Предлагаемый цикл задач связан с понятием выпуклого многогранника, обобщающим понятие выпуклых многоугольника на плоскости и многогранника в трехмерном пространстве на случай пространства любой размерности.
Выпуклый многогранник может быть определен, как выпуклая оболочка конечного множества точек, или как пересечение конечного числа полупространств (если это пересечение является ограниченным).
1. Покажите, что в n-мерном пространстве существуют аналоги трехмерных многогранников - куба, тетраэдра и октаэдра.
Определение. Эти многогранники называют n-мерными кубом, симплексом и октаэдром соответственно.
Легко заметить, что если на каждой грани выпуклого трехмерного многогранника выбрать по точке, те пары из них, которые принадлежат смежным граням, соединить ребрами, то получится новый многогранник. Так из куба получится октаэдр, из октаэдра - куб, а из тетраэдра - тетраэдр. Эту конструкцию можно обобщить на n-мерный случай.
2. Докажите, что для любого многогранника M существует
двойственный ему многогранник M'. Между гранями многогранников M и M'
можно установить взаимно-однозначное соответствие f, такое, что:
1) если Г - грань многогранника M размерности k, то
f(Г) - грань многогранника M' размерности n-k-1;
2) если грань Г1 многогранника M содержится в грани Г2
большей размерности, то грань f(Г2) многогранника M' содержится
в грани f(Г1).
3. В сечении четырехмерного куба трехмерным пространством, перпендикулярным главной диагонали, получаются трехмерные многогранники. Какие? (Естественно, ответ зависит от того, в какой точке пространство сечения пересекает эту диагональ.)
Указание. Рассмотрите трехмерный аналог задачи. Желательно, исходя из аналогий, догадаться, каким будет ответ, а затем строго это доказать.
4. Существует ли многогранник, отличный от симплекса,
а) любые две вершины которого соединены ребром?
б) любые две грани старшей размерности пересекаются?
Определение. Многогранник называется симплициальным, если все его грани (коразмерности больше 0) - симплексы. Многогранник, двойственный к симплициальному называется простым. Иными словами, простой n-мерный многогранник это такой, из каждой вершины которого выходит ровно n ребер.
Считаем заданным некоторый многогранник M. Обозначим через ai
(0<
i<
n) количество его граней размерности i. Рассмотрим многочлен
PM(t)=an(t-1)n+an-1(t-1)n-1+...+a1(t-1)+a0.
Раскрыв скобки, его можно привести к виду
PM(t)=bntn+bn-1tn-1+...+b1t+b0.
Многочлен PM(t) называется комбинаторным многочленом многогранника M.
5. Найдите комбинаторный многочлен для n-мерного
а) куба;
б) тетраэдра;
в) октаэдра.
6. Выразите коэффициенты bi комбинаторного многочлена через количества ai граней всех размерностей и наоборот.
Определение. Пусть M - простой многогранник, e - вектор в пространстве, не параллельный ни одному из ребер M. Снабдим каждое ребро многогранника M стрелкой в направлении проекции на него вектора e. Назовем индексом (относительно вектора e) вершины многогранника количество выходящих из нее стрелок. (Поскольку M - простой, то индекс вершины может принимать значения от 0 до n.)
Обозначим через ci количество вершин простого многогранника индекса i.
7. Выразите числа ci через числа ai (естественно, для нахождения каждого числа, можно использовать все ai) и наоборот.
8. Докажите, что bi=ci для любого i и любого вектора. В частности, количество вершин индекса i не зависит от выбора вектора e.
9. (Соотношения Дэна-Соммервиля) Докажите, что коэффициенты комбинаторного многочлена простого многогранника симметричны, т.е. bi=bn-i для всех 0< i< n.
Замечание. Соотношение b0=bn называется формулой Эйлера и справедливо для любых многогранников, а не только простых.
10. Докажите, что коэффициенты комбинаторного многочлена простого
многогранника
а) неотрицательны;
б) положительны.