Задача 2. Почти арифметическая прогрессия
Предложена и представлялась К. Р. Салиховым.
Вводные задачи
Определение. Будем называть множество точек X из полуинтервала [0,1)
всюду плотным, если для любого полуинтервала [a,b) c [0,1) существует
такая точка x c X, что x c [a,b).
1.
Докажите, что если X всюду плотно на [0,1), то для любого полуинтервала
[a,b) c [0,1) существует бесконечно много таких точек x c X, что
x c [a,b).
2.
а) Если a - рациональное число, то
множество { {ka} | k c N}
не является всюду плотным на [0,1) ({x} означает дробную часть x).
б) Если a - иррациональное число, то множество
{ {ka} | k c N } является всюду
плотным на [0,1).
Для каждого фиксированного a и полуинтервала
[a,b) c [0,1) рассмотрим множество K тех натуральных значений k, при
которых {ka} c [a,b). Общая проблема состоит
в том, чтобы при данных a и [a,b) описать это
множество K. Так как K - подмножество N, то K
удобно представлять себе как возрастающую последовательность натуральных
чисел а0, а1, а2, ... (которая может, конечно,
не содержать ни одного члена, если K пусто). Наша цель будет состоять в
нахождении по данному номеру n числа an.
Основные задачи
Пусть m - натуральное число, 0 <
a < 1/m. Для начала попытаемся найти множество
K для числа a и полуинтервала
[ma,1) c [0,1).
Легко видеть, что a0 = m.
3. Докажите, что K бесконечно.
4. Найдите a1.
Подсказка 1. Докажите, что существует и единственно
t c N, такое, что
(t-1)/((t-1)m+1) <
a < t/(tm+1).
5. Пусть an и an+1 - два последовательных
члена последовательности an.
При каком условии (an+1-an) c K?
6. Какие значения может принимать разность
аn+1-an?
Подсказка 2. Подумайте, когда, например,
{(an+a1)a}c
[ma,1).
7. Докажите, что (an-n) делится на m.
8. Докажите, что [ana] =
(an-n)m-1 (где [x] - наибольшее целое число, не превосходящее x).
9. По данному n научитесь находить an.
10. Найдите все натуральные числа k, такие, что десятичная запись
числа 3k
начинается с цифры 9.
Задачи на исследование
11. Попробуйте заменить натуральное число m на какое-нибудь
рациональное.
12. Что произойдет, если мы заменим полуинтервал
[ma,1) на полуинтервал
[ma, (p/q)a), где p,q -
натуральные числа?