
%���졠 �ᯥ����.
\documentstyle{amsppt}
\loadbold
\NoBlackBoxes
\TagsAsMath
\TagsOnRight
\magnification 1200

\topmatter
\leftheadtext{���� �� �����⮩ �㬠�� � ᢥ��᫮��}
\rightheadtext{���� �� �����⮩ �㬠�� � ᢥ��᫮��}
\address
\endaddress
\email
kanel\@mccme.ru \,\, M.L\@gerver.mccme.ru
\endemail
\endtopmatter

\define\ar{\rightleftarrows}
\define\a{\alpha}
\redefine\b{\beta}
\define\f{\varphi}
\define\p{\Pi}
\define\W{\overline W}
\redefine\l{\lambda}

\document
\centerline
{�.\,�.~�����--������, M.\,�.~��ࢥ�}
\head
������ �� ��������� ������ � ����������
\endhead

\head
�᭮��� �����
\endhead

\subhead
{\quad ���������� ����� $S$. ����� $S_0$ -- ��᫥����⥫쭮��
���ଠ}
\endsubhead
��।���� ����� $S$, �� �஢����� �� �����⮩ �㬠�� ����,
�� ��室�騥 �१ 㧫�. �஢���� ⥯��� �����~$L$
� {\it ���樮�����\/} 㣫��� �����樥�⮬~$k_L$
{\it �१ 㧥�}. �� ��� ����祭���~$L$ � ���⨪��ﬨ �
��ਧ��⠫ﬨ ����襬 (��� ���筮) \linebreak �㪢�~$v$~�~$h$,
� �� 㧫� ���⠢�� ���� ����� ``?''. ������� ``?'' �� $vh$,
����稬 ᢥ��᫮�� $W=W_L$; ������� ``?'' �� $hv$, ����稬
ᢥ��᫮�� $\W=\W_L$.

3.1.1. �������, �� ����祭�� ᢥ��᫮�� ��⥫쭮 ��६�蠭�:
$W, \W \in S_1$.

3.1.2. �������, �� $W, \W \not\in S$.

������� � $S$ �� ����祭�� ᢥ��᫮�� $W_L$, $\W_L$ (��� ���
���樮������ 㣫���� �����樥�⮢~$k_L$) � ⠪ ����������
����� ᢥ��᫮� ������稬 �१ $S_0$. �����᫮�� $W \in S_0$
���뢠���� {\it ��᫥����⥫쭮��ﬨ ��� ᢥ��᫮���� ���ଠ}
�~���� �࠭��᪮�� ��⥬�⨪� ���� ���ଠ (1803--1855).

3.1.3. ������ �� ��⥫쭮 ��६�蠭�� ᢥ��᫮��, ��
�ਭ������騥 $S_0$.

��������. �ਬ���� ᫥������ ���������. �஢���� �����~$L$ �
{\it �樮�����\/} 㣫��� �����樥�⮬~$k_L$ {\it �१ 㧥�}.
�� ��� ����祭���~$L$ � ���⨪��ﬨ � ��ਧ��⠫ﬨ ������
�㪢�~$v$~�~$h$, � �� 㧫�� ���⠢�� ����� ����� ``?''.
������� ������� ``?'' �� $vh$, � ��⠫�� ``?'' -- �� $hv$.
���᭨�, �� ����� ������� �������� a) ᢥ��᫮�� $W \in S$,
b) ᢥ��᫮�� $W \in S_1$, c) ᢥ��᫮�� $W \not\in S_1$.

\subhead
{\quad �᪫��⥫�� ᢥ��᫮��. ���騢���� ᢥ��᫮�}
\endsubhead
���ᬮ�ਬ �� ᢥ��᫮��:
$W_0=\{\dots v v v \dots\}$, $W_1=\{\dots v v v h v v v \dots\}$,
$W_2=\{\dots v v v h h h \dots\}$.

3.2.1. �஢����, ��

$W_0 \in S_0\subset S_1, W_0 \not\in S_2$; \,\,\,
$W_1 \in S_1, W_1 \in S_2, W_1 \not\in S_0$; \,\,\,
$W_2 \in S_2, W_2 \not\in S_0, W_2 \not\in S_1$ \,\,\,

\noindent
($W_0$ ���� ��᫥����⥫쭮���� ���ଠ �
��⥫쭮 ��६�蠭�� ᢥ��᫮���, �� �� ����
ᢥ��᫮��� � �������� ����騬 ����ᮬ ���᫮�;
$W_1$ ���� ��⥫쭮 ��६�蠭�� ᢥ��᫮���,
� ⠪�� ᢥ��᫮��� � �������� ����騬 ����ᮬ ���᫮�,
�� �� ���� ��᫥����⥫쭮���� ���ଠ;
$W_2$ ���� ᢥ��᫮��� � �������� ����騬 ����ᮬ ���᫮�,
�� �� ���� �� ��᫥����⥫쭮���� ���ଠ, �� ��⥫쭮
��६�蠭�� ᢥ��᫮���).

3.2.2. ��୮ ��, �� � ����� $S_2$ ���� ⮫쪮 ���� ᢥ��᫮��,
-- � ������, ᢥ��᫮�� $W_2$, -- ᮤ�ঠ饥 ���᫮�� $v v h h$?

�����᫮�� $W$, ����� (������� $W_0$, $W_1$ � $W_2$) ��������
����� �� ��� ᢮���

$W \in S_0\subset S_1, W \not\in S_2$, \quad
$W \in S_1, W \in S_2, W \not\in S_0$, \quad
$W \in S_2, W \not\in S_0, W \not\in S_1$,

\noindent
������� {\it �᪫��⥫�묨}.
���ᬮ�ਬ ��� ����樨 ��� ᢥ��᫮����:
{\it �ࠢ��쭠� $n$-����⠭����}: $hv^n\to v, hv^{n+1}\to h$
(������ �㪢� $v$ ��������� ᫮��� $hv^n$,
������ �㪢� $h$ -- ᫮��� $hv^{n+1}$, $n\ge 0$ -- 
�� 楫�� �᫮) � {\it �������}: $h\ar v$. 

��᫥����⥫쭮� �ਬ������ ����筮�� �᫠ ⠪�� ����権
(� ᫮�� ��� ᢥ��᫮��) ������� {\it ���騢�����\/}, ��� 
ࠧ��� $n$-����⠭���� $n$ ����� ���� ࠧ��.

3.3. �������, �� �� �᪫��⥫쭮� ᢥ��᫮�� ����砥���
���騢����� �� ������ �� $W_j$, $j = 0, 1, 2$.
\subhead
{\quad ��� ����
\footnote
{�� ��� �ਤ㬠� � 1816 �. ��⠭᪨� ������ ���� ��३ (1766-1826).}, 
% John Farey 
�᭮��� ��ࠫ�����ࠬ�� � �᪫��⥫�� $W \in S_2$}
\endsubhead

��� ���� $F_j$ -- �� ᫥���騥 㯮�冷祭�� �� �����⠭�� 
������⢠ ��᮪�⨬�� �஡��~$m/n$ � �������⥫ﬨ $n \le j$: 
\smallpagebreak

\centerline
{$F_1=\{0, 1\}$, \quad
$F_2=\{0, \dsize\frac 12, 1\}$, \quad
$F_3=\{0, \dsize\frac 13, \dsize\frac 12, \dsize\frac 23, 1\}$,}

\medpagebreak
\centerline
{$F_4=\{0, \dsize\frac 14, \dsize\frac 13, \dsize\frac 12, 
\dsize\frac 23, \dsize\frac 34, 1\}$, \quad
$F_5=\{0, \dsize\frac 15, \dsize\frac 14, \dsize\frac 13, 
\dsize\frac 25, \dsize\frac 12, \dsize\frac 35, 
\dsize\frac 23, \dsize\frac 34, \dsize\frac 45, 1\}$, \, \dots}
\smallpagebreak

�᫨ �᫠ $0$ � $1$ �।�⠢��� � ���� $\dsize\frac 01$ � 
$\dsize\frac 11$, � ��� ���� ���� �ᥤ��� �஡�� 
$\dsize\frac{x_1}{y_1} < \dsize\frac{x_2}{y_2}$ �� ���~$F_j$ 
�믮������ �᫮��� $x_2y_1-x_1y_2=1$. ���  ����砥�  (�஢����), 
�� ���頤� ��ࠫ�����ࠬ�� $\p$, �����⮣� �� ������ $\{x_1, y_1\}$ 
� $\{x_2, y_2\}$ ࠢ�� 1. 

����� ��ࠫ�����ࠬ�� $\p$ � ���設��� � �窠� ��⪨ ���뢠�� 
{\it �᭮��묨}. 

3.4.1. �����⠢�� ������ ��� �樮������ �ᥫ $k_1, k_2$, ⠪�� 
�� \smallpagebreak

\centerline
{$0\le k_1=\dsize\frac{x_1}{y_1}<k_2=\dsize\frac{x_2}{y_2}\le 1$,} 
\smallpagebreak

a) ��ࠫ�����ࠬ� $\p$, ������� �� ������ $\{x_1, y_1\}$ 
� $\{x_2, y_2\}$, 

b) ���� ��ਮ���᪨� ᢥ��᫮� $W_1=W_{L_1}, W_2=W_{L_2}\in S$ 
��� ����� � 㣫��묨 �����樥�⠬� $k_1, k_2$, � �����, � 
ᢥ��᫮�� $W$, ��⠢������ (��� � ����� 2.7) �� ���� 
��ਮ���᪨� ��⥩ $W_1$, $W_2$. 

�������, �� $W \in S_2$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� 
��ࠫ�����ࠬ� $\p$ -- �᭮���� (���, �� � ��, ����� $k_1, k_2$ -- 
�ᥤ��� �஡� ��� �����ண� $F_j$). 

3.4.2. ����᭨�, ��祬� �� $W \in S_2$, ᮯ��⠢����� � 3.4.1 
�᭮��� ��ࠫ�����ࠬ���, ����� �᪫��⥫�묨: �� 
�ਭ������� $S_1$. 

3.4.3. �������, �� ������ �᪫��⥫쭮� ᢥ��᫮�� $W \in S_2$ 
�易�� � ����� �� �᭮���� ��ࠫ�����ࠬ��� $\p$: ���� 
������묨, ��ࠫ����묨 ��஭�� $\p$, ����� ����ભ��� 
������ �����㣮�쭨�~$M_w$ ��� ��� ᫮�� $w\in W$ 
(⮫쪮 ᭠砫�, ���� �����, � $w$ �㦭� ᤥ���� ������� $v \ar h$). 

\subhead
\quad �������᪮� �।�⠢����� ��ਮ���᪨� ᢥ��᫮� $W_L$ 
\endsubhead
�� �����, �� ��� ����� � �樮����묨 㣫��묨 
�����樥�⠬� $k_L$ ᢥ��᫮�\'� $W_L\in S_0$ -- ��ਮ���᪨�. 
�᫨ $k_L=m/n$, ���~$m/n$ -- ��᮪�⨬�� �஡�, � ��ਮ� $P$ 
ᢥ��᫮�� $W_L$ ᮤ�ন� $m$ �㪢 $h$ � $n$ �㪢 $v$, �� 
���⠢��� �� �㪢� � �ࠢ��쭮� ���浪� �� ������ $m$ � $n$ 
�� ⠪ � ����. ��� ���� �������� ���� ᫥���饥 
{\it �������᪮�\/} �।�⠢����� ��ਮ�� $P$ �~���� 
᫮��~$f_{m,n}$ �� $m$~�㪢~$h$ � $n$~�㪢~$v$ (������� ⠪�� 
᫮�� $(m,n)-${\it ��ﬨ}): �� ��।������ 
$(0,1)-$�॥�~$f_{0,1}$ ���� �����㪢����� ᫮�� $v$, 
$(1,1)-$�॥�~$f_{1,1}$ ���� ���㪢����� ᫮�� $vh$. 
����� $(m,n)-$�२ 㦥 ��।����� ��� ��� $m \le n < q$, 
⮣�� $(m,q)-$�२ ��������� �� $(i,j)-$�॥�, $j < q$, 
᫥���饩 ����樥� {\it �ਯ��뢠���}: � ��� $F_q$
� ������ �஡� $\frac mq$ ������� ��� �ᥤ��� �஡� 
$\frac{x_1}{y_1}$ � $\frac{x_2}{y_2}$, ��� ������ 
$\frac mq$ ���� {\it ������⮩}: $x_1+x_2=m$, $y_1+y_2=q$. 
�������⥫� ��� �஡�� ����� $q$, ⠪ �� 
��� ��� 㦥 ��।����� $f_{x_1,y_1}$ � $f_{x_2,y_2}$. 
����� $f_{m,j}$ ����砥��� �ਯ��뢠���� � ᫮�� $f_{x_1,y_1}$ 
᫮�� $f_{x_2,y_2}$. �ਬ���: 
$f_{1,2}=f_{0,1}\cup f_{1,1}=vvh$, \,\, 
$f_{1,3}=f_{0,1}\cup f_{1,2}=vvvh$, 
$f_{2,3}=f_{1,2}\cup f_{1,1}=vvhvh$, \,\, 
$f_{1,4}=f_{0,1}\cup f_{0,3}=vvvvh$, 
$f_{3,4}=f_{2,3}\cup f_{1,1}=vvhvhvh$. 

3.5.1. �஢����, �� 

$f_{1,5}=vvvvvh$, $f_{2,5}=vvvhvvh$, 
$f_{3,5}=vvhvvhvh$, $f_{4,5}=vvhvhvhvh$. 

3.5.2. �������, �� $(m,n)-$�२ ��।����� ���४⭮: �� 
$k_L=m/n$ ᢥ��᫮�� $W=W_L$, ����⢨⥫쭮, ����� ��ਮ� $P=f_{m,n}$. 

3.5.3. ����� $\frac{x_1}{y_1} < \frac{x_2}{y_2}$ --
�ᥤ��� �஡� ��� �����ண� �鸞 $F_j$ � $y_1<y_2$. 
�������, �� ⮣�� $f_{x_1,y_1}$ ���� ���᫮��� $f_{x_2,y_2}$ 
(�᫨ $y_1>y_2$, � $f_{x_2,y_2}$ -- ���᫮�� $f_{x_1,y_1}$). 

\subhead
\quad ����⮥ �祭�� 
\endsubhead
{\it ������ �祭���\/} ���뢠���� ⠪�� ࠧ������ ��१�� �� 
���~��१��, �� ���஬ �⭮襭�� ����� {\it �ᥣ�\/} ��१�� �~����� 
{\it ����襣�\/} ࠢ�� �⭮襭�� ����� {\it ����襣�\/} ��१�� �~����� 
{\it ����襣�} ($\frac{\sqrt{5}+1}{2}:1=1:\frac{\sqrt{5}-1}{2}$). 

3.6.1. �஢���� �१ ��砫� ���न��� ���~$\ell$ � 㣫��� 
�����樥�⮬~$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. 

�� ��� ����祭���~$\ell$ � ���⨪��ﬨ � ��ਧ��⠫ﬨ ����襬 
�㪢�~$v$~�~$h$. ����稬 {\it �������� ᢥ��᫮��\/} 
$w_{\ell}=\{v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, h\, \dots\}$ 
(��᫥����⥫쭮��� $w_{\ell}$, ��᪮����� ��ࠢ�). 
�������, �� $w_{\ell}$ ����� ����ந�� ⠪: 

� ���㪢����� ᫮�� $v\, v\, h$ ᤥ���� ������ 

\centerline{$v\, v\, h \to v, \,\,\, v\, h \to h$.} 

\noindent
(������ �㪢� $v$ ��������� ᫮��� $v\, v\, h$,
������ �㪢� $h$ -- ᫮��� $v\, h$). � ����祭��� ᫮�� 
$v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, h$ ᤥ���� �� �� ������: 
{$v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, h\,\, 
v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, h\,\, v\, v\, h\, v\, h$ \, � �.�.} 

����砭��. ����� ����� ���� �� � ���㪢������ ᫮�� 
$v\, v\, h$, � � �����㪢������ ᫮�� $v$ �, ������� ������ 
$v\, v\, h \to v$, $v\, h \to h$ {\it ��᪮��筮 ����� ࠧ} 
(�ࠢ��� � 3.3), ������� $w_{\ell}$ �� ����� �㪢� $v$. 

3.6.2. ���㫨��� � ��� ���������� ������ ��� ���~$\ell$ � 
㣫��� �����樥�⮬~$k_{\ell}={\sqrt{2}-1}$. 

3.6.3. ������ १���� �� 㣫��� �����樥���~$k_{\ell}$, 
ࠢ�� ��ਮ���᪨� 楯�� �஡� 
$[a_1, \dots, a_n \dots]$, $[[b_1, \dots, b_n \dots]]$ � ��ਮ���� 
$\{a_1, \dots, a_n\}$, $\{b_1, \dots, b_n\}$.  

\subhead
\quad 4. ��᫥����⥫쭮�� ���ଠ
\endsubhead
�����쥬 ���㦭���� $C$ ����� $1$ �� ��� �㣨\, $A$ � $B$\,
� ������� $\a$ � $\b$, $\a+\b=1$. �⬥⨢ �� ���㦭��� ��砫���
���~$P_0$, ����ந� ��᫥����⥫쭮���
$P_0, P_1, P_2, \ldots$, � ���ன ������ �窠~$P_k$
����砥��� ��~$P_{k-1}$ ᤢ����~��~$\b$ ����� ���㦭��� $C$,
� ��᫥����⥫쭮��� $P_0, P_{-1}, P_{-2}, \ldots$,
��� ������ �窠~$P_{-k}$ ����砥��� ��~$P_{-(k-1)}$
ᤢ����~��~$-\b$ ����� ���㦭��� $C$.

��묨 ᫮����,
$P_n$~--~ᤢ�� $P_0$ ��~$n\b$ ����� $C$,
$n = \pm1, \pm2, \ldots, \pm{k}, \ldots$.

��窠� $P_n$ ᮯ��⠢�� ��᫥����⥫쭮���~$W=\{w_n\}$
�� �㪢~$a$~�~$b$, �~���ன

\centerline
{$w_n=a$, \, �᫨~$P_n \in A$, \, � \,
$w_n=b$, \, �᫨~$P_n \in B$, \,\,
$n = 0, \pm1, \pm2, \ldots$.}

4.1. �������, �� ����� ��᫥����⥫쭮�⥩~$W=\{w_n\}$ 
� �筮�� ᮢ������ (��᫥ ������ $a$ � $b$ �� $v$ � $h$) �
����ᮬ $S_0$ ᢥ��᫮� ���ଠ $W=W_L$. 

�������� 1. �㦭� �����, �� ������ �� �� $A$ � $B$ {\it
��������\/} -- ᮤ�ন� ���� �� ���殢 � �� ᮤ�ন� ��㣮��.

�������� 2. ����� ������ 4.1 ������� ᫥���騥 ��
(����� �����) �����.

4.1.1. ����� �� ���᫮� $aa, ab, ba, bb$ ����� 2 ����� ᮤ�ঠ��
$W$?

4.1.2. ����� �� $W$ ᮤ�ঠ�� ���᫮�� $abb$ ����� 3?

4.1.3. ����� $0 \le s,t \le 1$, $w_n=[sn+t]-[s(n-1)+t]$, ���
������� ᪮��� ��������� 楫�� ���� �᫠.

�஢����, �� $w_n$ ����� �ਭ����� ���� 2~���祭��:~$0$~�~$1$.

��୮ ��, �� �� ���� $s$ � $t$ �� ��१��~$[0,1]$
��᫥����⥫쭮���~$W=\{w_n\}$ ���� �
��᫥����⥫쭮����, ᮯ��⠢������ �窠� $P_n$
(�᫨ �������� � ��� $0$~�� $a$ \,�\, $1$ �� $b$),
� ᢥ��᫮��� �� ����� $S_0$
(�᫨ �������� $0$ �� $v$ \,�\, $1$ �� $h$)?


4.2. ����� � �ନ��� $\a$, $\b$, � $P_0$ ��᫥����⥫쭮�� 
���ଠ~$W\in S_0$, �� �ਭ������騥 ������ $S$. 

4.3. �������, �� �᫨ �᫮ $\b$ ���樮���쭮, � ������⢮
�祪 $P_n$ {\it ���� ���⭮\/} � {\it ࠢ����୮ ��।�����\/}
�� ���㦭��� $C$. �� ����砥� ᫥���饥.

���쬥� �� ���㦭��� $C$ ���� ��� $d$ ����� $\delta$,
���쬥� � ��᫥����⥫쭮��~$\{P_n\}$ ��� $N$ �祪 �����
� ��ᬮ�ਬ, ᪮�쪮 �� ��� ������ �� ��� $d$. �����
�⭮襭�� �᫠ ��������� � ��� $N$ ��६���� � $\delta$ ��
$N\to\infty$.

\subhead {\quad ���������⭮��� ᢥ��᫮�} \endsubhead
������� ��� ᢥ��᫮�� {\it ����������묨}, �᫨ �~��� � �筮��
ᮢ������ ������⢠ ��� ���᫮�.

4.4. �������, �� �� 䨪�஢����� $\a$ � $\b$, $\a+\b=1$, � ��
ࠧ��� $P_0$ ��᫥����⥫쭮�� ���ଠ~$W=\{w_n\}$ �����������.

4.5. �������, �� �� ���樮������ $\a$ � $\b$, $\a+\b=1$, 
��᫥����⥫쭮�� ���ଠ~$W=\{w_n\}$ ����� 
{\it �������ਮ���᪨��}: � ��� �� �� ���᫮�� ����砥��� 
��᪮��筮 ����� ࠧ.

4.6. �������, �� �� 䨪�஢����� $\a$ � $\b$, 
$\a+\b=1$, � �� $P_0^* = P_0+k\b$ \linebreak 
($k$ -- 楫��) ��᫥����⥫쭮�� ���ଠ~$W$,~$W^*$ ��������� 
��� �� ��㣠 ᤢ����.

4.7. �������, �� �� 䨪�஢����� ���樮������ $\a$ � $\b$, 
$\a+\b=1$, � �� $P_0^* \ne P_0+k\b$ ($k$ -- 楫��) 
��᫥����⥫쭮�� ���ଠ~$W$,~$W^*$ �� ᮢ������ � �� ��������� 
��� �� ��㣠 ᤢ����.

\subhead {\quad 5. ����ࠧ���稢��騥�� ᢥ��᫮��} \endsubhead

5.1. ���ᬮ�ਬ ��� ��᫥����⥫쭮�� ᫮� $U_k$ � $V_k$ �� �㪢
$a$ � $b$:
\smallpagebreak

$U_0=a, \, V_0=b$ \,\, � \,\,
$U_{k}=U_{k-1}^{2}\,V_{k-1}$, \,
$V_{k}=U_{k-1}\,V_{k-1}$ �� ��� $k \ge 1$,

\noindent
��᫥���� ��㫠 ����砥�, �� ��� ����祭�� ᫮�� $U_k$
�㦭� ��� ࠧ� ����� �믨��� ᫮�� $U_{k-1}$, � �᫥� �� �⨬
�믨��� ᫮�� $V_{k-1}$; ��� ����祭�� ᫮�� $V_k$ �㦭�
�ਯ���� ᫮�� $V_{k-1}$ � ᫮�� $U_{k-1}$.
��� ᠬ�, ��� ������� $k \ge 1$ ᫮�� $U_{k-1}$ ���� ��砫��
᫮�� $U_{k}$, � ᫮��~$V_{k-1}$ ���� ���殬 ᫮�� $V_{k}$:

\qquad\qquad
$U_0 = a$,\,\, $U_1 = aab$,\,\, $U_2 = aab\,\,aab\,\,ab$, \dots \,
$V_0 = b$,\,\, $V_1 = ab$,\,\, $V_2 = aab\,\,ab$, \dots

\noindent
� ���⮬� ᫮�� $W_k = V_k\,U_k$ ��ࠧ��� ���������
��᫥����⥫쭮��� �, �����, {\it ᠬ�ࠧ���稢�����\/}
� ᢥ��᫮�� $W$, ��饥�� �� ��ꥤ�������:

\noindent
$W_0 = b\,a \subset W_1 = ab\,aab \subset
W_2 = aab\,ab\,\,aab\,aab\,ab \subset \dots
\subset W = \dots aab\,ab\,\,aab\,aab\,ab \dots$.

�஢����, ��
����஥���� ᢥ��᫮�� $W$ ����� ࠧ���� �� ᫮�� $aab$ � $ab$:

\centerline
{$W = \dots aab\, aab\, ab\, aab\, ab \,\,
aab\, aab\, ab\, aab\, aab\, ab\, aab\, ab \dots$.}

5.1.1. �������, �� �� ᢥ��᫮�� $W$ ����ਮ��筮.

5.1.2. ������� � ᢥ��᫮�� $W$ ������ ᫮�� $aab$ �㪢�� $v$, �
��⥬ ������ ᫮�� $ab$ -- �㪢�� $h$: \,\,
{$W = \dots v\, v\, h\, v\, h \,\,
v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, h \dots $}

��୮ ��, �� ������: $vvh \to v$, � ��⥬ $vh \to h$ ��ॢ����
$W$ � ᥡ�?

5.1.3. ��୮ ��, �� ����祭��� ᢥ��᫮�� $W$ ���������⭮ �����஬�
ᢥ��᫮�� �� �����~$S$, �.�. ������� ⠪�� ��ﬠ� $L$,
�� $W \sim W_L$?

�᫨ ��, � 祬� ࠢ�� �� 㣫���� �����樥�� $k_L$?

5.2. ���쬥� ���� ��᫥����⥫쭮��� ����ࠫ��� �ᥫ
$\{n_k\}$
� ᮯ��⠢�� �� ��� ��᫥����⥫쭮�� ᫮� $U_k$ � $V_k$, �
������ \smallpagebreak

$U_0=a, \, V_0=b$,
$\, U_1=U_0^{n_1+1}V_0, \, V_1=U_0^{n_1}V_0$,
$\, U_2=U_1^{n_2+1}V_1, \, V_2=U_1^{n_2}V_1$, \, � �����
\smallpagebreak

\centerline
{$U_{k}=U_{k-1}^{n_k+1}\,V_{k-1}$, \,
$V_{k}=U_{k-1}^{n_k}\,V_{k-1}$ �� ��� $k \ge 1$.}

\noindent
�������, �� (��� � 5.1) ᫮�� $W_k=V_kU_k$, ࠧ������
``�� �।���" ����� � ��ࠢ�, ��ࠧ��� ��᪮��筮� � ��� ��஭�
ᠬ�ࠧ���稢��饥�� ᢥ��\-᫮��~$W$.

5.2.1. � ����� 5.1, ����� ���� ���� ��砥� ����� 5.2,
�� $n_k \equiv 1$.

���ᬮ�ਬ �� ���� ���� ��砩: 
�஢����, �� �� $n_k \equiv 2$
����஥���� ᢥ��᫮�� $W$ ����� ࠧ���� �� ᫮�� $a^3b=aaab$ � $a^2b=aab$:

\centerline
{$W = \dots aaab\, aaab\, aab \,\, aaab\, aaab\, aaab\, aab\,
\dots$.}

�������, �� �� ᢥ��᫮�� $W$ ����ਮ��筮.

������� � $W$ ������ ᫮�� $aaab$ �㪢�� $v$, � ��⥬ ������
᫮�� $aab$ -- �㪢�� $h$:

\centerline
{$W = \dots v\, v\, h\, \,\, v\, v\, v\, h\, \dots $}

��୮ ��, ��
������: $vvvh \to v$, � ��⥬ $vvh \to h$ ��ॢ���� $W$ � ᥡ�?
% ������� �� ��ਮ���᪨� ��᫥����⥫쭮�� $\{n_k\}$

��୮ ��, �� ����祭��� ᢥ��᫮�� $W$ ���������⭮ �����஬� 
ᢥ��᫮�� �� �����~$S$, �.�. ������� ⠪�� ��ﬠ� $L$, 
�� $W \sim W_L$? 

�᫨ ��, � 祬� ࠢ�� �� 㣫���� �����樥�� $k_L$ � ������ 
�ࠢ����� $L$? %

5.2.2. ��୮ ��, �� ��� �� ��᫥����⥫쭮�� $\{n_k\}$ 

a) $W$ ��⥫쭮 ��६�蠭�, 

b) $T_W(n) = n+1$ �� ��� $n$,

c) $W$ ���� ��᫥����⥫쭮���� ���ଠ? 

\enddocument

