%\лк 
%\пк
 
\documentclass{article}
\usepackage{list1,economic,latexsym,amsmath,amsthm,russcorr}
\begin{document}
\reversemarginpar
\newcounter{aaa}
\setcounter{aaa}{19}
\newtheorem*{опр}{Определение}
%\newtheorem*{опр1}{Определение-напоминание}
\newtheorem*{zam}{Замечание}
\newtheorem*{aga}{Hаблюдение}
\section*{Суммы степеней и числа Бернулли}
{
\small
\subsubsection*{Введение/предуведомление}

Предлагаемые задачи призваны познакомить участников Конференции с
двумя сюжетами, тесно связанными между собой. Первый из них ---
нахождение суммы степеней первых $n$ натуральных чисел. Ответ
в этой задаче формулируется в терминах одной замечательной
последовательности,
известной большинству математиков,--- последовательности чисел
Бернулли, арифметическим свойствам которой посвящен второй сюжет.
Эта последовательность появлялась в самых разных
разделах математики:теории чисел, анализе (действительном и $p$\д
адическом), алгебраической топологии, теории групп Ли \итд
У такой популярности
есть неприятное следствие: все по-настоящему замечательные свойства
этой последовательности открыты очень давно, а надежда на
что-то новое невелика. Поэтому задачи про числа Бернулли в известном
смысле
менее 
\лк исследовательские\пк , чем многие другие задачи Летних
Конференций.
Так что если Вы хотите увидеть по-настоящему новые сюжеты, где про
некоторые предлагаемые утверждения жюри даже не знает заранее, истинны
ли они (а ведь как раз так обычно бывает в жизни), то Вам следует
обратиться к другому циклу задач.

Обозначения: задачи, которые используют нестандартную технику
(под нестандартной техникой в основном имеются в виду
производящие функции), 
отмечены ромбиком ($^\diamondsuit$).
Вспомогательные факты (некоторые из них просто помогают освоиться,
некоторые таят в себе указания) 
отмечены квадратиком ($^\Box$). Общий
совет тем, кто видит эти факты в первый раз: не поленитесь доказать их
(это несложно).
}

%
%Обозначения, конечно, убогие...
%

\subsection*{Биномы: напоминание и закрепление}
В дальнейшем мы будем использовать биномиальную теорему. Поэтому полезно
вспомнить е\"е и решить несколько задач, обобщающих это известное
утверждение.

{\bf Определение-напоминание. }
{\it Биномиальные коэффициенты ${\binom n k}$ определяются для
неотрицательных
$n$ и $k$ равенством ${\binom n k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Более общо,
можно определить мультиномиальные (по\д русски их иногда
не очень удачно называют полиномиальные) коэффициенты
${\binom n {a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_m}}=\frac{n!}{a_1!a_2!\ldots a_m!}$
(для $m$\д ок неотрицательных целых чисел ($a_1,\,a_2,\ldots,a_m$) с
$a_1+a_2+\ldots+a_m=n$; ясно,
что ${\binom n k}={\binom n {k,\,n-k}}$).
Другое обобщение --- это $q$\д биномиальные
коэффициенты
${\binom n k}_q=\frac{n!_q}{k!_q(n-k)!_q}$ ($n!_q=1\cdot(1+q)\cdots
(1+q+\ldots+q^{n-1})$). Наконец, определим 
так называемые символы Похгаммера 
$[a]_n=a(a-1)\cdots(a-n+1),\,[a]^n=a(a+1)\cdots(a+n-1)$.
(По определению $[a]_0=[a]^0=1$.)
}

\zzz Докажите равенства для произвольных $x_1,\,x_2,\ldots,x_m$:

\p (Бином Ньютона)
$(x_1+x_2)^n=x_1^n+nx_1^{n-1}x_2+\ldots+{\binom n i}x_1^ix_2^{n-i}+
\ldots+x_2^n=\sum_{i=0}^{n}{\binom n i}x_1^ix_2^{n-i}$.

\p (Мультиномиальная теорема)
$(x_1+x_2+\ldots+x_m)^n=\sum_{a_1,\,a_2,\ldots,a_m}^{}{\binom n
{a_1,\,a_2,\ldots,a_m}}
x_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_m^{a_m}$, где суммирование происходит по всем
мультиномиальным коэффициентам, где сверху стоит $n$.

\zzz Докажите равенства для проивольных $a,\,b $  и натурального $n$:

\p $[a+b]_n=\sum_{i=0}^{n}{\binom n i}[a]_i[b]_{n-i}$.

\p $[a+b]^n=\sum_{i=0}^{n}{\binom n i}[a]^i[b]^{n-i}$.

\zzz Докажите для произвольных $q,\,z $ и натурального $n$ равенство
$(1+z)(1+qz)\cdots(1+q^{n-1}z)=\sum_{k=0}^{n}{\binom n
k}_qz^kq^{k(k-1)/2}$.
(Вывод. ${\binom n k}_q$ при любых $n$ и $k$ является многочленом от $q$,
что неочевидно из определения.)

\bigskip
{\bf Вопрос ({\it ещ\"е менее обязательный, чем прочие предлагаемые
задачи}). } Какие ещ\"е интерпретации для ${\binom n
k}$, ${\binom n {a_1,\,a_2,\ldots
,a_n}}$, ${\binom n k}_q$ Вы можете предложить?


\subsection*{Суммы степеней}
Знатоки истории науки говорят, что числа Бернулли были
определены Якобом Бернулли
в его работе
\лк Ars conjectandi\пк
\footnote{то есть
\лк Искусство предположения\пк. Это одна из первых работ по теории
вероятностей},
где среди прочих обсуждалась такая задача:

{\bf Задача JB. }{\it Пусть $S_k(n)=1^k+2^k+\ldots+(n-1)^k$. Найти такой
многочлен
$P_k(x)$, что $P_k(n)=S_k(n)$ для любого $n$.}

\z
\p Докажите, что такой многочлен $P_k(x)$ существует.

\p Найдите $P_k(x)$ для $k=1,2,3,4,5$.


Бернулли заметил (найдя $P_k(x)$ при небольших $k$), что коэффициенты
этих многочленов
подчиняются определенным закономерностям. А именно, существуют такие
числа
$B_0,\,B_1,\,B_2,\ldots,B_m,\ldots$, что
\begin{equation}
\label{bern}
S_k(n)=\frac1{k+1}\left(B_0n^{k+1}+{\binom{k+1}1}B_1n^k+\ldots
+{\binom{k+1}k}B_kn \right)
=\frac1{k+1}\sum_{i=0}^k{\binom{k+1}i}B_in^{k+1-i}.
\end{equation}

%Сейчас мы докажем это утверждение. 
Как обычно, доказательство не так уж сложно, когда становится ясно, что
именно надо доказывать.

\begin{опр}
Последовательность чисел Бернулли $B_m$ зада\"ется рекуррентным
соотношением\footnote{Это cоотношение
допускает удобную запись $(B+1)^{k+1}=B^{k+1}$, где
для приведения к знакомому виду надо раскрыть скобки и заменить степени
на нижние индексы. А те, кто знаком с 
производящими функциями, могут проверить,
что экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли --- это 
$B(t)=\frac{t}{e^t-1}$.}
\begin{equation}
\label{recc}
\sum_{i=0}^k{\binom{k+1}i}B_i=B_0+{\binom{k+1}1}B_1+\ldots+{\binom{k+1}i}B_i+
\ldots+(k+1)B_k=0
\end{equation}
при $k>0$ и условием $B_0=1$.
\end{опр}

%\begin{zam}
%Соотношение~(\ref{recc}) допускает удобную запись $(B+1)^{k+1}=B^{k+1}$,где
%для приведения к знакомому виду надо раскрыть скобки и заменить степени
%на нижние индексы. А те, кто знаком с производящими функциями, сразу
%заметят,
%что числа Бернулли --- коэффициенты ряда $B(t)=\frac{t}{e^t-1}$.
%\end{zam}

\z Докажите, что если так определять числа $B_k$, то
равенство~(\ref{bern})
выполняется.

\z Выпишите первые $20$ чисел Бернулли. Разложите на простые множители их
числители (указание: в основном они окажутся
простыми, хотя пример $B_{20}$ показывает, что это верно не всегда) и
знаменатели.

\z Докажите, что при неч\"етном $n>1\, B_n=0$.
%(Указание. Хотя самое простое
%рассуждение и не вполне элементарно, элементарное решение тоже существует.)

Теперь решение задачи JB не представляет никакого труда.

\z Выпишите многочлены $P_k(x)$ при $k<20$.\footnote{Бернулли с гордостью 
сообщает в своей книге, что ему удалось вычислить $S_{10}(1000)$ \лк за
половину четверти часа\пк .}

Выписав несколько многочленов $P_k(x)$, можно попытаться придумать
какие-то формулы
с их участием. Например, очевидно, что $P_1(x)\cdot P_1(x)=P_3(x)$.

\z
Найдите пропущенные коэффициенты:
\p $6P_1(x)\cdot P_2(x)=\ldots P_4(x)+\ldots P_2(x)$
\p $3P_2(x)\cdot P_2(x)=\ldots P_5(x)+\ldots P_3(x)$
\p $12P_2(x)\cdot P_3(x)=\ldots P_6(x)+\ldots P_4(x)$ 
\p $2P_3(x)\cdot P_3(x)=\ldots P_7(x)+\ldots P_5(x)$

\p Докажите, что для любого многочлена степени $k$ существует и
единственно
представление в виде
$a_{-1}+a_0P_0(x)+a_1P_1(x)+\ldots+a_{k-1}P_{k-1}(x)$,
где $a_{-1},\,a_0,\ldots,a_{k-1}$ --- числа (зависящие от многочлена).

Некоторые из напрашивающихся после проделанной Вами работы предположений
верны...

\p Докажите, что в таком представлении многочлена $P_n(x)P_m(x)$
встречаются
(с ненулевыми коэффициентами) только многочлены $P_l(x)$ с $l$ той же
ч\"етности,
что и $m+n+1$. (Указание: как {\it правильно} определить
$P_0(x)$?)

...а некоторые --- нет...

\p Найдите такое представление для многочлена $P_3(x)P_4(x)$.

\subsection*{Числители и знаменатели}
Следующий сюжет стал популярен после работ Э.~Куммера, который в 50-е
годы
\Roman{aaa} века связал свойства числителей чисел Бернулли с истинностью
Последней Теоремы Ферма\footnote{Используя наиболее современные идеи
теории чисел того времени, он доказал, что Последняя
Теорема
Ферма верна для каждого простого показателя $p$, не являющегося делителем
числителя ни одного из чисел $B_{2n}/2n$ (представленного в виде
несократимой
дроби). Такие простые числа называются регулярными. К сожалению,
неизвестно
даже, является ли множество регулярных простых чисел бесконечным. Зато
Иенсен в 1915 г. доказал, что не регулярных простых чисел бесконечно
много. Наименьшее
простое, не являющееся регулярным, это $37$ --- делитель числителя
$7709321041217$ числа $B_{32}/32$.}. По-видимому, это одна из основных
причин того, что эти числители устроены сравнительно загадочно.
В то же время знаменатели чисел Бернулли устроены весьма просто. 

\zzz Пусть $p$ -- простое число.
\p Докажите, что остатки от деления на $p$ образуют поле. (То, что их
можно
складывать и умножать, очевидно. Надо проверить, что для числа $a$,
не делящегося на $p$, существует такое число $b$, что $ab$ да\"ет остаток
$1$
при делении на $p$, и при этом остаток числа $b$ при  делении на $p$
определ\"ен однозначно.).
\p Докажите, что что для любого числа $a$, не делящегося на $p$, число
$a^{p-1}-1$ делится на $p$, а для $k<p-1$ найд\"ется
целое число $b$, не делящееся на $p$, для которого $b^k-1$ не делится на
$p$.
(Указание. В поле у многочлена степени $k$ не более $k$ корней.)

\z Докажите, что: 
\p $S_k(p)$ кратно $p$, если $k$ не делится на $p-1$
\p иначе $S_k(p)+1$ кратно $p$

\z (Т.~Клаузен ---~Х.~фон Штаудт, 1840 г.) \label{KvS}
$B_{2n}+\sum\limits_p\frac1p$ --- целое число, где суммирование ведется
по простым
$p$, для которых $2n$ кратно $p-1$.
%(Указание. Докажите, что
%$B_{2n}-S_{2n}(p)/p$ не содержит $p$ в знаменателе.)

\z Найдите без использования рекуррентного соотношения число $B_{22}$,
если
известно, что оно заключено между 6192 и 6193.

\z Докажите, что знаменатель числа $B_{2n}$ равен $6$ для бесконечно
многих $n$.

%(то, что он кратен $6$ --- банальное следствие
%%предыдущей
%задачи~\ref{KvS}).

\zz \p Докажите, что для любого $n$ $2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}/2n$ ---
целое число.
%(Указание. Используйте производящую функцию
%$B(t)$, чтобы получить ряд для $\tg t$ и изучите этот ряд.)
\p Докажите, что для любого целого $a$ $a^{2n}(a^{2n}-1)B_{2n}/2n$ ---
целое число.
%(Указание. Изучите логарифмическую производную $f'/f$ функции
%$f(t)=\frac{e^{at}-1}{e^t-1}$.)

Одним из источников информации (впрочем, весьма неполной
и косвенной) о числителях и знаменателях чисел Бернулли является
следующая
задача.

\z (Х.~фон Штаудт, 1845 г.) Знаменатель числа $B_{2n}/n$ делится на
простое число $p$ тогда и только тогда, когда знаменатель числа $B_{2n}$
делится на $p$.

\end{document}


