонов стоят уже 500 баранов. Для нахождения количества коней можно использовать первое уравнение:
k=(152-32*s):3,
а для вычисления стоимости коня - второе:
x=(444-100*s):k.
Результат представляется следующей табличкой:
СлоновКонейСтоимость коня
050,(6)-
1408,6 барана
229,(3)-
318,(6)-
485,5 барана

В трех вариантах из пяти получается дробное количество коней, что невозможно. В остальных двух получаются два ответа, оба дробные. Это не противоречитусловию задачи - в ней никто не покупает одного коня по этой цене.
Теперь обратимся ко второму условию. Поскольку слон стоит 32 барана, ясно, что куплены были только кони - именно, 18:3=6 коней. Сначала это условие кажется ненужным, но теперь ясно, что оно дает - 6 коней должны стоить целое количество баранов! Это позволяет отбросить первый ответ: 8,6*6 - число дробное, и оставить второй: 5,5*6=33 барана (целых). Итак, боевой конь стоит 5,5 барана.

3. (10 баллов) АХ, КАРУСЕЛЬ, КАРУСЕЛЬ
На крутящейся карусели стоят 1000 лошадок. Дворник моет каждую 6-ю лошадку, проезжающую мимо него (1-ю, 7-ю, 13-ю, и т. д. по кругу). При повторных кругах ранее мытые лошадки считаются и могут мыться еще раз. Можно ли выбрать лошадку так, чтобы не оказаться помытым (вместе с ней) через 1000 кругов?

Решение. Как выразить математически условие "Каждая шестая лошадка, начиная с первой"? Это числа, которые при делении на 6 дают остаток 1, т. е. выражаются формулой 6n+1. Последнее такое число (из 1000) - это 996+1=997. Отсчитав 6 лошадок (998, 999, 1000, 1, 2, 3), получим, что в начале второго круга будет помыта 3-я лошадка. Каждая 6-я лошадка, начиная с 3-й - это числа, которые при делении на 6 дают остаток 3, т.е. выражаются формулой 6n+3. Последняя такая лошадка имеет номер 996+3=999, а следующая через 6 по кругу - номер 5. Значит, на третьем круге будут мыться лошадки с номерами 6n+5. Последнее такое число - 990+5=995, так что 4-й круг снова начнется с 1-й лошадки. Далее вычисления, а вместе с ними и последовательность номеров, будет повторяться. Мы видим, что номера мытых лошадкок имеют вид 6n+1, 6n+3 и 6n+5 - все нечетные. Значит, лошадки с четными номерами останутся немытыми, и можно выбрать любую такую лошадку (например, вторую).

4. (12 баллов) ХОРОШО ИМЕТЬ ПРАВИЛЬНОГО ПАПУ
Каждый учебный день к школе из дома за Вовочкой приезжает "Мерседес". Ровно в одно и то же время Вовочка садится в машину и едет домой. Однажды занятия в школе закончились на час раньше, и Вовочка решил отправиться домой пешком. По дороге он встретил едущий навстречу "Мерседес", сел в него и вернулся домой на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз "Мерседес" движется быстрее Вовочки?

Решение. На первый взгляд задача кажется нерешаемой - в ней почти ничего не известно! Например, не дано ни одного расстояния - как же найти нужные скорости? Правда, сами скорости искать не надо, требуется лишь их отношение. Неизвестные расстояния придется как-то обозначить и надеятся, что в окончательный ответ они не войдут.
Обозначим школу буквой Ш, дом - Д, место встречи - В. Известно, что "Мерседес", выехав из Д в обычное время, вернулся на 10 минут раньше. Где он сэкономил эти 10 минут? Он не проехал (туда и обратно) расстояние ВШ. Значит, это расстояние он проехал бы туда и обратно за 10 минут, а в одну сторону - за 5 минут.
В точке В "Мерседес" встретился с Вовочкой. Если бы этого не произошло, то через 5 минут "Мерседес" подъехал бы к школе - точно к концу занятий. Значит, в точке В "Мерседес" был за 5 минут до обычного конца занятий. Вовочка оказался там одновременно с "Мерседесом". Если он вышел из школы за час до обычного конца занятий, а пришел в точку В за 5 минут до конца, то на путь ВШ он затратил 60-5=55 минут.


Итак, Вовочка тратит на расстояние ВШ 55 минут, а "Мерседес" - 5 минут. Значит, "Мерседес" движется в 55:5=11 раз быстрее Вовочки.
Заметим, что если "Мерседес" не нарушает Правила дорожного движения и едет со скоростью 60 км/ч, то Вовочка движется с обычной для пешехода скоростью - около 5,5 км/ч.

5. (10 баллов) КАЖДЫЙ ДОЛЖЕН НАЙТИ СВОЙ УГОЛ
Из вершины B прямого угла DABC проведена медиана BD. Окружность, вписанная в DABD, касается стороны AD в середине. Найти углы DABC.

Решение. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна по длине половине этой гипотенузы. Значит, AD=BD, т. е. DABD равнобедренный. Вписанная окружность отсекает точками касания L, M, N на сторонах угла равные отрезки (AL=LB=BM=MD=DN=NA). Сравнивая эти отрезки и учитывая, что точка касания делит сторону AD пополам, находим, что все эти 6 отрезков в DABD одинаковы, т.е. он равносторонний. Отсюда /РA = 60o , а /РC = 30o .

6. (12 баллов) ПРАКТИКУМ КАЗНАЧЕЯ
Имеется 100 монет, среди них несколько фальшивых, и рычажные весы без гирь. Все настоящие монеты одинаковы; все фальшивые монеты также одинаковы и весят легче настоящих. За 51 взвешивание найти количество фальшивых монет (сами монеты отбирать не обязательно).

Решение. Эта задача оказалась более сложной. Ясно, что каждая монета должна быть взвешена, иначе про нее ничего нельзя будет сказать. Ясно также, что взвешивать монеты по одной бесполезно: каждую монету можно будет взвесить лишь по разу, и если чаши весов останутся в равновесии, то взвешивание окажется бесполезным. Можно взвешивать монеты парами, если есть подходящий эталон. В качестве такого эталона можно взять пару из одной фальшивой и одной настоящей монеты. На первую чашу весов кладем эталонную пару, а на вторую - пару неизвестных монет. Если вторая чаша поднялась, обе монеты на ней фальшивые, если опустилась - обе настоящие; если весы остались в равновесии, на второй чаше фальшивая и настоящая монеты (мы не знаем, какая из двух фальшивая, но нам это и не нужно).
Все это хорошо, но у нас нет эталона. Придется начинать без него. Разобьем 100 монет на 50 пар. Выберем одну пару и положим на чаши весов по одной монете. Если равновесие нарушилось, то монеты разные - нам повезло, требуемый эталон найден. Сравниваем с ним остальные 49 пар, как описано выше. Задача решена за 50 взвешиваний.
Если при первом взвешивании весы остались в равновесии, то монеты в выбраной паре одинаковые - то ли обе фальшивые, то ли обе настоящие. Делать нечего - используем пока эту пару в качестве эталона, взвешивая с ней остальные пары, пока равновесие не нарушится. Так как весы при взвешиваниях оставались в равновесии, все взвешенные до этого пары были одинаковыми и совпадали с первой. Как только мы найдем пару, отличную от первой, мы сможем сказать, какие монеты были в первой паре (и всех совпадающих с ней парах). Это зависит от того, опустилась или поднялась чаша с первой парой - ясно, что чаша с парой настоящих монет не поднимется (а с парой фальшивых не опустится), какая бы пара ни лежала на другой чаше.
Итак, со всеми ранее взвешенными монетами мы разобрались. Теперь можно сделать правильный эталон. Кладем на весы по одной монете из последней пары (той, которая нарушила равновесие). Если монеты разные, требуемый эталон найден. Если монеты одинаковые, составляем эталон из одной монеты первой пары и одной монеты последней пары. Это действительно подходящий эталон, поскольку известно, что эти две монеты различны. Остальные пары сравниваем с новым эталоном, как описано выше. Здесь потребуется 51 взвешивание.