\documentstyle{amsppt}
\loadbold
\NoBlackBoxes
\TagsAsMath
\TagsOnRight
\magnification 1200

\topmatter
\leftheadtext{���� �� �����⮩ �㬠�� � ᢥ��᫮��}
\rightheadtext{���� �� �����⮩ �㬠�� � ᢥ��᫮��}
\address
\endaddress
\email
kanel\@mccme.ru \,\, M.L\@gerver.mccme.ru
\endemail
\endtopmatter

\define\ar{\rightleftarrows}
\define\a{\alpha}
\redefine\b{\beta}
\define\f{\varphi}
\define\p{\Pi}
\redefine\l{\lambda}

\document
\centerline
{�.\,�.~�����--������, M.\,�.~��ࢥ�}
\head
������ �� ��������� ������ � ����������
\endhead

�஢���� ����� $L$ �� �����⮩ �㬠�� ⠪, �⮡� ��� �� ��室���
�१ 㧫�. �� ��� ����祭��� $L$ � ���⨪��ﬨ � ��ਧ��⠫ﬨ 
����襬~�㪢�~$v$~�~$h$. 
\footnote{�� ����祭��� � ���⨪��ﬨ -- $v$ -- vertical, 
�� ����祭��� � ��ਧ��⠫ﬨ -- $h$ -- horizontal.} 

�� ������� ��१��� $L$ ������� ⮣�� {\it ᫮��\/} �� �㪢~$v$~�~$h$, 
� �� �ᥩ ��אַ� ��������� ��᪮��筠� � ��� ��஭�
��᫥����⥫쭮��� $W_L$ �� ��� �㪢.

����� ��᫥����⥫쭮�� $W_L$ �ਭ�� ���뢠�� {\it ᢥ��᫮����}.

���� $L$ ��⠥� {\it �ਥ��஢���묨}: �� $L$ 㪠����
���ࠢ�����. �᫨ ᬥ���� ��� �� ��⨢���������, �
� ᢥ��᫮�� $W_L$ ���⠥��� � ���⭮� ���ࠢ�����. ���ਬ��,
{$\{\dots vvh\, vvh\, vh\dots\}$ ��������� �� 
$\{\dots hv\, hvv\, hvv\dots\}$.}
\smallpagebreak 

{\bf ���訢�����:} ��� $W_L$ �뤥���� �।� ��� ᢥ��᫮�, 
����� ����� ��⠢��� �� ���� �㪢? � ��� ᢮��⢠ $W_L$ �易�� 
� ��������᪨�� ᢮��⢠�� �����~$L$ � � ��䬥��᪨�� 
᢮��⢠�� �ᥫ, �ࠪ�ਧ���� �� ����? 

{\bf �����:} �᪮� �� ���������� ��� � ��楤�ன, 
��뢠�饩 ᢥ��᫮��~$W_L$ �~ࠧ�������� 
㣫����� �����樥�� $k_L$ ��אַ� $L$ � 楯��� �஡�. 

�� ⠪�� 楯�� �஡�, �������� ᫥���騥 �ਬ���:

\eightpoint
$$
\frac{11}{25}=
\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{3+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}, 
\quad
\frac{5}{8}=
\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}, 
\quad
\frac{\sqrt5-1}{2} = 
\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dots}}}, 
$$
$$
\frac{8}{5} = 1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}, \quad
\frac{\sqrt5+1}{2} = 
1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dots}}}, \quad
\sqrt2+1 = 
2+\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{2+\dots}}}. 
$$
\tenpoint

���஡��� � 楯��� �஡�� � �� �� ��������᪮� ������樨 -- 
�����⬥ {\it �������� ��ᮢ} -- ���� ������. 
� ���� ���⨬ �������� �� �����: ����᭮, �᫨ 
㣫���� �����樥�� $k_L$ ࠢ�� ����� �� �믨ᠭ��� {\it ��ਮ���᪨�\/}
楯��� �஡��, � ��� �� ��ਮ��筮��� ������ � ��஥��� $W_L$? 

\subhead{\quad ��ନ�������}\endsubhead
������騥 �ନ�� ������� ��� ������� �筮 � ���⪮. \linebreak
{\it �����}~-- �� ����筠�, � {\it ᢥ��᫮��}~--
��᪮��筠� � ��� ��஭� ��᫥����⥫쭮��� ᨬ�����. 
{\it ���᫮��}~-- �� ᫮��, ��饥�� �����
��㣮�� ᫮�� ��� ᢥ��᫮��.
{\it ����� ᫮��\/} -- �᫮ ᨬ����� � ���.
�ਬ���: $vv$, $vh$, $aba$ � $001$ -- ������� ���᫮�� 
����� 2 � 3 � ᢥ��᫮���
$\{\dots vvhvvhv\dots\}$, $\{\dots aabaaba\dots\}$ 
 � $\{\dots 0010010\dots\}$. 

\subhead{\quad ����� $S$}\endsubhead ����� ᢥ��᫮� $W=W_L$,
ᮮ⢥������� �ᥬ �ਥ��஢���� ���� $L$ �� �����⮩ 
�㬠��, �� ��室�騬 �१ 㧫�, ������稬 �१ $S$. 

����� � $S$ �� ��ᬮ�ਬ �� ��᪮�쪮 ����ᮢ ᢥ��᫮�:
��⥫쭮 ��६�蠭�� ᢥ��᫮��, 
ᢥ��᫮�� � �������� ����騬 ����ᮬ ���᫮� 
� ��㣨�. 

�ࠢ����� �� � ����ᮬ $S$, �� ��⠭���� �� ��ᨢ�� ᢮��� 
ᢥ��᫮� $W_L$. 

������� ���� �������⥫�� ������, � ⮬ �᫥, ���襭��. 

\head {�����⮢�⥫�� �����} \endhead
������� �����⮢�⥫�� ����� -- ᮢᥬ �����. 
��㣨� -- ᫮����. 

�����: �᫨ �����-� ����� ����� �� ����砥���, 
�ய���� �� � ���� �����, � ��⮬, ����� ����� ����� 
�㤥� �襭�, ��୨��� � ���. 

0.1. �ਤ㬠�� ᢥ��᫮��~$W$ �� �㪢 $v$, $h$, �������� �� 
�ਭ������饥 ������ $S$. 

0.2.1. ��� ����� �����~$L$ ᢥ��᫮��~$W_L$ �� $S$ -- ��ਮ���᪨�? 

0.2.2. ��� ����� $L$ �㪢� $v$ ��������� � ᢥ��᫮��� $W_L\in S$ 
��, 祬 $h$? 

0.2.3. ������� ������ $h \ar v$ � �ந����쭮� ᢥ��᫮��~$W_L$ �� 
$S$. ��⠭���� �� ����稢襥�� ᢥ��᫮�� $W^{\prime}$ � ����� $S$? 
�� ���� �ᥣ�� �� $W^{\prime} = W_{L^{\prime}}$ ��� �����ன ��אַ� 
$L^{\prime}$? �᫨ ��, � ��� ��ﬠ� $L^{\prime}$ ᮮ⭮���� � $L$? 
\subhead
{\quad 
������ �����㣮�쭨�� $M_w$}
\endsubhead 
�ந����쭮 䨪��㥬 ����� $K_0$ �� �����⮩ �㬠�� 
� ��� ᫮�� $w$, ����饬� �� $n$ �㪢 $w_j$: 

\centerline
{$w = \{w_1, \dots, w_n\}$, \, 
������ �㪢� $w_j$ -- �� ���� $v$, ���� $h$,} 

\noindent
ᮯ��⠢�� �����㣮�쭨� $M_w$, ����騩 �� $n+1$ ���⮪ 
$K_0, K_1, \dots, K_n$, ������� �� ᫥���騬 �ࠢ����. 
���⪠ $K_1$ ����� ����� ��஭� � $K_0$ � �ਬ몠�� � ��� ᢥ���, 
�᫨ $w_1=h$, ��� �ࠢ�, �᫨ $w_1=v$. �����, �᫨ $j-$� �㪢� 
$w_j=h$, � $K_j$ �ਬ몠�� � $K_{j-1}$ ᢥ��� (�� ���� ��஭� 
{\it ��ਧ��⠫쭠}), � �᫨ �㪢� $w_j=v$, � $K_j$ �ਬ몠�� � 
$K_{j-1}$ �ࠢ� (�� ���� ��஭� {\it ���⨪��쭠}). 

�����㣮�쭨�� $M_w$ �㤥� ���뢠�� {\it �����묨}.
$M_w$ ����� � ��᪮�쪨� ��᫥����⥫��� ��ப�� �� �����⮩ �㬠��.
� ������ ⠪�� ��ப� ���⪨, �ਭ������騥 $M_w$, ��ࠧ��� {\it �����}
(��אַ㣮�쭨� $1 \times \l,\, \l\ge 1$; �᫠ $\l=\l_s$ ������� ��
����� ��ப�). ��� ���� � ���� �ᥤ��� ��ப�� {\it ᠬ��
�ࠢ��\/} ���⪠ ������ ����� ����� ��� {\it ᠬ�� �����\/}
���⪮� ���孥� �����.

����� �����묨 �����㣮�쭨���� $M_w$ �
᫮���� $w$ �� �㪢~$v$~�~$h$ ������� ������� �������筮� ᮮ⢥��⢨�:
�� ⮫쪮 $M_w$ �� $w$, �� � $w$ �� $M_w$ ��।������ �������筮.
���⮬� ᫮�� $w$ ����� {\it �⮦���⢨��\/} c �����㣮�쭨���� $M_w$ 
� �ࠪ⮢��� ᢮��⢠ ᫮� � ᢥ��᫮� ��������᪨ -- ��� ᢮��⢠ 
������� �����㣮�쭨���.

\subhead
{\quad ����襭�� � ����饭�� ᫮��}
\endsubhead 
����� $w$, ��⠢������ �� �㪢 $v$~�~$h$, ������� {\it ࠧ�襭��}, 
�᫨ ��� ���� ���᫮��� �����ண� ᢥ��᫮�� $W_L \in S$, � 
������� {\it ����饭��}, �᫨ ������� $W_L \in S$ �� ᮤ�ন� $w$ 
� ����⢥ ���᫮��. 

��������᪨� ��� ������ ��।������: �᫨ $w$ -- 
{\it ࠧ�襭���} ᫮��, � �����㣮�쭨� $M_w$ (�� ��� ���⪨) 
����� ����ભ��� �����ன ��אַ�~$L$, �� ��室�饩 �१ 
���設� ���⮪; �᫨ $w$ -- {\it ����饭���} ᫮��, � �⮣� 
ᤥ���� �����. 

0.3. �������, �� $\{ h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h \}$ -- 
ࠧ�襭��� ᫮��, � �����, ������� ᢥ��᫮�� 
$W = \{\dots h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h \dots\} \in S$. 
                                                   
0.3.1. ����쪮 �㪢 $v$ ����� ����� � $W$ ����� {\it �ᥤ����\/}
�㪢��� $h$, �.�. �ᥬ� ⠪��� �㪢��� $h$, �� ����� ���� ��� 
��㣨� $h$? ��७ �� �⢥�: {\it ���� $2$, ���� $3$\/}?

0.3.2. ����᫨� �� ࠧ���� ���᫮�� ����� 2, 3 � 4 � $W$. 

0.3.3. ������ �����-����� ��� ���� $L$ � $L^*$,
��� ������ $W_L$ � $W_{L^*}$ ᮤ�ঠ� ���᫮��
$ h v v v h v v h $ �� ⠪�� �� ���쬨 �㪢, ��� � 0.3.

0.3.4. ��易⥫쭮 �� ᮢ������ � $W_L$ � $W_{L^*}$ --
��� ��� �����-� $L$ � $L^*$ ����� � �� ᮢ����� --
������⢠ ��� ���᫮� a) ����� 5? b) ����� 6? c) ����� 7? 

0.4.1. ����� �� �������, �� �� ���᫮�� �����ண� ᢥ��᫮�� 
$W$ ����� ࠧ�襭�묨 ᫮����, �� ᠬ� $W \not\in S$? 

0.4.2. ����� �� ᮢ����� $W_L$ � $W_{L^*}$, �᫨ $L$ � $L^*$ �� 
ᮢ������? 

0.4.3. ����� �� ᮢ����� ������⢠ ��� ���᫮� � ᢥ��᫮��� 
$W_L$ � $W_{L^*}$, �᫨ ᠬ� $W_L$ � $W_{L^*}$ �� ᮢ������?  

0.5.1. ���६ �� ������ $v$ ��। ����� $h$ � $W \in S$ �� 0.3.

��⠭���� �� ����稢襥�� ᢥ��᫮��
$\{\dots h v v h v h \dots\}$ � ����� $S$?

0.5.2. ���६ �� ������ $v$ ��। ����� $h$ 
� �ந����쭮� ᢥ��᫮��~$W$ �� $S$. 

��⠭���� �� ����稢襥�� ᢥ��᫮�� � ����� $S$?

0.6. ���襬 �� ������ $v$ ��। ����� $h$ � �ந����쭮�
ᢥ��᫮��~$W$ �� $S$.

��⠭���� �� ����稢襥�� ᢥ��᫮�� � ����� $S$?

\subhead{\quad �����䨪��� ᢥ��᫮� $W \in S$}\endsubhead
�⭥ᥬ $W=W_L \in S$ � $S^h$, �᫨ ��ﬠ�~$L$ -- {\it �������}: 
��ࠧ�� 㣮� ����� $\pi/4$ � ��ਧ��⠫��; �᫨ ��~$L$ -- {\it 
�����} (��ࠧ�� 㣮� �����~$\pi/4$ � ���⨪����), �⭥ᥬ 
$W=W_L \in S$ � $S^v$. 
�����᫮�� $\{\dots v\, h\, v\, h \dots\}$, ��� ���ண� 
��� 㣫� ࠢ�� $\pi/4$, �뤥��� � �⤥��� ��������~$E$. 

�⭥ᥬ ᢥ��᫮�� 
$W \in S^h$ � $S^h_n$, $n = 1,\, 2,\, 3, \dots$, 
� ���� �����: 

a) �᫨ � $W$ ����� ��묨 ���� �ᥤ���� �㪢��� $h$ ���� $n$ 
�㪢 $v$, 

b) �᫨ � $W$ ����� ��묨 ���� �ᥤ���� $h$ ���� 
 ���� $n+1$, ���� $n$ �㪢 $v$. 

�������筮, 
�⭥ᥬ $W \in S^v$ � $S^v_n$, $n = 1,\, 2,\, 3, \dots$, 
�᫨ ����� ��묨 ���� �ᥤ���� �㪢��� $v$ � $W$ ���� 
\, a) $n$ �㪢 $h$, \,\, b) ���� $n+1$, ���� $n$ �㪢 $h$. 

�����᫮�� $\{\dots v\, v\, v\, \dots\}$ � 
 $\{\dots h\, h\, h \dots\}$
�뤥��� � ��������� $S^h_{\infty}$ � $S^v_{\infty}$. 

\smallpagebreak 

0.7. �������, �� ��ꥤ������ ��� $S^h_n$, $1 \le n \le {\infty}$, 
ᮢ������ � $S^h$, � ��ꥤ������ ��� $S^v_n$, $1 \le n \le {\infty}$, 
ᮢ������ � $S^v$. 

���������⭠� ��㫨஢��: �������, �� 
������ ᢥ��᫮�� $W \in S$ �ਭ������� ஢�� ������ ���������: 

\centerline
{���� $E$, \, ���� $S^h_n$ ��� $S^v_n$, $1 \le n < {\infty}$, \, 
���� $S^h_{\infty}$ ��� $S^v_{\infty}$.}

0.7.1. ���� ����������� �������� 0.7 � �ନ��� ������� 
�����㣮�쭨���: ������ ����� ���� ����� $\l_s$ ���� 
�����㣮�쭨�� $M_w$ ��� ࠧ�襭���� ᫮�� $w$, ��饣��� 
���᫮��� ᢥ���\'��� $W \in S^h$? 

0.7.2. �ਤ㬠�� ��ਮ���᪮� ����饭��� ᫮�� $w$, ��� 
���ண� � �����㣮�쭨�� $M_w$ ��\'��� ���� $\l_s$ �ਭ����� ��� 
���祭��: 2 � 3. 

\subhead{\quad 0.8. �����ன��  ᢥ��᫮�� $W$, 
楯�窨 �� �ᥫ $a_j$ � 楯�� �஡�}\endsubhead 

���쬥� �ந����쭮� ᢥ��᫮�� $W\in S$ � ��筥� ��� 
{\it �����ࠨ����}, ��᫥����⥫쭮 �ॢ��� � ᢥ��᫮�� $W_j$, 
$j\ge 1$: \,\, $W \to W_1 \to W_2 \to \dots$, 
� ����⭮ ��ࠧ㥬 {\it 楯��� �� �ᥫ $a_j$} �� ᫥���騬 �ࠢ����. 

�� ᢥ��᫮�� $W$ �� $S$ �ਭ������� ���� $E$, ���� $S^h$, ���� 
$S^v$. ����� ��� ��।�������� $W \in S^h$. �����, ᮣ��᭮ 0.7, 
$W \in S^h_n$ �� �����஬ $n$, \, $1 \le n \le {\infty}$.

�᫨ $n = {\infty}$ (�᫨ $W \in S^h_{\infty}$), ������� 
����஥��� �� �ந��������. 

�᫨ $n = a_1 < {\infty}$, ��ࠥ� �� $a_1$ �㪢 $v$ 
��। ����� $h$ � ����祭��� ᢥ��᫮�� ���뢠��~$W_1$. 
�᭮, �� $W_1$ �ਭ������� $S^v$ (��祬�?), � ᫥����⥫쭮, 
�ਭ������� $S^v_n$ �� �����஬ $n$. 

�᫨ $n = {\infty}$, ����஥��� ���뢠����. 

�᫨ $n = a_2 < {\infty}$, 
��ࠥ� �� $a_2$ �㪢 $h$ ��। ����� $v$. ����砥� $W_2$ � �.�. 
\pagebreak 

0.8.1. ����� 㣫���� �����樥�� ��אַ� $L$ ࠢ�� 
{\it ����筮�\/} 楯��� �஡�, ���ਬ��, ����� �� ᫥�����: 

\eightpoint
$$
\frac{11}{25}=
\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{3+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}, 
\quad
\frac{7}{24}=
\dsize\frac{1}{3+\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{3}}}, 
\quad
\frac{4}{19}=
\dsize\frac{1}{4+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{3}}}, 
\quad
\frac{5}{8}=
\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}.
$$

\tenpoint

��� ������ �� ��� �஡�� ������ 楯��� 
$a_1,\, a_2,\, \dots, a_n$ 
��� ᢥ��᫮�� $W=W_L$, ᮯ��⠢������� ��אַ� $L$. 

0.8.2. �� 0.8.1. ᫥���: ��� �������� $L$ �����ன�� ᢥ��᫮�� 
$W=W_L$ ����� ���ࢠ���� �१ ����筮� �᫮ 蠣��: 
$W \to W_1 \to W_2 \to \dots \to W_n$. 

����� {\it ��\/} ⠪��~$L$ � �筮 ���㫨��� ��� ���, 
��� 楯�窨 $a_1,\, a_2,\, \dots, a_n$ �易�� � �।�⠢������ 
㣫����� �����樥�� $k_L$ � ���� 楯��� �஡�. 

�� ᪮� ��୥��� � ���祭�� �������裡 楯��� �஡�� � 楯�祪 
$a_j$, �� ��। �⨬ ��᫥�㥬 ������� ᢮��⢠ ᢥ��᫮�. 

\subhead 
{ \quad 1. ����� $S_1$ -- ��⥫쭮 ��६�蠭�� ᫮�� � 
ᢥ��᫮��}
\endsubhead 
� ᫥����� ������ -- ��� ࠧ����ࠧ�� -- ��⠥�, �� 
ᢥ��᫮�� $W$ ��⠢���� �� �㪢~$a$~�~$b$. �� ᮯ��⠢����� 
� ᢥ��᫮���� �� ����� $S$ ����� ᤥ���� ������ 
$a \ar h, \,\, b \ar v$. 

����� ᫮�� (��� ᢥ��᫮��) $W$ ⠪���, �� ��� ���� ���� ��� 
���᫮� $U$~�~$V$ ���������� ����� �᫮ �㪢 $a$ �~$U$~�~�~$V$ 
ࠧ��砥��� �� �����, 祬 ��~1 (�᫮ �㪢 $b$ ࠧ��砥��� � ��� 
⮣�� ⮦� ���ᨬ� ��~1). ������� ⠪�� $W$ {\it ��⥫쭮 
��६�蠭�묨\/} ᫮���� (ᢥ��᫮����) � �⭥ᥬ �� � ������ $S_1$. 

1.1. �ਢ���� �ਬ�� ��⥫쭮 ��६�蠭���� ᢥ��᫮��. 

��� �������� 楫� -- ࠧ������� � ���� ����ᮬ�: 

I. ��୮ ��, �� ������ ࠧ�襭��� ᫮�� ����� ��⥫쭮 
��६�蠭��?

II. ��୮ ��, �� $S \subset S_1$? 

������� �� ��� ������� ᫥���騥 �ࠦ����� � �����. 

1.2.1. ��୮ ��, �� �� ࠧ�襭��� ᫮�� ���� ���᫮��� 
��� ��᪮��筮�� ������⢠ ࠧ����� ᢥ��᫮� $W_L$ ��~S? 

1.2.2. ��୮ ��, �� �� ࠧ�襭��� ᫮�� ���� ���᫮��� 
ᢥ���\'��� $W_L$ ��~S ��� ��אַ� $L$ � �樮����� 㣫��� 
�����樥�⮬ $k_L$? 

1.2.3. ��୮ ��, �� ᢥ��᫮�� $W$ ���� ��⥫쭮 
��६�蠭��, �᫨ ������ ��� ���᫮�� ���� ��⥫쭮 
��६�蠭��? 

1.3. ����� ᫮�� (��� ᢥ��᫮��) $W$ ����� ࠧ���� �� ���᫮�� 
���� ⨯��: 

$ab^n$~(�� �㪢�� $a$ ᫥���� $n$ �㪢 $b$) � 
$ab^{n+1}$ (�� �㪢�� $a$ ᫥���� $n+1$ �㪢 $b$). 

�ந������ ������ {\it ��२���������}: ������ ���᫮�� $ab^{n+1}$ 
������� �㪢�� $b$, � ������ ���᫮�� $ab^{n}$ -- �㪢�� $a$. 
����� (��� ᢥ��᫮��), ����稢襥�� �� $W$ � १���� 
��२��������� ������稬 �१ $W^*$. 

1.3.1. ��୮ ��, �� �� ��२��������� ࠧ�襭�� ᫮�� 
���室�� � ࠧ�襭��, � ����饭�� -- � ����饭��? 
�� �ந�室�� �� ��२��������� � �����묨 �����㣮�쭨����?

��������. ������ �� ���� �����⮩ �㬠�� ���न���� $x, y$ � 
��ᬮ��� �⮡ࠦ���� $F$, ��ॢ���饥 ��� $\{x,y\}$ � 
$\{x-ny, -x+(n+1)y\}$. 

1.3.2. ��୮ ��, �� �� ��२��������� 

᫮�� $W\in S_1$ ���室�� � $W^*\in S_1$, 
� ᫮�� $W \not\in S_1$ -- � $W^*\not\in S_1$? 

1.4.1. �������, �� ������ ࠧ�襭��� ᫮�� ��⥫쭮 ��६�蠭�.

1.4.2. �������, �� �� ᢥ��᫮�� $W \in S$ ���� ��⥫쭮 
��६�蠭��.

1.4.3. �ਢ���� �ਬ�� ��⥫쭮 ��६�蠭���� ᢥ��᫮�� 
$W \not\in S$. 

1.5. ��୮ ��, �� � ��䠢�� �� �㪢 $a$ � $b$ ��� ����
����ࠫ��� $m$ � $n$ ������� ⠪�� ��ਮ���᪮� 
��⥫쭮 ��६�蠭��� ᢥ��᫮��, �� � ��� ��ਮ�� 
����砥��� $m$ �㪢 $a$ � $n$ �㪢 $b$?

1.6.1. ������� �� ⠪�� ��⥫쭮 ��६�蠭��� ����筮� ᫮��, 
���஥ �� ����� ����� ���᫮��� �������� ��⥫쭮 
��६�蠭���� ᢥ��᫮��? 

1.6.2. ��୮ ��, �� �� ��⥫쭮 ��६�蠭��� ᫮�� ���� 
ࠧ�襭��?

1.7. ������ �� ᢥ��᫮�� $W$, ⠪�� �� 
{$W \in S_1$ � $W \not\in S$.} 

1.8. ������ ��।������ ��⥫쭮 ��६�蠭���� �� ��䠢��� �� 
��᪮�쪨� �㪢. ��୮ ��, �� �� � ����� ��⥫쭮 ��६�蠭��� 
ᢥ��᫮�� �� �㪢 $a,b,c$ ��� ���᫮�� $aa$? 

\subhead 
{ \quad 2. ����� $S_2$ -- ᢥ��᫮�� � �������� ����騬 
����ᮬ ���᫮�}
\endsubhead 

2.1. ����� $W$~-- �ந����쭮� ᢥ��᫮�� �� ���� �㪢  
� ����� $T_W(n)$~-- �᫮ ࠧ����� ���᫮� �����~$n$ � $W$. 
������ ���ᨬ��쭮 ��������� ���祭�� $T_W(n)$? 

2.2. �������, �� �᫨ $T_W(k)=T_W(k+1)$ �� �����஬~$k$, �
ᢥ��᫮�� $W$ ��ਮ��筮 � ��ਮ��� ����� $T_W(k)$. 

2.3. ����� $T_W(k)<k+1$ �� �����஬ $k$ (�ࠢ��� � ����祩 2.1). 
�������, �� ⮣�� ᢥ��᫮�� $W$~��ਮ��筮. 

�⠪, ������ $T_W(n)$ � ����ਮ���᪮� ᢥ��᫮�� $W$ ����
$n+1$. �᫨ ��� ������ ���⨣����� (�. ������ 2.4.2) 
� $T_W(k)=k+1$ ��� ��� $k$, ������� $W$ {\it ᢥ��᫮��� � 
�������� ����騬 {\rm (�� 㢥��祭�� $k$)} ����ᮬ ���᫮�\/} � 
�⭥ᥬ ⠪�� $W$ � ������ $S_2$. 

2.4. �������, �� ��� ��� ᢥ��᫮� $W \in S$ �믮������ ��ࠢ���⢮ 

\centerline
{$T_W(k) \le k+1$ ��� ��� $k$.} 


2.4.1. ����� �㭪�� $T_W(k)$ ��� ᢥ��᫮�� $W=W_L$ � ��砥, ����� 
㣫���� �����樥�� $k_L$ ��אַ� $L$ -- �樮���쭮� �᫮ $m/n$ (��� 
$m$ � $n$ ������� �����). 

2.4.2. ����� $k_L$ -- ���樮���쭮� �᫮. �������, �� ⮣�� 
$W=W_L$ 㤮���⢮��� �᫮��� $T_W(k)=k+1$ �� ��� $k$, �.�. 
$W\in S_2$. 

2.4.3. �ਢ���� �ਬ�� ᢥ��᫮�� $W$ �~�������� ����騬 
����ᮬ ���᫮�, �� �ਭ������饣� �� $S$, �� $S_1$. 

2.4.4. ������ �� ᢥ��᫮�� $W\in S_2$, ⠪�� �� 
{$W \in S_1$ � $W \not\in S$.} 

\subhead 
{\quad ����� $S_2$. �ᮡ� ���᫮��, ����騥�� ����� ��� ��ࠢ�}
\endsubhead 

������⢮ ��� ���᫮� ����� $n$ ��� ᢥ��᫮�� $W$  
������稬 �१ $\p_W(n)$.       

2.5.1. ���쬥� �� ᢥ��᫮�� $W \in S_2$. � ������ �� $n+1$
ࠧ����� ���᫮� ����� $n$, �ਭ�������� $\p_W(n)$, ��६ ᠬ��
����� �㪢�. �������, �� �।� ����稢訥�� $n+1$ ���᫮� �����
$n-1$ �������� ������ ���᫮�� $U \in \p_W(n-1)$.

�⠪, �� ���᫮�� $U \in \p_W(n-1)$, �஬� ������,
��������� �� ࠧ�, � ���� -- ������� ��� {\it �ᮡ�\/} �
{\it ����騬�� �����\/} -- �������� 2 ࠧ�. 

���� ��࠭���� ��������: � ���᫮�� $U$ ᫥�� ����� �ਯ���� � 
$v$, � $h$, � � ���ᮡ� ���᫮��� -- {\it ���� $v$, ���� $h$}. 

�������, �� �ᮡ� {\it ����騥�� �����\/} ���᫮��
$U_n$ ����� $n$ ��ࠧ��� ��������� ��᫥����⥫쭮���:
$U_1 \subset U_2 \subset \dots \subset U_n \subset U_{n+1} \subset 
\dots$ (���� ������, �� ������ $n$ �ᮡ�� $U_n$ ����砥���, �᫨ 
����� ᠬ�� �ࠢ�� �㪢� $U_{n+1}$). 

2.5.2. �� �������� � 4.1.1. ��।���� {\it �ᮡ�\/}
���᫮�\'� $V_n$ ᢥ���\'��� $W \in S_2$, {\it ����騥�� ��ࠢ�\/}.

�������, �� �ᮡ� {\it ����騥�� ��ࠢ�\/} ���᫮��
$V_n$ ����� $n$ ⮦� ��ࠧ��� ��������� ��᫥����⥫쭮���:
$\dots \supset V_{n+1} \supset V_n \supset \dots \supset V_2 \supset V_1$.

2.5.3. �ਢ���� �ਬ�� ᢥ��᫮�� $W \in S_2$, ��� ���ண�
$U_n \ne V_n$ �� ��� $n$.

2.5.4. �ਢ���� �ਬ�� ᢥ��᫮�� $W \in S_2$, ��� ���ண�
$U_n = V_n$ ��� ��᪮��筮� ��᫥����⥫쭮�� �����ᮢ $n$:
$U_{n_k} = V_{n_k}, \,\, k = 1,\, 2,\, 3,\, \dots$.

2.6.1. ��୮ ��, �� $W \in S_2$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �� 
�� $n$ � $W$ ���� ஢�� ���� ���᫮�� $U$ ����� $n$, ����騥�� 
�����? 

2.6.2. ��୮ ��, �� $W \in S_2$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� �� 
�� $n$ � $W$ ���� ஢�� ���� ���᫮�� $V$ ����� $n$, ����騥�� 
��ࠢ�? 

2.7. ����� �� ᫥����� ᢥ��᫮�, ��⠢������ �� ���� 
��ਮ���᪨� ��⥩, �ਭ������� $S_2$? 

$\{\dots v v v, hv^n hv^n hv^n\dots\}$, $n \ge 0$; 
$\{\dots hv^2 hv^2 hv^2, hv^5 hv^5 hv^5\dots\}$; 

$\{\dots hv \, hv \, hv \, hv, \, hvhvhvv \, hvhvhvv \, hvhvhvv 
\dots\}$; 

$\{\dots hv \, hv \, hv \, hv, \, hvhvvhvv \, hvhvvhvv \, hvhvvhvv 
\dots\}$. 

2.8.1. ������ �� ᢥ��᫮�� $W\in S_2$, ⠪�� �� 
$W \not\in S_1$. 

2.8.2. ����� $W\in S_2$, $W \not\in S_1$. �������, �� ⮣�� ��� 
��� ���᫮�� $w\in W$ ������ �����㣮�쭨� $M_w$ ����� 
����ભ��� ���� ������묨 � �樮����묨 㣫��묨 
�����樥�⠬� (��������, ������騬� �� $w$). 

2.8.3. ����� $W\in S_2$, $W \not\in S_1$. ��୮ ��, �� ⮣�� 
�������� ⠪�� 2 �樮������ �᫠ $k_1$ � $k_2$, �� ��� ��� 
���᫮�� $w\in W$ ������ �����㣮�쭨� $M_w$ ����� ����ભ��� 
���� ������묨 � 㣫��묨 �����樥�⠬� $k_1$ � $k_2$? 
(��᫠ $k_1$ � $k_2$ -- ���� � � �� ��� ��� $w$). 
%\end 



\head
{�����⮢�⥫�� ����� � 楯��� �஡�� ���࠭�� � ���楡���}
\endhead
�� ����� ४��������� ���� ��ࠫ���쭮 � ����砬� � ᢥ��᫮���. 
\subhead{\quad A. �������� 楯��� �஡��} \endsubhead 
���쬥� ��אַ㣮�쭨� $\p$ � ��஭��� $p, q$, ��� $p$ � $q$ -- 
楫� ������� ����� �᫠ � $1<p<q$. �ਫ���� � ����襩 ��஭�~$\p$ 
� �ᯮ����� ����� $\p$ (�.~��㭮�) �⮫쪮 �����⮢ � ��஭�� $p$, 
᪮�쪮 �� ⠬ 㬥�����; �᫮ ⠪�� �����⮢ ������稬 �१ 
$a_1$; ⥬ ᠬ�, $$a_1p<q<(a_1+1)p. \tag 1$$ 
�᫨ �᪫���� �� $\p$ �� $a_1$ �����⮢, � ��⠭���� 
��אַ㣮�쭨� $\p_1$ � ��஭��� $p_1=q-a_1p, \,\, q_1=p$, ��祬, 
����� (1), $1\le p_1<q_1$. 

�� $p_1=1$ ������� $a_2=q_1=p$ � ���ࢥ� ����஥���. �� $p_1<1$ 
����㯨� �~$\p_1$ ⠪ ��, ��� � $\p$: � ����襩 ��஭�~$\p_1$ 
�ਫ���� �⮫쪮 �����⮢ � ��஭��~$p_1$, ᪮�쪮 㬥����� 
�����~$\p_1$; �᫮ �� ������稬 �१~$a_2$. �᪫�稢 �� $\p_1$ 
�� $a_2$~�����⮢, ����稬 ��אַ㣮�쭨� $\p_2$ � ��஭��� 
$p_2=q_1-a_2p_1, \,\, q_2=p_1$ � �.�. 

\noindent
����஥��� ���뢠���� �� $k-$� 蠣�, �᫨ $p_k=1$; � �⮬ ��砥 
$a_k=q_k=p_{k-1}>1$. 

A0.1. �������, �� 

\eightpoint
$$
\frac{p}{q} = 
\dsize\frac{1}{a_1+\dsize\frac{1}{a_2+\dsize\frac{1}{a_3+\dots+
\dsize\frac{1}{a_k}}}}. \tag 2
$$

\tenpoint
��᫠ $a_j$ � (2) ���뢠���� {\it ������묨 ���묨\/} ��� 
{\it ������⠬�\/} 楯��� �஡�. 

�� $a_j$ � (2), �஬� $a_n$, ����� ���� ��묨 ����ࠫ�묨 
�᫠��, � $a_n>1$. 

A0.1. ����� ��ᬠ�ਢ��� �� ⮫쪮 ������, �� � ��᪮���� 
楯�� �஡� � ��묨 楫묨~$a_0$ � ��묨 ����ࠫ�묨~$a_n,~n>0$; 
⠪�� ��᪮����� 楯��� �஡� $c$ ᫥��� �������� ��� {\it �।��\/} 
������� 楯��� �஡�� $c_k$ �� $k \to \infty$: 

\eightpoint
$$
c = a_0 + 
\dsize\frac{1}{a_1+\dsize\frac{1}{a_2+\dsize\frac{1}{a_3+\dots}}} = 
\lim c_k, \quad 
c_k = a_0 + 
\dsize\frac{1}{a_1+\dsize\frac{1}{a_2+\dsize\frac{1}{a_3+\dots+
\dsize\frac{1}{a_k}}}}. 
$$

\tenpoint
�������, �� $\lim c_k$ �������  
�� ���� 楫��~$a_0$ � ����ࠫ���~$a_n,~n>0$. 

A1.1. ��� ���� ��������᪠� �������� �������� �����
$a_1, \dots, a_k$ ��� ࠧ������� �樮���쭮�� �᫠ $p/q$ 
� 楯��� �஡�. ���� ���������� ����������� �������� 
��� ࠧ������� ���樮���쭮�� �᫠ $\b$ � 楯��� �஡�. 

A1.2. ����᭨� ��������᪨, ��祬� �� $\b=\sqrt2+1$ ��� 
�� $\b=(\sqrt5-1)/2$ ��������� {\it ��ਮ���᪨�\/} 楯�� �஡�. 

A1.3. �������, �� �᫮ $\b$ ⮣�� � ⮫쪮 
ࠧ�������� � {\it ��ਮ������\/} 楯��� �஡�, 
����� $\b$ ���� {\it ������筮� ���樮���쭮����\/}, � ���� 
���� ��୥� �����⭮�� �ࠢ����� � 楫묨 �����樥�⠬�. 

����᭨�, �����  %��������᪨, ���
��������� ��ਮ���᪨� 楯�� �஡� c ��ਮ��� $\{a_1,\dots, a_p\}$ 
� ����� ��ਮ� ��稭����� ��~�~$a_1$, � � $a_{k+1}$, �.�. ����� ��� 
$\{a_{k+1}, \dots, a_{k+p}\}$. 

A2. ���ᬮ�७�� ��� 楯�� �஡� ���뢠���� �஡ﬨ ���࠭��. 
\footnote{����� �� ���࠭� (1736-1813) -- �뤠�騩�� �࠭��᪨� 
��⥬�⨪.} 
����� � ���� �㤥� ��ᬠ�ਢ��� 楯�� �஡� ���楡���
\footnote{�ਤ�� ���楡��� (த. � 1928 �.) -- ��㯭� ᮢ६���� 
����檨� ��⥬�⨪.}
 -- ������ � ��᪮����: 
\eightpoint
$$
\dsize\frac{1}{b_1-\dsize\frac{1}{b_2-\dsize\frac{1}{b_3-\dots-
\dsize\frac{1}{b_k}}}}, \quad
\dsize\frac{1}{b_1-\dsize\frac{1}{b_2-\dsize\frac{1}{b_3-\dots}}},
\quad \text{�� }b_j \ge 2. \tag 3
$$

\tenpoint
�ਬ��� (�஢����, �� ᫥���騥 ࠢ���⢠ ����): 
\eightpoint
$$
\dsize\frac{4}{5} = 
\dsize\frac{1}{2-\dsize\frac{1}{2-\dsize\frac{1}{2-
\dsize\frac{1}{2}}}}, \quad
\dsize\frac{5}{8} = 
\dsize\frac{1}{2-\dsize\frac{1}{3-\dsize\frac{1}{2}}}, \quad
\dsize\frac{3-\sqrt5}{2} = 
\dsize\frac{1}{3-\dsize\frac{1}{3-\dsize\frac{1}{3-\dots}}}. \tag 4
$$

\tenpoint
���� ����������� �������� {\it ������⮢\/} $b_j$ ��� 
ࠧ������� (3). 

� (3) � (4) � 楯�� �஡� ���楡��� ࠧ������ �᫠, ����訥 1. 
��� �ᥫ, ������ ��� ࠢ��� 1, ࠧ������� ����� ��� 
\eightpoint
$$
b_0 - \dsize\frac{1}{b_1-\dsize\frac{1}{b_2-\dsize\frac{1}{b_3-\dots-
\dsize\frac{1}{b_k}}}}, \quad
b_0 - \dsize\frac{1}{b_1-\dsize\frac{1}{b_2-\dsize\frac{1}{b_3-\dots}}},
\quad \text{�� }b_j \ge 2. \tag 5
$$

$$
\text 
{���ਬ��, } \quad
\dsize\frac{5}{4} = 
2-\dsize\frac{1}{2-\dsize\frac{1}{2-
\dsize\frac{1}{2}}}, \quad
\dsize\frac{8}{5} = 
2-\dsize\frac{1}{3-\dsize\frac{1}{2}}, \quad
\dsize\frac{\sqrt5+3}{2} = 
3 - \dsize\frac{1}{3-\dsize\frac{1}{3-\dsize\frac{1}{3-\dots}}}. 
\tag 6
$$
\tenpoint
\subhead{\quad ���᭥���} \endsubhead �᫮���, �� {\it ��} $b_j \ge 2$ 
� (3) � (5), ���ᯥ稢��� {\it �����⢥������\/} ࠧ������� 
��� �᫠ � 楯��� �஡� ���楡���. �� ��� �⮣� �᫮���, 
����� �뫮 �� {\it �訡�筮\/} �।������ � ����⢥ ⠪�� �஡�� 
᫥���騥 ࠧ�������: 
\eightpoint
$$
\dsize\frac{5+\sqrt5}{2} = 
5 - \dsize\frac{1}{1-\dsize\frac{1}{5-\dsize\frac{1}{1-\dots}}}, 
\quad
\dsize\frac{5-\sqrt5}{2} = 
\dsize\frac{1}{1-\dsize\frac{1}{5-\dsize\frac{1}{1-\dots}}}. \tag 7
$$

\tenpoint
���� ࠢ���⢠ (7) � �।��騬��� �����栬� � 
���ઠ�� {\it �� ����,\/} ����� ��ᮡ���� �᫮��� 
$b_j \ge 2$, ࠧ������ﬨ � 楯��� �஡� ���楡���. 

A3.1. �������� � 楯��� �஡� ���楡��� �᫠ 
$1$,\, $(\sqrt5 \pm1)/2$,\, $(5 \pm\sqrt5)/2$,\, $\sqrt2$.

A3.2. ������� -- �� �᫮���, �� {\it �� ��������} 
$b_j \ge 2$, -- �����⢥������ ࠧ������� ��� ������⥫쭮�� �᫠ 
� 楯��� �஡� ���楡���. 

A3.3. ���� ������ A1.3 �ਬ���⥫쭮 � �஡� ���楡���. 

\subhead{\quad ���室�騥 �஡�} \endsubhead ��� ��᪮����� 楯��� 
�஡�� ���࠭�� � ���楡��� �~������⠬� $a_j$ � $b_j$ 
������ ����� ��������, 祬 ���, ������祭��: 
$$
[a_0; a_1, a_2, \dots ], \quad [[b_0; b_1, b_2, \dots]]. \tag 8
$$
������ 楯�� �஡� ����������� ⠪: 
$$
[a_0; a_1, a_2, \dots, a_k], \quad [[b_0; b_1, b_2, \dots, b_k]]. 
\tag 9
$$
�᫨ � (8) � (9) $a_0=0$ ��� $b_0=0$, ��襬 
$$
[a_1, a_2, \dots ], \quad [[b_1, b_2, \dots]]; \quad
[a_1, a_2, \dots, a_k], \quad [[b_1, b_2, \dots, b_k]]. 
$$
�����騥�� �ਡ������ﬨ �஡�� (8), (9) ������ 楯�� �஡� 
$$
[a_0;],\, [a_0; a_1],\, [a_0; a_1, a_2], \dots \quad \text {�} \quad 
[[b_0;]],\, [[b_0; b_1]],\, [[b_0; b_1, b_2]], \dots 
\tag 10
$$
���뢠���� {\it ���室�騬� �஡ﬨ}. ���ਬ��, ��� ࠧ������� 
$(\sqrt5+1)/2$ � 楯��� �஡� ���࠭�� $[1; 1,1, \dots]$ ���室�騬� 
�஡ﬨ �㦠� �஡� 
$$
[1;]=1/1,\,\, [1; 1]=2/1,\,\, [1; 1, 1]=3/2,\,\, [1; 1, 1, 1]=5/3,\,\, 
\dots \tag 11
$$
� ��� ࠧ������� $(\sqrt5+3)/2$ � 楯��� �஡� ���楡��� 
$[[3; 3, 3, \dots]]$ -- �஡� 
$$
[[3;]]=3/1,\,\, [[3; 3]]=8/3,\,\, [[3; 3, 3]]=21/8,\,\, 
[[3; 3, 3, 3]]=55/21,\,\, \dots \tag 12
$$
�᫥��⢨� (12) ���室�騥 �஡� ��� ࠧ������� 
$(\sqrt5+1)/2 = [[2; 3, 3, \dots]]$ -- �� 
$$
[[2;]]=2/1,\,\, [[2; 3]]=5/3,\,\, [[2; 3, 3]]=13/8,\,\, 
[[2; 3, 3, 3]]=34/21,\,\, \dots \tag 13
$$

A4.1. ��� ���室�騥 �஡� (11)--(13) �易�� � 
��᫥����⥫쭮���� �������� 

\centerline
{$f_{0}=0,\,\, f_{1}=1, \quad f_{k+1}=f_{k}+f_{k-1}?$}

A4.2. ������ � �ࠢ��� ��� � ��㣮� ���室�騥 �஡� 
��� ࠧ������� �᫠ $(\sqrt5-1)/2$ � 楯��� �஡� ���࠭�� 
� � 楯��� �஡� ���楡���. 

\subhead{\quad B. ������ �������� ��ᮢ} \endsubhead 
��� ��� $y=\b x$, ��室�饣� �� ��砫� ���न���, ࠧ������� ��� 
㣫����� �����樥�� $\b$ � 楯��� �஡� �易�� � ��㪫묨 
�����窠�� ������� 㧫�� ��⪨ {\it ���\/} ��箬 � {\it ���\/} 
��箬. 

���ᬮ�ਬ ������ $\underline L$ � $\overline L$, ��࠭�稢��騥 
�� ��㪫� �����窨. �� ����㬭��� ����砭�� �����⭮�� 
ᮢ��᪮�� ��⥬�⨪� ���� ���������� ������, ������ $\underline L$ 
� $\overline L$ ��ࠧ��� {\it ���, ������� ����� ���} $y=\b x$. 

B0. �������� � ⮬, �� ���設� ������� �������� � �窨 $x_k, y_k$, 
��� $y_k/x_k$ -- ���室�騥 �஡� ࠧ������� $\b$ � 楯��� �஡� 
���࠭��. 

B1. ����� ��������᪨� ��� 
���室��� �஡�� ࠧ������� $\b$ � 楯��� �஡� ���楡���? 
���ᬮ��� 2 ����: $\b < 1$ � $\b > 1$.  

\end
\enddocument 
