прошла в воскресенье 27 апреля 2003 года
в школе 444.
1. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (исследование вопроса о количестве решений не требуется).
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD ÐABC= 900, Ð BAC = Ð CAD, AC = AD, DH — высота треугольника ACD. В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?
3. Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС. На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС) выбраны соответственно точки M и L так, что Ð MBA = Ð LBC. Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что BK = BC и BF = AB. Докажите, что точки M, K, F и L лежат на одной окружности.
4. В треугольнике ABC M — точка пересечения медиан, O — центр вписанной окружности, A', B', C' — точки ее касания со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что, если CA' = AB, то прямые OM и AB перпендикулярны.
5. Дан треугольник АВС. Точка О1 — центр прямоугольника ВСDE, построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О2 и О3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО1, ВО2 и СО3 пересекаются в одной точке.
6. На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
Дипломы I степени
Тестов Владимир лицей "Вторая школа"
Трепалин Андрей 82 (Черноголовка)
Чмутин Иван 57
Дипломы II степени
Гусаков Алексей 218
Гаврилюк Андрей 5 (Долгопрудный)
Головко Алексей 82 (Черноголовка)
Троицкий Григорий 1 (Фрязино)
Родионов Игорь 1 (Фрязино)
Дипломы III степени
Озерин Алексей 1557
Новиков Алексей 1543
Заболотских Александр 57
Кондакова Анна 1543
Зыков Анатолий 218
Абрамов Ярослав 1543
Милановский Георгий 57
Власов Павел 57