% 8 августа после обеда
% вставляем перенумерованные рисунки и ссылки на них в русский текст
% 8 августа перед обедом
% исправления ссылок на задачи и рисунки
% August 7, 2001
% 8 августа утро внесены дополнения Шаповалова; в рисунках только 
%замена 0 на 3 Английский текст не правился

 \NoBlackBoxes \input amstex \input epsf \documentstyle{amsppt} 
%\magnification=\magstep1
%\advance\vsize2cm
%\voffset=-1cm
%\advance\hsize1cm
%\advance\hoffset-0.5cm
\advance\vsize4cm
\voffset=1cm
\advance\hsize5cm
\advance\hoffset-1cm

\centerline{\uppercase{\bf Проекции скрещивающихся прямых}}
\smallskip
\centerline{\bf А. Гайфуллин, А. Скопенков, М. Скопенков и А. Шаповалов}
\smallskip




\hfill{\it So also werde ich alles in Erinnerung behalten:}

\hfill{\it Nur ein kleines Album von Miniaturen.}

\hfill{\it H. B\"oll, Im Tal der donnernden Hufe.}
\smallskip
{\bf Вводные задачи.}


0. Существует ли в пространстве одна или несколько 
замкнутых ломаных, дающие при проекции на плоскость данную картинку 
(см.  рис.  0)?  При этом каждое звено ломаной должно проецироваться в 
{\it целое} звено проекции.

%\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 0.abcd приблизительно здесь}
\smallskip
\centerline{\epsfbox{ris0.eps}}

1. Существует ли семейство прямых в пространстве,
которые при проектировании на некоторую плоскость дают данную картинку
(см. рис. 1)?
%\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 1.abcdefg приблизительно здесь}

\vfill

\medskip
\centerline{\epsfbox{ris1.eps}}

{\it Определения.}
Пусть на плоскости задано семейство прямых, никакие три из
которых не пересекаются в одной точке.
Нарисуем в местах пересечения прямых, что одна из прямых "проходит выше".
Полученная (плоская!) картинка называется {\it плетенкой}.
Плетенки {\it равны}, если они переводятся друг в друга подобием.
Плетенка называется {\it реализуемой}, если существует набор
прямых в пространстве, дающий при
проекции на некоторую плоскость данную плетенку.

Если условие задачи является формулировкой утверждения, то подразумевается,
что это утверждение нужно доказать.

\smallskip

\smallskip
{\it Определение.} Прямая в плетенке называется {\it монотонной}, если на ней
существует такая точка, что с одной стороны от нее прямая
проходит выше всех, а с другой --- ниже. В частности, прямая, проходящая
выше всех остальных или ниже всех остальных, тоже считается монотонной.

\smallskip
2. Реализуемость плетенки не меняется при отбрасывании монотонной 
прямой.

3. a) Если плетенка состоит из 1, 2 или 3 прямых, то каждая ее прямая
монотонна.

b) Если плетенка состоит из 4 или 5 прямых и каждая ее прямая не
монотонна, то плетенка не реализуема.

c) Существует реализуемая плетенка из 6 не монотонных прямых.

d) Существует бесконечно много реализуемых плетенок без монотонных прямых,
которые состоят из разного количества прямых.

\smallskip
{\it Определение.}
Если плетенку $B$ можно получить, выкинув одну или несколько прямых из
плетенки $A$, то $B$ называется {\it подплетенкой} плетенки $A$.

\smallskip
4. a) Плетенка, содержащая нереализуемую подплетенку,
сама является нереализуемой.

b) Существует нереализуемая плетенка, все подплетенки которой
реализуемы.

c) Существует бесконечно много нереализуемых плетенок
(с разным количеством прямых), все подплетенки которых реализуемы.

d) Для любого $n\ge4$ существует нереализуемая плетенка из $n$
прямых, все подплетенки которой реализуемы.

5. Пусть каждая прямая плетенки параллельна либо оси $Ox$, либо оси 
$Oy$.

a) Существует ли нереализуемая плетенка такого типа, в которой нет 
подплетенки вида 1g?

b)* Найдите критерий реализуемости таких плетенок.


6.* В этой "физической" задаче мы не приводим аккуратной
формулировки условия и не требуем аккуратного доказательства.
Важно не столько решить данную задачу, сколько использовать ее для
проведения эксперимента путем построения моделей и получения ответа в других
задачах (но не для их строгого доказательства!).

a) Пусть мы имеем достаточно много длинных тонких упругих
прутьев (или полосок).  Составим из них (слегка
изгибая прутья) фигуру, изображающую данную плетенку.
Предположим, что получилась жесткая конструкция, то есть фигуру
можно подвесить за одну точку так, чтобы она не распалась.
Тогда соответствующая плетенка не реализуема.

b) Плетенка реализуема тогда и только тогда, когда
построенная в (a) конструкция не содержит жестких подконструкций.

\smallskip
\newpage
{\bf Промежуточный финиш.}

%Будут рассказаны решения задач
После промежуточного финиша участники могли представить решения задач
3.d, 4.c, 5.ab, 6.ab, 7, 8, 9.ab, 10,11,12,13,14abcd,15.abcd.
В задачах 3.d и 4.c был приведен только пример, а решение можно было 
сдать и после промежуточного финиша.  
%Будет также роздана ксерокопия заметки С.  Л.  Табачникова в 'Кванте' о 
%сведении к системам линейных неравенств и новой физической интерпретации.

\smallskip
7. Реализуемость плетенки не изменяется при \qquad

a) замене плетенки на равную ей;

b) изменении всех пересечений прямых на противоположные (прямая,
проходившая "выше", будет проходить "ниже" и наоборот);

%замене всех проходов на переходы и наоборот;

c)* аффинном преобразовании;

d)* проективном преобразовании, если по одну сторону от образа
бесконечно удаленной прямой при этом преобразовании заменить все
пересечения прямых на противоположные.

%\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 2 приблизительно здесь}
\smallskip
\centerline{\epsfbox{ris2.eps}}

Возьмем плетенку и будем непрерывно двигать ее прямые (по
одной или несколько одновременно) так, чтобы они оставались прямыми,
типы пересечений не менялись,
параллельные оставались параллельными, пересекающиеся ---
пересекающимися, и ни одна прямая не проходила через точки пересечения
других прямых (см. пример на рис. 2).  Такое преобразование плетенки
называется {\it изотопией}, а начальная и конечная плетенка --- {\it
изотопными}.

На рис. 0 и 1 картинки и плетенки заданы с точностью до изотопии.

\smallskip

8. Рассмотрим плетенку, изотопную плетенке на рис. 1.f,  и диагонали 
$AD$, $BE$ и $CF$ шестиугольника $ABCDEF$.

a) Если диагонали пересекаются в одной точке так, как на рис.3.a, то
плетенка не реализуема.

b) Если диагонали пересекают друг друга так, как на рис. 3.b, то
плетенка не реализуема.

c) Если диагонали пересекают друг друга так, как на рис. 3.c, то
плетенка  реализуема.

d) Существуют две изотопные плетенки, одна из которых реализуема, а
другая нет (эту задачу можно решить и другим способом, 
отличным от намеченного в пунктах a,b,c)

\newpage

\vfill

\centerline{\epsfbox{ris3_a.eps}}

\vfill

\centerline{\epsfbox{ris3_b.eps}}

\vfill

\newpage
\centerline{\epsfbox{ris3_c.eps}}
\smallskip

{\it Определение.} Предположим, что в плетенке выделены 
две прямые $l_1$ и $l_2$ и выбрана ориентация на всех остальных 
прямых. Разрешается двигаться по прямым плетенки в 
направлении их ориентации (по прямым $l_1$ и $l_2$ можно двигаться в 
произвольном направлении) и переходить с одной прямой на другую, если 
первая прямая проходит в этой точке "выше" второй. 
Назовем плетенку {\it ацикличной}, если для любого выбора прямых 
$l_1$ и $l_2$ и ориентаций на оставшихся прямых нельзя пройти по 
замкнутому маршруту и вернуться в исходную точку.

9 a) Всякая реализуемая плетенка ациклична.

b)* Верно ли, что для любой ацикличной плетенки некоторая
изотопная ей плетенка реализуема?


10.* Существует бесконечная последовательность реализуемых плетенок,
в которой каждая плетенка не изотопна остальным и подплетенкам остальных.


\smallskip

{\it Определения.} 
{\it Сплетение} --- это неупорядоченный набор попарно 
скрещивающихся неориентированных прямых в пространстве.

{\it (Пространственная) изотопия} набора попарно 
скрещивающихся прямых --- это такое 
непрерывное движение прямых набора, в процессе которого они остаются 
попарно скрещивающимися.

\smallskip
11. Если $p=4k+3$, где $k$ --- любое целое, то всякое сплетение 
из $p$ прямых не изотопно своему зеркальному 
образу (указание:  см. задачи 12 и 13).

\smallskip
{\it Определение.} Пусть дана упорядоченная пара ориентированных 
скрещивающихся прямых.  Спроектируем эту пару на плоскость общего 
положения. Если полученная ориентированная плетенка такова, как на рис. 
4.a, то {\it коэффициент зацепления} этой пары равен $-1$, иначе $+1$.

\bigskip
\centerline{\epsfbox{ris4.eps}}
\smallskip

12. a)  Коэффициент зацепления не зависит от выбора плоскости проекции 
и сохраняется при одновременном изменении ориентации обеих 
ориентированных прямых.

b) Коэффициент зацепления упорядоченной пары ориентированных прямых не 
изменяется при изотопии.

c)  Две упорядоченные пары ориентированных скрещивающихся прямых 
изотопны тогда и только тогда, когда их коэффициенты зацепления равны.

d)*  Тройки ориентированных попарно скрещивающихся прямых изотопны  
тогда и только тогда, когда их попарные коэффициенты зацепления равны.

\smallskip
{\it Определение. Коэффициент зацепления упорядоченной тройки} 
ориентированных попарно скрещивающихся прямых --- это произведение трех 
попарных коэфффициентов зацепления.

\smallskip
13. a) Коэффициент зацепления тройки ориентированных прямых не зависит 
от выбора упорядочивания и ориентаций прямых.

b)  Зеркальная симметрия пространства изменяет коэффициент зацепления 
как пары, так и тройки прямых.

c) Набор из $p$ прямых содержит $p(p-1)(p-2)/6$ троек прямых.

d)  Число $p(p-1)(p-2)/6$ нечетно тогда и только тогда, когда $p=4k+3$, 
где $k$ --- целое.

\smallskip
%\newpage
{\bf Историческое замечание.}
Настоящий цикл элементарных задач появился в
{\it алгебраической теории узлов} [Maz88, ViDr88, Vir85].
Основными результатами нашего цикла являются задачи 4.cd (А.  Скопенков,
1989 [Kva89]) и 8 (Г. Гальперин и А. Скопенков, 1988; приведенные 
здесь решения получены А.Гайфуллиным в 2001 г.).  Интересные нерешенные 
задачи --- 5, 9.b и 10.

%пример построен , доказательство получено А. Гайфуллиным в 2001

\smallskip
{\bf Благодарности.}
Мы благодарим А. Б. Сосинского и А. Таламбуцу за полезные обсуждения и 
А.Кулыгина за подготовку компьютерной верстки.

\Refs

\ref \key Maz88 \by \phantom{xxxx} В. Мазуровский \jour Записки научных семинаров ЛОМИ
\vol 187 \yr 1988 \pages 121--134 \endref

\ref \key PrSh88 \by \phantom{xxxx} В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин \paper Задачи 
по стереометрии \endref

\ref \key Tab88 \by \phantom{xxxx} С. Л. Табачников \paper М1085абв \jour Квант
\vol 5 \yr 1988 \endref

\ref \key Tab89 \by \phantom{xxxx} С. Л. Табачников \paper Линейные неравенства 
и задача М1085 \jour Квант \vol 6 \yr 1989 \pages 38,60 \endref

\ref \key ViDr88 \by \phantom{xxxx} О. Я. Виро, Ю. В. Дроботухина
\paper Сплетения скрещивающихся кривых
\jour Квант \vol 3 \yr 1988 \pages 12--19 \endref

\ref \key Vir85 \by \phantom{xxxx} О. Я. Виро \jour ДАН СССР \vol 284:5 \yr 1985
\pages 1049--1052 \endref

\widestnumber\key{ViDr88}
\ref \key Kva89 \by \phantom{xxxx} {\it Нам пишут: Еще раз о
сплетающихся прямых} \jour Квант \vol 11  \yr 1989 \pages 33
\widestnumber\key{RSS95}
\endref

\endRefs


%\newpage
\bigskip
{\bf Решения задач, рассказанные на промежуточном финише.}

0. b),d) Ответ: нет. Объявим плоскость $ABC$ горизонтальной и начнем
   последовательно выяснять про остальные концы и точки пересечения,
   выше или ниже плоскости $ABC$ они лежат. Быстро придем к противоречию.

a),c) Ответ: да.

Заметим, что при изменении высоты вершины
ломаной проекция не изменяется. Если в проекции получаются
два пересекающихся отрезка, то зафиксировав три конца
отрезков и меняя высоту четвертого конца, мы можем
получить нужный нам тип пересечения.

(a) Построим ломаную в пространстве для любой проекции вида 0a.
Сперва расположим вершины $A,B,C,D,E$ на высоте 0. Расположив $H$ на
высоте $-1$, добьемся, что отрезок $BH$ пройдет под $CD$. Расположив
вершины $F$ и $G$ на высоте 1, получим отрезки $AF$ и $BG$ проходящие
над $CE$ и $AD$ соответственно. Теперь нетрудно выбрать высоты вершин
$K$ и $L$ так, чтобы $HL$ прошел над $GK$. Наконец, высоты вершин $M$ и
$N$ можно выбрать произвольно.

(с) Построим ломаную в пространстве для любой проекции вида 0с.
Выберем высоты вершин $A,B,C,D$ чтобы $AD$ шел над $BC$, и высоты
$E,F,G,H$ чтобы $EH$ шел над $FG$. Затем выберем высоты вершин $I,J$
чтобы $DI$ шел над $CJ$. Наконец, выберем высоту $K$ чтобы $FK$ шел
над $DI$, затем высоту $L$ чтобы $EL$ прошел под $FK$ и $CJ$.

%\smallskip
%\centerline{\it Рисунки 3 и 4 приблизительно здесь}
\smallskip
%\centerline{\epsfbox{ris3.eps}}


1. a),b) Ответ: да. Следует из задачи 2. \qed

c) [Tab88] Ответ: нет. Допустим, что требуемое
расположение (рис.~1.c) существует. "Опустим" прямую 1 в
вертикальной плоскости, не задевая прямую 3, так, чтобы она пересекла прямые
2 и 4 (рис. 5). Затем аналогично "опустим" прямую 3 так, чтобы она 
пересекла прямые 1 и 4. Наконец, повернем прямую 2 в вертикальной 
плоскости вокруг ее точки пересечения с прямой 1 так, чтобы она 
пересекла прямую 3.  При этом прямая 2 будет по-прежнему проходить под 
прямой 4.  Но в то же время прямые 2 и 4 должны пересекаться, т.к. 
каждая из них пересекает прямые 1 и 3. Следовательно, все четыре прямые 
должны лежать в одной плоскости. Противоречие. \qed

%\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 5 приблизительно здесь}

\medskip
\centerline{\epsfbox{ris5.eps}}

d) Ответ: нет. Эта плетенка содержит плетенку на рис.~1.c в
качестве подплетенки. \qed

 e) Ответ: нет. Доказательство аналогично задаче 4c.


%Допустим, что требуемое расположение прямых
%существует.
%Будем поворачивать прямую 3 в вертикальной
%плоскости пока она не
%пересечет прямую 1 или прямую 5. Рассмотрим 2 случая:

%1) Прямая 3 пересекла сначала прямую 1. Повернем
%прямую 3 в вертикальной плоскости относительно ее точки
%пересечения с прямой 1, так чтобы она пересекла прямую 4.
%Получившееся расположение прямых 1, 3, 4 и 5 с точностью до
%перенумерации прямых совпадает с расположением, получившемся в
%решении задачи 1.c после того, как мы опустили прямую 1 до
%пересечения с прямыми 2 и 4, а, следовательно, невозможно.

%2) Прямая 3 пересекла сначала прямую 5. Повернем
%прямую 5 в вертикальной плоскости относительно ее точки
%пересечения с прямой 3, так чтобы она пересекла прямую 1.
%Получившееся расположение прямых 1, 2, 3 и 5 с точностью до
%перенумерации прямых опять совпадает с расположением,
%получившемся в решении задачи 1.c после того, как мы опустили
%прямую 1 до пересечения с прямыми 2 и 4, и, следовательно,
%тоже невозможно. \qed

f) Ответ: да. Очевидно, что если из данной плетенки выкинуть
прямую 2, она станет реализуемой. Рассмотрим 5 прямых $m_1, m_3,
m_4, m_5, m_6$, дающих при проекции на горизонтальную плоскость
плетенку на рис.~1.f с выкинутой прямой 2. Пусть $m_2$ ---
прямая, пересекающая прямые $m_3$ и $m_5$ и проектирующаяся в
прямую 2.  Будем двигать прямую 2 параллельно самой себе по
направлению к точке пересечения прямых 3 и 5. При этом
прямую $m_2$ будем двигать так, чтобы она все время пересекала
прямые $m_3$ и $m_5$ и проектировалась в прямую 2. Начиная с
некоторого момента прямая $m_2$ будет проходить над прямой $m_6$ и
под прямыми $m_1$ и $m_4$. Немного повернем ее в вертикальной плоскости
так, чтобы она стала проходить под прямой $m_3$ и над прямой $m_5$.
Получим набор прямых $m_1,\ldots ,m_6$ дающий при проекции на
горизонтальную плоскость плетенку, изотопную данной. \qed

g) [Tab88] Ответ: нет. Допустим, что рассматриваемая конфигурация
возможна. Передвигая прямые в вертикальных плоскостях, как в
задаче 1.c, мы можем добиться, чтобы каждая из прямых $a, b, c$
пересекала каждую из прямых $l_1, l_2$, а $l_3$ пересекалась с
$a$ и $b$ (рис. 6.a). Пусть $A_1, A_2, \ldots, C_2$ --- точки
пересечения прямых $a$ и $l_1, a$ и $l_2, \ldots, c$ и $l_2$;
теми же буквами обозначаются и проекции этих точек на плоскость
плетенки. Спроектируем всю конфигурацию на вертикальную
плоскость $\lambda$, содержащую прямую $l_3$, вдоль прямой $c$
(рис. 6.b).  Прямая $c$ при этом проектируется в точку $C$.
Докажем, что эта точка лежит на прямой $l_3$ --- это бы
означало, что $c$ и $l_3$ пересекаются, и противоречило
предположению. Вертикальные плоскости, содержащие прямые $a, b$
и $c$, параллельны (так как проекции прямых  $a, b$ и $c$ на
плоскость плетенки параллельны), поэтому и проекции $a$ и
$b$ вдоль $c$ на плоскость $\lambda$ параллельны. Кроме того, в
плетенке $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3$, а следовательно, это
верно и для самой конфигурации, а значит, и для рис. 6.b (при
параллельной проекции отношения длин параллельных отрезков
сохраняются). Отсюда очевидно, что на рис. 6.b прямая $A_3B_3$
проходит через точку $C$, что и требовалось доказать. \qed

%\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 6 приблизительно здесь}

\bigskip
\centerline{\epsfbox{ris6.eps}}
\smallskip

2. Пусть $P$ --- плетенка с монотонной прямой, $P'$ ---
плетенка, получающаяся из нее при выкидывании этой прямой.
Очевидно, что если $P$  реализуема, то $P'$ реализуема. Докажем
обратное. Предположим, что $P'$ реализуема. Рассмотрим
соответствующее расположение прямых в пространстве. На
монотонной прямой плетенки $P$ (лежащей в горизонтальной
плоскости) отметим точку, с одной стороны от которой эта прямая
проходит "выше" остальных прямых плетенки $P$, а с другой ---
"ниже". Проведем через эту точку вертикальную прямую и немного
наклоним ее. Получим расположение прямых, дающее в проекции на
горизонтальную плоскость плетенку $P$. \qed

3. a) Очевидно, так как каждая прямая плетенки пересекается
только с двумя другими прямыми плетенки. \qed

b) Любая плетенка из 4 не монтонных прямых
изотопна плетенке на рис.~1.c или симметричной ей относительно
некоторой оси, а значит, нереализуема.
Любой набор 5 прямых общего положения на плоскости переводится
проективным преобразованием в "звездочку". Любая такая плетенка
из 5 не монотонных прямых либо содержит подплетенку из 4
не монотонных прямых, либо с точностью до изотопии и осевой
симметрии совпадает с плетенкой на рис.~1.e. В любом случае она
нереализуема. \qed

c) Например, плетенка на рис.~1.f. \qed

4. a) Очевидно. \qed \qquad b) Например, плетенка на рис.~1.c. \qed

\bigskip
%\newpage

{\bf Решения задач, рассказанные после промежуточного финиша.}

3.d) Первое решение.
Для любого набора прямых в пространстве, дающего в проекции плетенку 
без монотонных прямых, построим такой набор с удвоенным числом прямых.
А именно, сдвинем все прямые на один и тот же вектор, параллельнный 
плоскости проекции, отследив, чтобы ни одна из новых прямых не 
пересекла старую (подумайте, почему это всегда возможно). Тогда и в 
проекции набора из новых прямых все прямые будут не монотонными, тем 
более они не монотонны в проекции объединения наборов.

Второе решение. 
Докажем по индукции по $n$, что при $n>1$ существует
реализуемая плетенка из $3n$ не монтонных прямых.
При $n=2$ это следует из задачи 1.f. Пусть $n>2$ и $P$ 
--- плетенка из $3n-3$ не монтонных прямых.
Проведем в плоскости плетенки $P$ произвольную прямую $l$,
не параллельную никакой прямой плетенки $P$ и не проходящую ни
через какую точку пересечения двух прямых из $P$. Пусть $A$ и
$B$ --- две точки пересечения прямой $l$ с прямыми плетенки $P$,
такие что все остальные точки пересечения прямой $l$ с прямыми
плетенки $P$ лежат на отрезке $AB$.
Дополним плетенку $P$ тремя
прямыми, близкими к $l$, пересекающимися в трех точках вблизи
продолжения отрезка $AB$ за точку $B$. Расставим проходы и
переходы так: на пересечениях этих трех прямых --- как на
рис.~1.a, в точках пересечения этих трех прямых с прямой из
$P$, пересекающей $l$ в точке $A$ они проходят "ниже", а в
точках пересечения с остальными прямыми из $P$ --- "выше".
Полученная плетенка из $3n$ прямых не
содержит монотонных прямых, но реализуема. В самом деле, можно 
взять в пространстве три близких прямых, дающих при проекции на 
плоскость плетенки $P$ плетенку, изотопную плетенке на рис.~1.a и 
"вставить" эти три прямые в расположение прямых, дающее при проекции на 
эту плоскость плетенку $P$. \qed

\bigskip
\centerline{\epsfbox{ris7.eps}}


\medskip
4.c) Построим последовательность плетенок $L_n$ с требуемым свойством.
Плетенка $L_n$ будет состоять из $2n+1$ прямых --- продолжений самых 
длинных диагоналей правильного $(2n+1)-$угольника.  На рисунках~1.e, 
7  и 8 изображены плетенки $L_2$, $L_3$ и $L_4$.  Заметим, что 
пересечения каждой прямой плетенки $L_n$ с остальными прямыми устроены 
одинаково:  если идти так, чтобы центр $(2n+1)-$угольника оставался 
слева, то сначала прямая проходит $(n-1)$ раз ''под'', потом один раз 
''над'', затем опять ''под'' и наконец $(n-1)$ раз ''над''(рисунок~9).

Докажем нереализуемость плетенки $L_4$, в общем случае доказательство
аналогично.
Предположим, что наша плетенка является проекцией некоторого 
набора прямых в пространстве. 
Возьмем на прямой 1 точку $A$, которая 
проецируется в точку пересечения проекций прямых 1 и 2. и повернем 
прямую 1 в вертикальной плоскости вокруг точки $A$, до пересечения с 
прямой 2. Аналогично, повернем прямую 2 до пересечения с прямой 3, ..., 
повернем прямую 9 до пересечения с прямой 1.  Докажем нереализуемость 
полученной картинки.  Направим ось $z$ вниз перпендикулярно прямым 1 
and 2.  Пусть $p$ --- плоскость, проходящая через прямые 1 и 2.  
Докажем, что $z$-координата возрастает при движении вдоль прямых 3,4 
..., 9 по часовой стрелке вокруг центрального девятиугольника, и тем 
самым придем к противоречию.  Сначала докажем это для прямых 3, 4, 5.  
Заметим, что точка каждой из прямых 3, 4, 5, проецирующаяся в точку 
пересечения с проекцией прямой 1, находится выше плоскости $p$, при 
этом каждая из прямых 3, 4, 5 пересекает девятиугольник не выше 
плоскости $p$ (это очевидно для прямой 3, и доказывается по индукции 
для остальных прямых).  Для прямых 9, 8, 7 доказательство аналогично.  
Остается заметить, что прямая 6 проходит выше прямой 1 и ниже прямой 2, 
и нереализуемость плетенки доказана.

%Посмотрим, что происходит, если мы выбросим одну прямую из $L_n$,
%например, прямую $l_{n+1}$ на рисунке~9.
%Докажем индукцией по $k$, что плетенка $L^k_n$,
%получающаяся из $L_n$ выбрасыванием прямых $l_{k+1},\dots,l_{2n+2-k}$,
%реализуема.
%База $k=1$ очевидна.
%Предположим, что плетенка $L_n^k$ реализуема.
%Добавим к ней прямые $l_k$ и $l_{2n-k+2}$.
%Заметим, что на каждой из них найдется по точке такой,
%что по одну сторону от этой точки прямая идет ''выше''
%всех остальных прямых плетенки $L_n^{k+1}$,
%а по другую --- ''ниже''.
%Добавим к конфигурации, реализующей плетенку $L^k_n$,
%две вертикальные прямыеб проецирующиеся в указанные две точки.
%cлегка поворачивая их в вертикальной плоскости, проходящей
%через прямые $l_k$ и $l_{2n-k+2}$,
%мы получим конфигурацию, реализующую плетенку $L^{k+1}_n$.
%Наша индукция обрывается при $k=n$,
%но тогда мы как раз получаем, что плетенка, получающаяся
%из $L_n$ выбрасыванием прямой $l_{n+1}$, реализуема.
%
%Cуществует другое решение, основанное на задаче~3.b.
Докажем теперь реализуемость всех подплетенок.
Заметим, что после выбрасывания прямой $l_{n+1}$ прямые
$l_{n}$ and $l_{n+2}$ становятся монотонными.
Далее, после выбрасывания $l_{n-k+2}$ и $l_{n+k}$
монотонными становятся прямые $l_{n-k+1}$ и $l_{n+k+1}$.
Отсюда согласно задаче 2,
плетенка, получающаяся
из $L_n$ выбрасыванием прямой $l_{n+1}$, реализуема.
\qed

\smallskip
%\centerline{\it Рисунки 6-9 приблизительно здесь}
%\smallskip
%\centerline{\epsfbox{ris7.eps}}
\smallskip
\centerline{\epsfbox{ris8.eps}}
\smallskip
\centerline{\epsfbox{ris9.eps}}
\smallskip

7. a) Пусть $P_1$ и $P_2$ --- две равные плетенки на
горизонтальной плоскости, $f$ --- преобразование подобия
плоскости, переводящее $P_1$ в $P_2$.  Тогда $f$ однозначно
продолжается до преобразования подобия пространства $F$, которое
переводит верхнее полупространство в верхнее, а нижнее --- в
нижнее. Пусть $P_1$ реализуема и $A_1$ --- множество прямых в
пространстве, дающее при проекции на горизонтальную плоскость
плетенку $P_1$. Тогда множество прямых $A_2=F(A_1)$ дает при
проекции на горизонтальную плоскость плетенку $P_2$.
Следовательно $P_2$ тоже реализуема. \qed

b) Пусть плетенка $P'$ получается из плетенки $P$ заменой всех
пересечений на противоположные. Предположим, что $P$ реализуема.
Рассмотрим  семейство прямых, дающее при проекции на некоторую
плоскость плетенку $P$. Отразим его относительно этой плоскости.
Получим семейство прямых, дающее при проекции на эту плоскость
плетенку $P'$. \qed

c) Решение аналогично решению задачи 7.a. \qed

d) Любое проективное преобразование представляется в виде
композиции аффинного преобразования и центральной проекции в
пространстве с одной плоскости на другую . Поэтому достаточно
доказать наше утверждение для случая, когда наше проективное
преобразование является центральной проекцией плоскости $\pi$ на
плоскость $\pi'$ с центром в точке $O\not\in(\pi\cup\pi')$.
Так как исходная плетенка $P$ реализуема, то существует
семейство $A$ прямых в пространстве, которое при проекции на
плоскость $\pi$ дает плетенку $P$.  При этом можно считать, что
$A$ лежит в малой окрестности плоскости $\pi$.  Проекция с
 плоскости $\pi$ на плоскость $\pi'$ с центром $O$ продолжается
до проективного преобразования $f$ пространства.
Обозначим через  $l$ прямую пересечения плоскости $\pi '$ с
плоскостью, проходящей через точку $O$ параллельно плоскости
$\pi$. Тогда $l$ является $f$-образом одной из бесконечно
удаленных прямых.
Если прямая $n\in A$ проходит выше прямой $m\in A$, то прямая
$f(n)$ будет проходить выше прямой $f(m)$, если точка
пересечения их проекций на плоскость $\pi'$ лежит по одну
сторону от прямой $l$, и ниже --- если по другую. Поэтому
 семейство $f(A)$ прямых проецируется на плоскость $\pi'$ в
плетенку $P'$,  т.е. $P'$ реализуема.  \qed

%с последующей заменой всех проходов на переходы по одну
%сторону от  то плетенка $P'$ тоже реализуема.  Докажем это.

\smallskip
8. a),b) Допустим, эта плетенка реализуема. Рассмотрим прямые 1 --- 6 в 
пространстве. Повернем прямую 2 в вертикальной плоскости относительно 
точки, которая проектируется в точку пересечения проекций прямых 2 и 6, 
так чтобы она пересекла прямую 5.  Аналогично повернем прямые 4 и 6, 
так чтобы они пересекли прямые 1 и 3 соответственно. Повернем   прямую 
5 в вертикальной плоскости относительно точки  пересечения с прямой 2, 
так чтобы она пересекла прямую 6.  Теперь повернем прямую 4 в 
вертикальной плоскости относительно точки пересечения с прямой 1, так 
чтобы она пересекла прямую 5, и прямую 3 относительно точки пересечения 
с прямой 6, так чтобы она пересекла прямую 4.  Аналогично, повернув 
прямые 1 и 2, добьемся того, чтобы прямая 2 пересекала прямые 1 и 3.  
Пусть $\pi_1$ --- плоскость, содержащая прямые 1 и 2, $\pi_2$ --- 
плоскость, содержащая прямые 3 и 4, $\pi_3$ --- плоскость, содержащая 
прямые 5 и 6.  Пусть $A', B', C', D',  F'$ --- точки пересечения прямых 
получившейся конструкции, проецирующиеся в точки $A, B, C, D, F$ 
соответственно. Плоскости $\pi_1$ и $\pi_3$ пересекают плоскость 
$\pi_2$ по прямым $C'F'$ и $A'D'$ соответственно. Тогда в точке $O'$ 
пересечения  прямых $C'F'$ и $A'D'$ пересекаются все три плоскости 
$\pi_1, \pi_2$ и $\pi_3$, значит, прямая $B'O'$ пересекает прямые 1 и 6 
в некоторых точках $E'_1$ и $E'_2$. Заметим, что  точка $E'_2$ лежит на 
отрезке $D'E'$ и, следовательно, лежит ниже плоскости $\pi_1$. Это
противоречит тому, что прямая $B'O'$  лежит в плоскости $\pi_1$.  \qed

c) Докажем сначала, что плетенка, изображенная на рис.~3.d, реализуема.
Очевидно, она была бы реализуема, если бы не был задан тип перекрестка в
точке $E$. Рассмотрим семейство прямых, дающее при проекции на горизонтальную
плоскость  эту конструкцию, возможно, с другим типом перекрестка в точке $E$.
Определим точки $A', B', C', D' ,F' ,O' , E'_1, E'_2$ и плоскости $\pi_1,
\pi_2$ и $\pi_3$ так же, как в предыдущем пункте. Прямая $B'O'$ лежит в
плоскости $\pi_3$, значит, точка $E'_1$ лежит в плоскости $\pi_3$. 
Тогда в точке $E$ прямая 1 проходит выше плоскости $\pi_3$, а значит, и 
выше прямой 6. Следовательно, конструкция на рис.~3.d реализуема. 
Теперь проделаем в обратном порядке все преобразования предыдущего 
пункта. Получим, что плетенка на рис.~3.c тоже реализуема. \qed

%\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 10 приблизительно здесь}
%\smallskip

9. Предположим, эта плетенка реализуема. Рассмотрим множество прямых $A$, 
дающее при проекции на горизонтальную плоскость эту
плетенку. Пусть $m_1$ и $m_2$ --- прямые в $A$, проектирующиеся
в прямые $l_1$ и $l_2$ соответственно, $\pi$ --- плоскость,
параллельная прямым $m_1$ и $m_2$. Направим ось $z$ "вниз"
перпендикулярно плоскости $\pi$. Ориентируем все прямые из $A$,
кроме $m_1$ и $m_2$, так, чтобы при проходе по каждой из них
вдоль ориентации координата $z$ увеличивалась (если какая-нибудь
прямая из $A$ параллельна  плоскости $\pi$, ориентируем ее
произвольно). При проходе по любому замкнутому маршруту в
соответствии с условиями задачи координата $z$ уменьшается, чего
не может быть, так как в итоге мы возвращаемся в исходную точку.
Противоречие. \qed

\smallskip
10. Пример строится следующим образом (см. рис. 10 для $n=5$).
Для $k=1,\dots,n$
прямая $k$ проходит через точки с координатами $(n-k,0)$ и $(0,k-1)$.
При этом 1 проходит ''выше''
2 и $n$ и ''ниже'' остальных прямых.   Для $k=2,\dots,n-1$
прямая $k$ ''выше'' $1,\dots,k-2,k+1$ и ''ниже'' остальных прямых.
Прямая $n$ проходит ''выше'' $2,3,\dots,n-2$.

Докажем, что все подплетенки реализуемы.
В самом деле, после удаления прямой $k$ прямая $k-1$ становится 
монотонной, а прямая $n$ становится монотонной после удаления 1.  
Поэтому после выбрасывания любой прямой мы можем одну за другой 
выбросить все остальные прямые, не меняя реализуемости плетенки, 
следовательно, наша подплетенка реализуема.  

Докажем нереализуемость 
построенной плетенки.  Опустим прямую 1 до пересечения с прямыми 2 и 
$n$.  Повернем прямую 2 до пересечения с прямой 3, и т. д., прямую 
$n-1$ до пересечения с прямой $n$, прямую $n$ до пересечения с прямой 
1.  Направим ось $z$ вниз перпендикулярно прямым 1 и $n$.  В результате 
получим, что $z$-координата возрастает вдоль каждой из прямых 
$2,\dots,n-1$ в направлении от прямой 1 к $n$.  Значит, $z$-координата 
возрастает в последовательности точек пересечения $1\cap2$, $2\cap3$, 
$\dots$, $n-1\cap n$.  Но она равна нулю для точек $1\cap 2$ и $n-1\cap 
n$.  Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

\smallskip
%\centerline{\it Рисунок 10 приблизительно здесь}
\centerline{\epsfbox{ris10.eps}}
\smallskip

13--15. [ViDr88].  

%\bigskip
\define\rag{weave}
\define\rags{weaves}

\newpage
\centerline{\bf PROJECTIONS OF SKEW LINES}        
\smallskip
\centerline{\bf A. Gaifullin, A. Shapovalov, A. Skopenkov and M. Skopenkov}
\smallskip



\hfill{\it So also werde ich alles in Erinnerung behalten:}

\hfill{\it Nur ein kleines Album von Miniaturen.}

\hfill{\it H. B\"oll, Im Tal der donnernden Hufe.}
\smallskip


{\bf Introductory problems.}

0. A number of closed broken lines in space is projected on a plane so 
that each segment in space is projected into a separate segment on a 
plane.  The intersections of their projections are drawn so as to show 
which of the two segments lies above the other.  Can the 'projections' 
in Figure 0 below be obtained this way?

\smallskip
\centerline{\it Figure 0.abcde approximately here}
\smallskip

1. A number of pairwise skew lines in space are projected on a plane.
The intersections of their projections are drawn so as to
show which of the two lines lies above the other.
Can the 'projections' in Figure 1 below be obtained this way?
\smallskip
\centerline {\it Figure 1.abcdefg approximately here}
\smallskip

{\it Definitions.} Suppose that a number of lines is drawn in the
plane so that
no three lines intersect in a point, and the intersections are
drawn so as to show which of the two lines is ''above'' the
other.  Such a (planar!) figure is called a {\it weave}.  Two
weaves\ are {\it equal}, if one can be obtained from the other by
a similitude transformation.  A weave\ is called {\it
realizable}, if it is a projection of a number of pairwise skew
lines in space on a plane.

If the formulation of a problem from the list below consists of a
statement, then the problem is to prove the statement.

\smallskip
2. Equal weaves\ are either both realizable or both not.

\smallskip
{\it Definition.} A line of a weave\ is called {\it monotone},
if it contains a point
such that the line is ''above'' all the other lines on one side
of the point, and ''below'' --- on the other side (in particulary,
a line that is above all or below all other lines is also monotone).

3. The realizability of a weave\ is not changed under
deletion of a monotone line.

4. a) If a weave\ consists of 1, 2, or 3 lines, then each line is
monotone.

b) If a weave\ consists of 4 or 5 lines, none of which are monotone,
then it is not realizable.

c) There exist a realizable weave\ consisting of 6 lines none of which are
monotone.

d) There exist an infinite sequence of realizable weaves\
without monotone lines, where each weave consists of different number of lines.

\smallskip
{\it Definition.} {\it A subweave} of a weave\ $A$ is a weave\ obtained
from $A$ by deleting some lines.

\smallskip
5. a) A weave\ containing a nonrealizable subweave\ is nonrealizable.

b) There exists nonrealizable weave\ all of whose subweaves\ are
realizable.

c) There exists an infinite sequence of nonrealizable weaves\
(consisting of different number of lines) all
of whose subweaves\ are realizable.

6.* This is a ''phisycal'' problem, it is formulated not quite
precise mathematically, and strictly mathematical solution is not
required.  Just try to make an experiment, construct a couple of models
and use it to get an answer (but not a rigorous solution) to Problem 1.

a) Suppose we have enough long and thin wooden rods (or strips).
Slightly bending the rods, let us construct a model in 3-space
of the given weave. Suppose that the construction obtained is
rigid, i.e. we can hang it from some point so that it will not
fall apart.  Then the corresponding weave\ is not realizable.

b) A weave\ is realizable if and only if the construction from
(a) does not contain any rigid subconstructions.

\smallskip
\newpage
{\bf Problems added at the semi-final.}

After the semi-final participants can submit solutions of problems
4.d, 5.c, 6.ab, 7.abc, 8, 8.abc, 9.ab, 10, 11, 12, 13, 14.abcd, 15.abcd.


We shall show an example to Problem 5.c, while the proof can be accepted
from a student after the intermediate consideration.

%We will distribute also a copy of paper by S.L.Tabachnikov on reduction to
%linear inequalities and a physical interpretation will be given [Tab89].

7. The realizability of a weave\ is not changed under

a) mirror symmetry (i.e. replacing all overcrossings by undercrossings
and vice versa);

b)* affine transformations;

c)* projective transformation together with ''one-sided mirror
symmetry'', i.e., replacing all overcrossings by undercrossings
and vice versa on one side of the image of the infinite line.

\smallskip
{\it Definition} An {\it isotopy} of a weave\ is a continious motion
of its lines (one can move a line in turn or few lines simultaniously)
during
which neither initially parallel lines ever become intersecting,
nor initially intersecting lines ever becomes parallel nor do
any three lines intersect.  During the motion the lines remain
straight lines.  In Fig.~0 and ~1 the weaves\ are given up to isotopy.

\smallskip

8. Consider a weave\ isotopic to Fig.~1.f and diagonals $AD$, $BE$ and $CF$ of
hexagon $ABCDEF$.

a) If the diagonals intersect at one point as shown in Fig.~3.a,
then the weave is not realizable.

b) If the diagonals intersect each other as shown in Fig.~3.b,
then the weave is not realizable.

c) If the diagonals intersect each other as shown in Fig.~3.c,
then the weave is realizable.

d)* There exist two isotopic weaves\ one of which is realizable and the
other is not. (Hint: see e.g. Fig. ~1.f)

9. a) Suppose that there are two lines $l_1$ and $l_2$ of a weave\ such
that for any choice of orientations on the other lines we can
move along these lines and arrive at the initial point.  Here
the motion is allowed on the lines along their orientation (on
$l_1$ and $l_2$ --- in any direction) and also from one line to
another in their intersection point, if the first line is
''above'' the second.  Then this weave\ is not realizable.

b)* A weave\ is {\it acyclic}, if it does not satisfy the condition
of (a).
Is it true that for any acyclic weave\ there exist a realizable
weave\ isotopic to it?

10. For each integer $n\ge4$ there exists
a nonrealizable weave, consisting of $n$ lines, all whose
subweaves\ are realizable.

11.* There exists an infinite sequence of realizable weaves\ where
each weave is neither isotopic to another one nor to a subweave of another one.

12. Suppose that each line of a weave is parallel either to $x$-axis
or to $y$-axis.  Find a criterion for the realizabiliy of such
weaves\ (cf.  Problem 1.g).




\smallskip
%Let us consider numbers of pairswise sqew lines in space.
%Let an orientation of each line be fixed.
%(we consider only similitude transformations preserving the
%orientation of the plane) to the weave shown

\smallskip
{\it Definition.}
Consider collections of oriented lines in the space up to
changing the orientations of all lines.
An {\it isotopy} of such a collection is a continious motion of
the lines during which they remain pairwise skew.

\smallskip
13. If $p=4k+3$, $k\in\Bbb Z$, then any collection of $p$ pairwise skew lines
in space is not isotopic to its mirror image (hint: see problems 14 and 15).

\smallskip
{\it Definition.} Suppose that we are given pair of oriented 
skew lines.  Project the pair on a general position plane.  If the 
obtained oriented weave is as shown in Fig. 4.a, then {\it the linking 
coefficient} of the pair equals -1, otherwise +1.

\smallskip
14. a) The linking coefficient is well defined
and is preserved under changing the orientions of both lines.

b) The linking coefficient of a pair is preserved under isotopy.

c) Two pairs of oriented skew lines are isotopic if and only if
their linking coefficients coincide.

d)* Two triples of oriented pairwise skew lines are isotopic
if and only if their pairwise linking coefficients coinside.

\smallskip
{\it Definition.} {\it The linking coefficient} of an ordered  triple of oriented pairwise
skew lines is the product of the three pairwise linking coefficients.

\smallskip
15. a) The linking coefficient of a triple does not depend on the 
choice of the order and orientations of the lines.

b) The mirror symmetry of space changes linking coefficient of a pair
and that of a triple.

c) Figure consisting of $p$ lines contains $p(p-1)(p-2)/6$ triples of lines.

d) The number $p(p-1)(p-2)/6$ is odd if and only if $p$ is of the type $4k+3$, $k\in\Bbb Z$.

\smallskip
{\bf Historical note. }
This collection of elementary problems appeared in
{\it algebraic knot theory}.
The main results of this collection are Problems 5.c (A.~Skopenkov,
1989) and 8 (G.~Galperin and A.~Skopenkov, 1988;
% and its properties were proved by A.~Gaifullin in 2001;
this result was not published earlier).
Intersting unsolved problems are 9.b, 11 and 12.

\smallskip
{\bf Acknowledgements. }
We would like to thank A. B. Sossinski for his help in
English translation and A. Talambutsa for useful discussions
and A.Kulygin for preparing computer version of the figures.

\smallskip
\newpage
{\bf Solutions given at the semi-final.}

0. a), c)  The answer is yes. 

b), d) The answer is no. Assume that the plane $ABC$ is horisontal.
Then one can find out consequently if each endpoint or intersection point lies under or
over the plane $ABC$. So one can obtain a contradiction.

%\smallskip
%\centerline{\it Figures 3 and 4 approximately here}
%\smallskip

1. a),b) The answer is yes, which follows from Problem~3.b. \qed

c) [Tab88] The answer is no.
Assume that there exists the required configuration (Fig.~1.c).
Clearly, we can move line~1 in the vertical plane without touching line~3,
until line 1 will cross lines~2 and~4 (Fig.~5).
Then in the same way we can move line~3 until it will cross lines~1 and~4.
Finally, in the vertical plane we can rotate line~2 with respect to the intersection point
of lines~1 and~2 until it will cross line~3.
After this motion all the four lines belong to the same plane.
On the other hand, throughout these motions line~2 remains passing 'below' line~4,
which is a contradiction. \qed

d) The answer is no. This weave\ contains the weave\ of 1.c as a subweave. \qed

e) The answer is no.
Assume that there exist the required configuration.
Turn line~3 in the vertical plane until it will cross one of lines~1 or~5.
If line~3 will first cross line~1, then in the vertical plane turn line~3 with
respect to the intersection point of lines~1 and~3 until line 3 will cross line~4.
If line~3 will first cross line~5, then in the vertical plane turn line~5 with
respect to the intersection point of lines~3 and~5 until line 5 will cross line~1.
The obtained configuration of lines~1, 2, 4 and 5 (in the first case) and
lines~1, 2, 3 and 5 (in the second case) coinsides
up to numeration with the configuration obtained in the solution of Problem~1.c
after motion of line~1 until it will cross lines~2 and~4.
Consequently, the configuration is impossible.

f) The answer is yes. Clearly, after deleting the line~2 the weave\
becomes realizable.
Consider 5 lines $m_1, m_3, m_4, m_5, m_6$ in the space, whose
projections into the horizontal plane form Fig.~1.f with the line~2 deleted.
Let $m_2$ be the line which crosses the lines $m_3$ and $m_5$
and is projected onto the line~2.
Move line~2 in the direction of the intersection point of lines~3 and~5
so that it remains parallel to itself.
Move line $m_2$ so that it remains crossing lines $m_3$ and $m_5$ and
being projected onto the line~2.
After some time the line $m_2$ will be ''above'' the line $m_6$
and ''below'' the lines $m_1$ and $m_4$.
Turn line $m_2$ in the vertical plane so that it will pass ''below'' line $m_3$
and ''above'' line $m_5$.
Thus we obtain the required collection of lines $m_1,\ldots ,m_6$
whose projection into the horizontal plane is the weave\
isotopic to the given weave. \qed

g) [Tab88] The answer is no.
Assume that the weave is realizable.
Moving the lines in the vertical planes as in the solution of Problem~1.c,
we can obtain the configuration where each of the lines $a, b, c$
crosses each of the lines $l_1, l_2$, and $l_3$ crosses
$a$ and $b$ (Fig.~6.a).
Let $A_1, A_2, \ldots, C_2$ be the intersection points of the lines $a$ and
$l_1$, $a$ and $l_2$, $\ldots,c$ and $l_2$;
the projections of the points into the weave\ plane are denoted by
the same letters.
Project the whole configuration into the vertical plane $\lambda$,
containing the line $l_3$, along the line $c$ (Fig.~6.b).
Denote by $C$ the point which is an image of the line $c$.
Let us prove that $C\in l_3$; then the lines $c$ and $l_3$ intersect,
which contradicts our assumption.
The vertical planes containing the lines $a$, $b$ and $c$ are parallel
(because the projections of the lines $a$, $b$ and $c$
on the weave\ plane are parallel), therefore the projections of $a$ and $b$ along
$c$ on the plane $\lambda$ are parallel.
In addition, in the weave\ we have $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3$,
consequently, this is true for the configuration itself,
and hence --- for Fig.~6.b (if $XY$ is parallel to $X'Y'$,
then the value $XY:X'Y'$ is preserved under a parallel projection).
This yields that in Fig.~6.b the line $A_3B_3$
contains the point $C$, thus the claim is proved. \qed

%\smallskip
%\centerline{\it Figure 6 approximately here}
%\smallskip

2. Let $P_1$ and $P_2$ be a pair of equal weave s in a horizontal plane,
$f$ a similitude transformation of the plane, carrying $P_1$ to $P_2$.
Then $f$ extends to a similitude transformation $F$ of space.
Let $P_1$ be a realizable weave and $A_1$ a number of lines in space giving
the weave\ $P_1$ in the projection on the horizontal plane.
Then the lines $A_2=F(A_1)$ form the weave\ $P_2$ under the projection on the
horizontal plane.
Consequently, $P_2$ is also realizable. \qed

3. Let $P$ be a weave\ with a monotone line and $P'$
the weave\ obtained from $P$ by deleting this line.
Clearly, if $P$ is realizable, then $P'$ is realizable.
Let us prove the converse statement.
Assume that $P'$ is realizable.
Consider the corresponding configuration of lines in space.
Mark a point in the monotone line such that
on one side from the point the line is ''above'' the others
and on the other side --- ''below'' the others.
Draw a vertical line through this point and bend the line a bit
in the vertical plane containing the monotone line.
Thus we obtain the required configuration of lines
giving the weave\ $P$ in the projection into the horizontal plane. \qed

4. a) It is obvious because each of the lines of the weave\
crosses only two other lines of the weave. \qed

b) Any weave\ consisting of 4 lines which are not monotone is
isotopic either to the weave\ in Fig.~1.c or to a weave\
symmetric to it with respect to some axis, and hence is not realizable.
Any general position collection of 5 lines in the plane
is mapped to a ''five ray star'' by a projective transformation.
Any such weave\ consisting of 5 nonmonotone lines either contains a subweave\
of 4 nonmonotone lines or consides up to isotopy and mirror symmetry
with the weave\ in Fig.~1.e. In any case our rag is not realizable. \qed

c) For example, the weave\ in Fig.~1.f. \qed

5. a) It is clear. \qed \quad b) For example, the weave\ in Fig.~1.c. \qed


%\smallskip
\newpage



{\bf Solutions of the problems suggested after the semi-final.}

4. d) Let us prove by induction over $n$ that for $n>1$
there exists a realizable weave\ consisting of $3n$ lines
which are nonmonotone.
For $n=2$ this follows from Problem~1.f.
Let $n>2$ and let $P$ be a weave\ consisting of $3n-3$ nonmonotone lines.
Draw a line $l$ in the plane of the weave\ $P$
such that $l$ is not parallel to any line of the weave
and does not contain any intersection point of the lines of the weave.
Let $A$ and $B$ be two of the intersection points of $l$ and the lines
belonging to $P$, such that the other intersection points
are between $A$ and $B$.
Add three close to $l$ lines to the weave\ such that
the three lines intersect in three points close to the
extension of the arc $AB$ after the point $B$.
Draw the undercrossings and overcrosings as follows:
in the intersection points of the three lines --- as in Fig.~1.a,
in the intersection points of the three lines and the line of $P$,
crossing $l$ in the point $A$, they are ''below'',
and in the other intersection points --- ''above''.
The obtained weave\ of $3n$ lines does not contain monotone lines,
but is clearly realizable. \qed

\smallskip 
5. c)
Let us construct the sequence of weaves $L_n$ with the required property.
The weave\ $L_n$ consists of $2n+1$ lines.
In Figures~1.e, 7 and 8 the weaves $L_2$, $L_3$ and $L_4$ are shown.
Notice that the intersection of each line of $L_n$ with the other lines
is of the following type: first the line goes $(n-1)$ times ''below'',
then one time ''above'', next again ''below'' and finally $(n-1)$ times
''above'' (Figure~9).

Let us prove nonrealizability of the weave $L_4$.
In the general case the proof is analogous.
Turn line 1 in the vertical plane around the point, which is
projected into the intersection point
of lines 1 and 2, until it crosses line 2.
Turn line 2 until it crosses line 3, and so on,
turn line 9 until it crosses line 1.
Let us prove that the obtained configuration is not realizable.
Let the $z$-axis look downward and let
it be ortogonal to the lines 1 and 2.
Denote by $p$ the plane containing lines 1 and 2.
Let us prove that the z-coordinate increases along lines 3,4 ..., 9
in the clockwise direction around the central 9-gon.
Thus we obtain a contradiction.
First we prove this for the lines 3, 4, 5.
It suffices to note that the intersection point
of each of the lines 3, 4, 5
and the line 1 is above plane $p$, and each of lines 3, 4, 5
crosses the 9-gon not above plane $p$ (for line 3 it is clear,
for the other lines follow by induction).
The proof for lines 9, 8, 7 is analogous.
Now it suffices to note that line 6 is above the line 1
and below the line 2, and the weave is not realizable.

%Let us study what happens, if we delete one line from $L_n$,
%for example the line $l_{n+1}$ in Figure~9.
%Let us prove by induction over $k$ that the weave\ $L^k_n$ obtained 
%from $L_n$ by deleting the lines $l_{k+1},\dots,l_{2n+2-k}$ is 
%realizable.  The base $k=1$ is obvious, because any weave\ consisting 
%of two lines is realizable.  Assume that the weave\ $L_n^k$ is 
%realizable.  Add the lines $l_k$ and $l_{2n-k+2}$ to the weave.  Note 
%that on each of the lines there exist a point such that the line is 
%''above'' all the other lines of $L_n^{k+1}$ on one side from the 
%point and is ''below'' --- on the other side.  Add two vertical lines 
%being projected into these two points to the configuration realizing 
%the weave\ $L^k_n$.  Turn them a bit in the vertical planes containing 
%$l_k$ and $l_{2n-k+2}$.  Thus we obtain a configuration realizing the 
%weave\ $L^{k+1}_n$.  The induction fails for $k=n$, but then we have 
%proved that the weave\ obtained from $L_n$ by deleting the line 
%$l_{n+1}$ is realizable.
%
%There exists another solution based on Problem~3.b.
Note that after deleting $l_{n+1}$ the lines $l_{n}$ and $l_{n+2}$
become monotone. Similarly, then after deleting $l_{n-k+2}$, $l_{n+k}$
the lines $l_{n-k+1}$, $l_{n+k+1}$ become monotone.
By Problem 3.b it follows that the weave obtained from $L_n$
by deleting the line $l_{n+1}$ is realizable.
\qed

\smallskip
\centerline{\it Figures 7-9 approximately here}
\smallskip

7. a) It is obvious, because one can make the mirror symmetry
of the configuration realizing a given weave\ with respect
to the plane of the weave. \qed

b) The solution is analogous to the solution of Problem~2. \qed

c) Any projective transformation is the composition of
an affine transformation and a central projection of a plane
onto another plane in space.
Thus we may assume that our transformation is
a projection of the plane $\pi$ onto
the plane $\pi'$ with the center at the point $O\not\in(\pi\cup\pi')$.
Let $A$ be a number of lines in space
giving the weave\ $P$ in the projection into the plane $\pi$.
We may assume that $A$ belongs to  a small neighbourhood of the plane $\pi$.
The projection of $\pi$ into $\pi'$ with the center $O$ extends
to a projective transformation $f$ of space.
Denote by $l$ the intersection line of the plane $\pi '$ and
the plane parallel to $\pi$ and containing the point $O$.
then $l$ is the $f$-image of one of the infinite lines.
Suppose that a line $n\in A$ is ''above'' a line $m\in A$.
Then the line $f(n)$
is above $f(m)$, if the intersection point of their projections into
the plane $\pi'$ is on one side with respect to $l$,
and is ''below'' --- if it is on the other side.
Thus the weave\ which is the result of the transformation
is also realizable. \qed

\smallskip
\newpage
8. a),b) Assume that there exists the required configuration. 
Turn line 2 in the vertical plane with respect to the point, projecting 
onto the intersection point of projections of lines 2 and 6, 
until line 2 crosses line 5.  Similarly turn lines 4 and 6 
until they cross lines 1 and 3, respectively.  Turn line 5 in the 
vertical plane with respect to the intersection point of lines 5 and 2 
until line 5 crosses line 6.  Analogously turn 4 w. r. t. $4\cap 1$ 
until 4 crosses 5, turn 3 w. r. t. $3\cap 6$ until 3 crosses 4.  
Similarly turn lines 2 and 1 until they cross lines 3 and 1, 
respectively.  

Let $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ and $F'$ be the intersection points of the 
lines, projected onto points $A$, $B$, $C$, $D$ and $F$, respectively. 
Let $O'$ be the intersection point of segments $A'D'$ and $C'F'$. 
Let $\pi_1$, $\pi_2$ and $\pi_3$ be the planes containing lines 1 and 
2, lines 3 and 4, lines 5 and 6, respectively. 
Then $C'F'=\pi_1\cap\pi_2$ and $A'D'=\pi_2\cap\pi_3$. 
So $O'=\pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3$.  
Therefore line $B'O'$ intersects lines 1 and 6.  
Let $E'_1$ and $E'_6$ be the 
intersection points of line $B'O'$ with lines 1 and 6, respectively.  
Note that point $E'_6$ belongs to segment $D'E'$ and to plane $\pi_1$.  
On the other hand segment $D'E'$ does not intersect plane $\pi_1$, 
which is a contradiction. \qed

c) First let us prove that the configuration shown in Fig.~3.d is
realizable. 
Evidently it would be realizable if the type of intersection in
point $E$ would not be prescribed. 
Consider the corresponding configuration of lines in space.  
Define points $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $F'$, $O'$, $E'_1$, $E'_2$ and 
planes $\pi_1$, $\pi_2$ and $\pi_3$ as in the solution of the previous 
problem.  We have $E'_1\in\pi_3$. 
Therefore at point $E$ line 1 passes above plane $\pi_3$. 
Hence line 1 passes above line 6 at point $E$. So the configuration 
shown in Fig.~3.d is realizable.  
Make for this configuration all the rotations from the solution of the 
previous problem in the inverse order.  Thus we obtain 
a configuration which is a realization of the given weave.  \qed

%\smallskip
%\centerline{\it Figure 10 approximately here}
%\smallskip

\smallskip
9. Assume that this weave\ is realizable.
Consider a number of lines $A$ realizing the weave.
Let $m_1$ and $m_2$ be the lines of $A$ being projected
onto the lines $l_1$ and $l_2$ respectively, let $\pi$ be a plane
parallel to the lines $m_1$ and $m_2$.
Let the $z$-axis 'look downward' and be
ortogonal to the plane $\pi$.
Orientate of line of $A$ except $m_1$ and $m_2$
by the following rule: if one moves in the direction given by
the orientation, the $z$ coordinate increases
(if a line of $A$ is parallel to $\pi$,
then choose any of the two orientations).
Then after the motion permitted by the problem
the $z$ coordinate increases, that is impossible, because
we arrive at the initial point.
This contradiction proves the claim. \qed

\smallskip
10. The example is constructed as follows (see Fig. 10 for $n=5$).
For $k=1,\dots,n$
take line $k$ passing through the points $(n-k,0)$ and $(0,k-1)$
of the Cartesian coordinate system.
Let line 1 be ''above''
lines 2, $n$ and ''below'' the other lines.   For $k=2,\dots,n-1$
let line $k$ be ''above'' lines $1,\dots,k-2,k+1$ and ''below'' the 
other lines, let line $n$ be ''above'' lines $2,3,\dots,n-2$.  

Let us 
prove that all subweaves are realizable. Indeed, after deleting  
line $k$ line $k-1$ becomes monotone, and line $n$ becomes monotone 
after deleting line 1.  So after deleting any of the lines we can 
delete monotone lines of the remaining weave one after another, hence 
the subweave is realizable.  

Let us prove that the constructed weave is not 
realizable.  
Take a collection of lines in 3-space projecting onto our weave.
Move line 1 down until it crosses lines 2 and $n$. Turn line 2 until it 
crosses line 3, and so on, line $n-1$ until it crosses line $n$, 
line $n$ until it crosses line 1.  Take $z$-axis looking downward and 
let it be orthogonal to lines 1 and $n$.  Then $z$-coordinate 
increases along each of the lines $2,\dots,n-1$ in the direction from 
line 1 to line $n$.  Therefore, $z$-coordinate increases in the 
sequence of the intersection points of lines 1 and 2, 2 and 3, 
$\dots$, $n-1$ and $n$.  But this coordinate equals 0 for the 
intersection points of the pairs of lines  1 and 2, $n-1$ and $n$.  
This contradiction proves the claim.

\smallskip
\centerline{\it Figure 10 approximately here}
\smallskip

13--15. See the paper by Viro and Drobotukhina, Kvant, 1988, 3, 12--19. 


\end

\newpage
\centerline{\uppercase{\bf Projektionen von schr\"agen Geraden}}
\smallskip
\centerline{\bf A. Gajfullin, A. Schapovalov, A. Skopenkov und M. Skopenkov}
\smallskip
\hfill{\it So also werde ich alles in Erinnerung behalten:}

\hfill{\it Nur ein kleines Album von Miniaturen.}

\hfill{\it H. B\"oll, Im Tal der donnernden Hufe.}
\smallskip

{\bf Einsteigende Aufgaben.}

0. Gibt es eine geschlossenen geradlinige geknickte Linie im Raum,
die auf irgendwelche Fl\"ache in dem Bild auf Fugur 0 projeziert wird (jedes
Glied von geknickte Linie wird auf einem {\it ganzen} Glied von Figur
projektiert)?

\smallskip
%\centerline{\it Figur 0.abcd ungef\"ahr hier}
%\smallskip

1. Gibt es eine Menge von schr\"age Geraden im Raum, die auf
irgendwelche Fl\"ache in dem Bild auf Figur 1 projeziert wird?

\smallskip
%\centerline{\it Figur 1.abcdefg ungef\"ahr hier}
%\smallskip

{\it Definitionen.}
Nehmen wir an, dass es eine Menge von Geraden auf einer Fl\"ache gibt,
und sich keine drei Geraden in einen Punkt kreuzen.  In Kreuzpunkt von zwei
Geraden zeichnen wir, so dass man sieht wie eine '\"uber' die andere geht.
Solche (flache!) Figur heisst ein {\it Geflecht}. Zwei Geflechten heissen
{\it gleiche} (oder \"aquivalent), wenn es \"Ahnlichkeit sie
ineinander zu \"uberf\"uhrt gibt.  Ein Geflecht heisst {\it realisierbar}
(oder m\"oglich), wenn es eine Menge von paarweise schr\"agen Geraden im
Raum gibt, die auf irgendwelche Fl\"ache in dem Geflecht projeziert wird.

Wenn die Formulierung der Aufgabe ein Satz ist, dann ist die Aufgabe,
diesen Satz zu beweisen.

\smallskip
2. Gleiche Geflechten sind entweder beide realisierbar oder beide nicht.

%3. a) Nehmen wir an, dass es eine Gerade in einem Geflecht gibt, die geht
%'\"uber' alle andere. Werfen wir diese Gerade aus. Wenn das verbleibende
%Geflecht realisierbar ist, so ist Ausganggeflecht realisierbar.

\smallskip
{\it Definition.}
Eine Gerade in einem Geflecht heisst {\it monoton}, wenn es einen
Punkt auf der Gerade so gibt, dass auf einer Seite von dem Punkt die Gerade
'\"uber' die andere Geraden geht, und auf der anderen Seite --- 'unter'
den andere Geraden geht (m\"oglicherweise gibt es keine Kreuzpunkten auf
einen oder anderen Seite).
\smallskip

3. Enth\"alt ein Geflecht eine monotone Gerade, so entfernt man diese
Gerade. Das erhaltene Geflecht ist genau dann realisierbar, wenn
das Ausgangsgeflecht realisierbar ist.

4. a) Besteht ein Geflecht aus h\"ochstens 3 Geraden, so ist jede
Gerade monoton.

b) Betseht ein Geflecht aus 4 oder 5 Geraden, die nichtmonoton sind, so
ist es nichtrealisierbar.

c) Es gibt ein realisierbares Geflecht von 6 Geraden, die nichtmonoton sind.

d) Es gibt unendlich viele realisierbar Geflechten ohne monoton Geraden,
die verschiedene Anzahlen von Geraden enthalten.

\smallskip
{\it Definition.} Entfernt man von einem Geflecht irgendwelche Geraden,
so erh\"alt man ein {\it Teilgeflecht}.
\smallskip

5. a) Enth\"alt ein Geflecht nichtrealisierbar Teilgeflechte, so ist es
selbst nichtrealisierbar.

b) Es gibt ein nichtrealisierbares Geflecht, dessen Teilgeflechte alle
realisierbar sind.

c) Es gibt unendlich viele nichtrealisierbare Geflechte mit
verschiedenen Anzahlen von Geraden, dessen Teilgeflechte alle
realisierbar sind.

6.* In dieser 'physikalische' Aufgabe geben wir keine pr\"azis Voraussetzung
und fordern keine pr\"azis L\"osung.

a) Nehmen wir an, dass es gen\"ugend lange und d\"unn Ruten (oder
Streifen) gibt.  Man kr\"ummt die Ruten ein bisschen und konstruiert eine
Figur im Raum, die in dem vorgeschriebene Geflecht projeziert wird.  Erh\"alt
man eine steife Konstruktion, z. B. wir k\"onnen an einem Punkt aufh\"angen,
so dass es nicht zerf\"allt, dann ist das Geflecht nichtrealisierbar.

b) Ein Geflecht ist genau dann realisierbar, wenn die Konstruktion von (a)
keine steife Teilkonstruktionen enth\"alt.

\smallskip
\newpage
{\bf Weiterf\"uhrende Aufgaben.}

7. Realisierbarkeit von ein Geflecht \"andert sich nicht bei

a) \"anderungen von alle Geradekreuzen zum entgegengesetzte (d.h.
dass die 'obene' Gerade wird 'unten' gehen und umgekehrt);

b)* affine Abbildung;

c)* projektive Abbildung, wenn auf einer Seite von Gestalt von
unendliche Gerade man \"andert alle Geradekreuzen zum entgegengesetzte.

\smallskip
%\centerline{\it Figur 2 ungef\"ahr hier}
%\smallskip

{\it Definition.}
Eine {\it Isotopie} von einem Geflecht ist eine stetige Deformation
(d.h. Bewegung) von seinen Geraden, so dass die Geraden Geraden bleiben, die
paralellen (kreuzende) Geraden paralellen (kreuzende) bleiben, und sich keine
drei Geraden in einen Punkt kreuzen.  Siehe ein Beispiel auf Figur 2.
Im Aufgaben 0 und 1 auf Figuren 0 und 1 mann darf Isotopie machen.

\smallskip
8. Es gibt ein realisierbar und ein nichtrealisierbar Geflecht, die
isotop sind (Hinweis: ein m\"ogliches Beispiel auf Fig. 1.f gezeichnet wird).

9. a) Nehmen wir an, dass es zwei Geraden $l_1$ и $l_2$ in einen
Geflecht gibt, so dass f\"ur jede Orientirung auf \"ubrige Geraden
man kann auf ein geschlossene Weg laufen und zur\"uckkehren.
Dabei kann man auf Geraden von das Geflecht in Richtung von
Orientierung laufen (auf $l_1$ und $l_2$ man kann in beide Richtungen
laufen) und auch kann man von eine Gerade nach der andere in seinen
Kreuzpunkt untergehen, wenn die erste geht 'oben' die zweite in
dieser Punkt.
Dann das Geflecht nichtrealisierbar ist.

b)* Ein Geflecht heisst {\it azyklisch}, wenn die Vermutung von (a)
gilt nicht. Gibt es f\"ur jedes azyklisch Geflecht ein isotop realisierbar
Geflecht?

10. F\"ur jede $n\ge4$ gibt es ein nichtrealisierbar Geflecht mit $n$
Geraden, dessen Teilgeflechten alle realisierbar sind.

11.* Es gibt eine unendliche Folge von realisierbar Geflechten,
wo jedes Geflecht weder zu einem anderem noch zu Teilgeflechten von einem
anderem isotop ist.

12.* Jede Gerade von ein Geflecht entweder zu $x$-Achse
oder zu $y$-Achse parallel ist.
Wann ein solches Geflecht realisierbar ist (cf. Aufgabe 1.g)?

\smallskip
{\bf Historische Notiz.}
Diese Versammlung von elementaren Aufgaben entsteht aus {\it
algebraischer Knotentheorie}. Hauptergebnisse von diese
Versammlung sind Aufgaben 4d, 5c (A. Skopenkov, 1989) und 8 (G.
Galperin und A. Skopenkov, 1988).


\end


                                \8\\  /\35
                      3          \8\\
                                  \\
                      \\        /  \\      /
                     -------- / ------- / --\32
                         \8\\    /      \\  /
                          \\  /        \\
                           \\           \\
                            \\        /  \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ /\ \ \\\ \ \ \ \ \ /\ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \^\,
                     \31\8-- / ------- / --------
                        /      \\  /        \\
                                \\           \34
                                 \8\\
                              \36\8/  \\

Projections \31 \1and \32\1, \33 \1and \34\1, \35 \1and \36 \1are parallel.

\end

