
\documentclass{article}
\usepackage{list1,economic,latexsym,amssymb,amsmath,amsthm,russcorr}
\begin{document}
\reversemarginpar
\section*{Суммы степеней и числа Бернулли: после промежуточного
финиша}
\subsection*{Ещ\"{е} о мультиномиальных коэффициентах}

Никто не пытался предложить интерпретации для
\hbox{$\dots$}--номиальных коэффициентов. Следующие две задачи
содержат довольно забавные интерпретации.

{\bf 19. }(Гипотеза Фримана Дайсона) Пусть $a_1,\ldots,a_n$~---
неотрицательные целые числа. Докажите, что свободный член в
$\prod_{1\le i\ne j\le n}^{}(1-\frac{x_j}{x_i})^{a_j}$ равен
${\binom {a_1+\ldots+ a_n}{a_1,\ldots,a_n}}$.

{\bf 20$^\diamondsuit$. } Докажите, что ${\binom n k}_q$
совпадает с числом $k$\ч мерных подпространств в $n$\ч мерном
пространстве над конечным полем $\mathbb F_q$.

\subsection*{Известно ли Вам решение, не использующее \лк Суммы
степеней и \ldots\пк?} Вам предлагается не только попробовать
найти элементарное решение, но и предлагать свои задачи\ldots

{\bf 21. }(предложена О.~Гольбергом и М.~Левиным) Пусть $n$~---
целое число, а $p$~--- простое число, большее~2.  Докажите, что
$\sum\limits_{k>0}^{}{\binom{2n+1}{k(p-1)}}$ делится на $p$.
(Удобно считать, что ${\binom{n}{k}}=0$ при $n<k$.)


\subsection*{$\zeta$\ч функция: вещественная и $p$\ч адическая}
В следующих задачах представлены некоторые результаты,
касающиеся так называемой $\zeta$\ч функции Римана
$\zeta(s)=\sum\limits_{n\ge1}^{}\frac{\displaystyle
1}{\displaystyle n^s}$.

{\bf 22. }Докажите следующее рекуррентное соотношение ($k>1$):
$$
\sum_{i=0}^{k}{\binom {2k}{2i}}B_{2i}B_{2k-2i}=(1-2k)B_{2k}.
$$

{\bf 23. }Пусть $f(m,n)=\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle
mn^{2k-1}} +\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle m^{2k-1}n}+
\frac12\sum\limits_{j=2}^{2k-2}\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle m^jn^{2k-j}}$.
Докажите, что $$f(m,n)-f(m+n,n)-
f(m,m+n)=\sum_{0<2j<2k}^{}\frac{1}{m^{2j}n^{2k-2j}}.$$

{\bf 24. }Эйлер доказал, что
$\sum_{n\ge1}^{}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Пользуясь этим
результатом, вычислите $\sum_{k\ge1}^{}\frac1{n^{2k}}$ для всех
целых $k$. (Ответ выражается через числа Бернулли.)

{\bf 25$^\diamondsuit$. }Попробуйте объяснить следующие
равенства:

\p $1+2+\ldots=-\frac{1}{12}$

\p $1^2+2^2+\ldots=0$

\p $1^{n-1}+2^{n-1}+\ldots=-\frac{B_n}{n}$, где $n$~---целое число,
большее~1.

{\bf 26. }Пусть целые числа $m, n$ и простое число $p$ таковы,
что $2m$ не делится на $p-1$, а $2m-2n$ делится на $p^N(p-1)$
для некоторого целого $N$. Докажите, что числитель дроби
$(1-p^{2m-1})\frac{B_{2m}}{2m}-(1-p^{2n-1})
\frac{B_{2n}}{2n}$ делится на $p^{N+1}$. (Это означает, что
\лк$p$\ч адическая $\zeta$\ч функция непрерывна\пк.)

\end{document}

{\bf 25$^\diamondsuit$. }Try to explain the equalities:
\p $1+2+\ldots=-\frac{1}{12}$

\p $1^2+2^2+\ldots=0$

\p $1^{n-1}+2^{n-1}+\ldots=-\frac{B_n}{n}$ for an integer $n>1$.
\end{document}
