% � �ࠦ!
\documentstyle{amsppt}
\loadbold
\NoBlackBoxes
\TagsAsMath
\TagsOnRight
\magnification 1200

\topmatter
\rightheadtext{���� �� �����⮩ �㬠�� � ᢥ��᫮��}
\address
\endaddress
\email
kanel\@mccme.ru \,\, M.L\@gerver.mccme.ru
\endemail
\endtopmatter

\define\ar{\rightleftarrows}
\define\a{\alpha}
\redefine\b{\beta}
\redefine\l{\lambda}
\define\f{\varphi}
\define\p{\Pi}

\document
\head { �����⮢�⥫�� �����. �⢥�� � �襭�� } \endhead
0.1. �����᫮��~$W=\dots v v h v v \dots$ �� �㪢 $v$, �।� 
������ ���� �����⢥���� �㪢� $h$, �������� �� �ਭ������� 
������ $S$. ��㣮� �ਬ�� ⠪��� ᢥ��᫮��~$W$:
$\dots v v v h h h \dots$ (᭠砫� -- ⮫쪮 �㪢� $v$, ��⮬ -- 
⮫쪮 �㪢� $h$). 

0.2.1. ��� �����~$L$, ��ࠧ���� 㣮� $\f<\pi/2$ � ��ਧ��⠫��, 
ᢥ��᫮��~$W_L$ -- ⮣�� � ⮫쪮 ⮣�� ��ਮ���᪨�, ����� 
tg $\f$ -- �樮���쭮� �᫮. 

�� $\f=\pi/2$, �.�. ��� ���⨪��쭮� ��אַ�~$L$, ᢥ��᫮��~$W_L$ 
-- ⮦� ��ਮ���᪮�, �.�. ��⮨� ⮫쪮 �� �㪢 $h$. 

0.2.2. �᫨ ��ﬠ�~$L$ ��ࠧ�� 㣮� $\f<\pi/4$ � ��ਧ��⠫��, 
� �㪢� $v$ ��������� � ᢥ��᫮�� $W_L$ ��, 祬 $h$. 

0.2.3. ������� ������ $h \ar v$ � �ந����쭮� ᢥ��᫮��~$W_L$ �� 
$S$. ����� ����稢襥�� ᢥ��᫮�� $W^{\prime}$ ��⠭���� � ����� $S$, 
�.�. $W^{\prime} = W_{L^{\prime}}$ ��� ��אַ� $L^{\prime}$, 
� 㣫��� �����樥�⮬ $k_{L^{\prime}} = 1/k_L$. 

0.3. �����᫮�� 
$W = \{\dots h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h \dots\} \in S$, �.�. 
�� ���⪨ �����㣮�쭨��~$M_w$, ᮮ⢥�����饣� ᫮�� 
$w=\{h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h\}$, ����� ����ભ��� ��אַ� 
(���ਬ��, ��אַ� � 㣫��� �����樥�⮬ $k_L=3/7$). 

0.3.1. ����� ��묨 ���� {\it �ᥤ����\/} �㪢��� $h$ � $W$ 
����� ����� {\it ���� ���, ���� ��\/} �㪢� $v$. ������� ��. 
�᫨ �����-����� ᢥ��᫮�� $W_L \in S$ ᮤ�ন� ���᫮�� $hv^kh$ 
($k$ �㪢 $v$ ����� ���� �ᥤ���� $h$), � 㣫���� 
�����樥�� $k_L$, �祢����, �����祭 ����� $1/(k+1)$ � $1/(k-1)$. 

����� $ h v v v h v v h $ ᮤ�ন� ���᫮�� $hv^kh$ �� $k=2$ � 
$k=3$. �����, $k_L \in [1/3, 1/2]$. 

�� �⮬ $k_L \ne 1/3$, $k_L \ne 1/2]$ (��祬�?). 
�����, $k_L \in (1/3, 1/2)$. �� ⮣�� $2\le k \le 3$ 
��� ��� ���᫮�� $hv^kh \in W$, �� � �ॡ������� ��������. 

0.3.2. ����᫨� �� ࠧ���� ���᫮�� ����� 2, 3 � 4 � $W$: 

\centerline
{3 ᫮�� ����� 2: $ hv, vv, vh$; \quad 
 4 ᫮�� ����� 3: $ vvv, hvv, vhv, vvh$; }

\centerline
{5 ᫮� ����� 4: $hvvv, vhvv, vvhv, vvvh, hvvh$. }

0.3.3. �����᫮��~$W_L$ � $W_{L^*}$ ᮤ�ঠ� ���᫮��
$ h v v v h v v h $, ���ਬ��, 
��� ��ࠫ������ ����� $L$ � $L^*$ � 㣫��� �����樥�⮬ 
$k_L=3/7$; ������� � $k_L=3/8$, � $k_L=2/5$ (�஢����). 
�� �� ��୮ � ��� ��� �����筮 ������� $k_L$. 

0.3.4. ����� 0.3.1, ᢥ��᫮�� $W$ � 0.3 ࠢ�� 
$\{\dots v\, v\, h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, v \dots\}$. 
�����, $W$~ᮤ�ন� ᫥���騥 6 ���᫮� ����� 5: 
$hvvvh, vhvvv, vvhvv, vvvhv, vhvvh, hvvhv$ 
�~7~���᫮� ����� 6: 
$vhvvvh, hvvvhv, vvhvvv, vvvhvv, vvhvvh, vhvvhv, hvvhvv$. 

��� ��� ����� ��묨 ���� �ᥤ���� �㪢��� $h$ � $W$ 
���� {\it ������ ��� � ���ᨬ� ��\/} �㪢� $v$, � ��类� 
���᫮�� $W$ ����� 5 ��� 6 ᮤ�ন� ���� ����, ���� ��� �㪢� $h$. 
���⮬� ����� ��ॡ�஬ �஢������, �� ��� ����᫥�� {\it 
��\/} ���᫮�� ����� 5 � ����� 6 � $W$. 

�����, ������ �� �� �뫨 ���� $L$ � ${L^*}$, ����ન���騥 
�� ���⪨ �����㣮�쭨��~$M_w$, ᮮ⢥�����饣� ᫮�� 
$w=\{h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h\}$, 
� $W_L$ � $W_{L^*}$ ��易⥫쭮 ᮢ������ 
� ������⢠ ��� ���᫮� ����� 5, � ������⢠ ��� ���᫮� ����� 6. 

����⨢, ������⢠ ��� ���᫮� ����� 7 � $W_L$ � $W_{L^*}$ 
��� �����-� $L$ � $L^*$ ����� � �� ᮢ�����. �����, ���ਬ��, 
$L$ � ${L^*}$ ��ࠧ��� ⠪�� 㣫� $\f$ � $\f^*$ � ��ਧ��⠫��, 
�� tg $\f=3/7$ � tg $\f^*=3/8$, ⮣�� $W_L$ � $W_{L^*}$ -- �� 
��ਮ���᪨� ᢥ��᫮��
{$\{h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, h\, v\, v\}$ � 
$\{h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\}$,} 
⠪ �� $W_L$ ᮤ�ন� ���᫮�� $\{h\, v\, v\, h\, v\, v\, h\}$, 
���ண� ��� � $W_{L^*}$, � $W_{L^*}$ ᮤ�ন� ���᫮�� 
$\{v\, v\, v\, h\, v\, v\, v\}$, ���ண� ��� � $W_L$. 

0.4.1. ����� �������, �� �� ���᫮�� �����ண� ᢥ��᫮�� 
$W$ ����� ࠧ�襭�묨 ᫮����, �� ᠬ� $W \not\in S$. �ਬ�� 
⠪��� ᢥ��᫮�� �� 㦥 �ਢ���� -- �. �襭�� ����� 0.1: 
�� -- ᢥ��᫮��~$W=\dots v v h v v \dots$ �� �㪢 $v$, �।� 
������ ���� �����⢥���� �㪢� $h$.

0.4.2. $W_L$ � $W_{L^*}$ ����� ᮢ�����, ��� ���� $L$ � $L^*$ 
�� ᮢ������: ⠪ �㤥�, �᫨ $L^*$ ᨬ����筠 $L$ (� ��⮬ 
�ਥ��樨) �⭮�⥫쭮 �����-���� ��ਧ��⠫� ��� ���⨪��� 
��� �⭮�⥫쭮 ������-���� 㧫� ��⪨; ⠪ �㤥� � � ��砥, 
�᫨ ���� ��ࠫ����� � $L^*$ ����砥��� �� $L$ ᤢ���� �� 1 
(��� �� �� 楫�� �᫮ ���⮪) ��~���⨪��� ��� �� ��ਧ��⠫�. 

�⮡� ࠧ���� ���� $L$ � $L^*$ �⢥砫�, 
{\it ��� �ࠢ���\/} (�. 0.4.3), 
ࠧ���� ᢥ��᫮�� $W_L$ � $W_{L^*}$, ����� ����㯨�� ⠪: 
�뤥���� ����� $K_0$ � ��ᬠ�ਢ��� ⮫쪮 � ���� 
$L$ � $L^*$, ����� ��室�� �१ $K_0$ � ���ᥪ��� 
���� � �� �� �� ��஭�, ��祬 ���� {\it ᭨�� �����\/}, 
�.�. ��ࠧ��� � ��ਧ��⠫�� 㣮� $\f\in [0, \pi/2]$.

0.4.3. ����� ���� $L$ � $L^*$ ����� ���� � �� �� 㣫���� 
�����樥�� $k_L$ � �� ���� �� ��� �� ��室�� �१ 㧫� ��⪨. 
�᫨ � ⮬� �� $k_L$ -- �樮���쭮� �᫮, � ⮣�� 
(��� ����� 㡥������) ᢥ��᫮�� $W_L$ � $W_{L^*}$ ᮢ������. 

�᫨ �� $k_L$ -- ���樮���쭮� �᫮, � ������⢠ ��� ���᫮� 
� $W_L$ � $W_{L^*}$ \linebreak ᮢ������, � ᠬ� $W_L$ � $W_{L^*}$ 
����� � �� ᮢ����� (� �� ᮢ������, �᫨ $L$ � $L^*$ ��室�� 
�१ ���� � �� �� ��஭� ���⪨ $K_0$, �. ����� �襭�� 0.4.2). 

����� -- �� �⠯� �襭�� �����⮢�⥫��� ����� -- ��࠭�稬�� 
��㫨஢��� �⮣� 䠪�. ���஡�� �������� ��� ᠬ�. 
���஡�� �������� �� ���� 䠪�~-- {\it �������ਮ��筮���}~$W_L$: 
�᫨ $k_L$ -- ���樮���쭮� �᫮, � � $W_L$ ��������� ��� 
㣮��� ������ ᮢ�����騥 ��� � ��㣮� ���᫮��.

0.5.1. ���६ �� ������ $v$ ��। ����� $h$ � $W \in S$ �� 0.3.
����� ����稢襥�� ᢥ��᫮�� $\{\dots h v v h v h \dots\}$ 
��⠭���� � ����� $S$. � ��饬 ��砥 ��� 䠪� ������� � 0.5.2. 
���������� 0.5.2, ����⨬: 
�᫨ ���� $L_1$ � $L_2$ ��ࠧ��� ⠪�� 㣫� $\f_1$ � $\f_2$ � 
��ਧ��⠫��, �� tg $\f_1=3/4$ � tg $\f_2=3/5$, � 
$W_{L_1}$ � $W_{L_2}$ -- �� ��ਮ���᪨� ᢥ��᫮�� � ��ਮ���� 
$\{h v v h v h v\}$ � $\{h v v h v v h v\}$ 
(�ࠢ��� � ���殬 �襭�� 0.3.4). 

0.5.2. ����� ��ﬠ� $L$ ���ᥪ��� �����-���� ��ਧ��⠫� $g$ � 
�窥 $P$ � ��ࠧ�� � $g$ 㣮� $\f\le \pi/4$. ���६ �� ������ 
$v$ ��। ����� $h$ � ᢥ��᫮��~$W_L$. ����� ����稢襥�� 
ᢥ��᫮�� $W^*$ ��⠭���� � ����� $S$, �.�. $W^* = W_{L^*}$ ��� 
��אַ� $L^*$, ��室�饩 �१ ��� $P$ � ��ࠧ��饩 � $g$ ⠪�� 
㣮� $\f^*$, �� ctg~$\f^*$ = ctg~$\f - 1$. 

0.6. ����� ��ﬠ� $L$ ���ᥪ��� �����-���� ��ਧ��⠫� $g$ � 
�窥 $P$ � ��ࠧ�� � $g$ 㣮� $\f\le \pi/4$. ���襬 �� ������ 
$v$ ��। ����� $h$ � ᢥ��᫮��~$W_L$. ����� ����稢襥�� 
ᢥ��᫮�� $W^*$ ��⠭���� � ����� $S$, �.�. $W^* = W_{L^*}$ ��� 
��אַ� $L^*$, ��室�饩 �१ ��� $P$ � ��ࠧ��饩 � $g$ ⠪�� 
㣮� $\f^*$, �� ctg~$\f^*$ = ctg~$\f + 1$. 

0.7. �᫨ ��ﬠ�~$L$ ��ࠧ�� 㣮� $\f$ � ��ਧ��⠫��, �

$W_L \in E$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� $\f = \pi/4$; 

$W_L \in S^h_{\infty}$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� $\f = 0$; 

$W_L \in S^v_{\infty}$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� $\f = \pi/2$; 

$W_L \in S^h_n$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� tg~$\f \in (1/(n+1),1/n]$; 
�� �⮬ tg~$\f = 1/n$, �᫨ � ⮫쪮 �᫨ ����� ��묨 ���� 
�ᥤ���� �㪢��� $h$ ���� $n$ �㪢 $v$. 

$W_L \in S^v_n$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� tg~$\f \in [n,n+1)$; 
�� �⮬ tg~$\f = n$, �᫨ � ⮫쪮 �᫨ ����� ��묨 ���� 
�ᥤ���� �㪢��� $v$ ���� $n$ �㪢 $h$. 

0.7.1. ��������᪠� �������� 0.7 � �ନ��� ������� 
�����㣮�쭨��� ⠪��� -- ����� $\l_s$ ���� �����㣮�쭨�� $M_w$ 
��� ࠧ�襭���� ᫮�� $w$, ��饣��� ���᫮��� ᢥ���\'��� 
$W \in S^h$ ����� �ਭ����� �� ����� ���� ���祭��: 

�᫨ ����� ��묨 ���� �ᥤ���� �㪢��� $h$ ���� $n$ �㪢 $v$, 
� �� $\l_s = n+1$; 

�᫨ $W_L \in S^h_n$ � $k_L \ne 1/n$, � $\l_s$ ࠢ�� ���� $n+1$, 
���� $n+2$. 

\noindent
�᫨ ����� $\l_s$ ���� $M_w$ �ਭ����� ����� ���� 
���祭��, ᫮��~$w$ {\it ��������\/} ���� ����饭��. 
�᫨ ����� ���� $M_w$ �ਭ����� ⮫쪮 ��� ���祭��, ᫮��~$w$ 
{\it �� ࠢ��\/} ����� ��������� ����饭�� (�. 0.7.2). ��� 
ᢥ��᫮�~$W\in~S^v$ -- ��। �����⮬ �᫠ ���祭��~$\l_s$ -- 
�㦭� ᤥ���� ������� $v \ar h$. 

0.7.2. ��� �ਬ�� ��ਮ���᪮�� ����饭���� ᫮�� $w$, ��� 
���ண� � �����㣮�쭨�� $M_w$ ��\'��� ���� $\l_s$ �ਭ����� ��� 
���祭��: 2 � 3, � ��� ��ਮ���᪨ ���������� 10 �㪢: 
{$\{h v h v h v v h v v\}$.} 
�஢����, �� ᮮ⢥�����騩 �⮬� ᫮�� �����㣮�쭨� $M_w$ 
����� ����ભ��� ����� ��אַ�. 

0.8.1. ����� 㣫���� �����樥�� $k_L$ ��אַ� $L$ ࠢ�� 
{\it ����筮�\/} 楯��� �஡�, ���ਬ��, ����� �� ᫥�����: 

\eightpoint
$$
\frac{11}{25}=
\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{3+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}, 
\quad
\frac{7}{24}=
\dsize\frac{1}{3+\dsize\frac{1}{2+\dsize\frac{1}{3}}}, 
\quad
\frac{4}{19}=
\dsize\frac{1}{4+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{3}}}, 
\quad
\frac{5}{8}=
\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\dsize\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}}.
$$

\tenpoint
��� ������ �� ��� �஡�� ������ 楯��� 
$a_1,\, a_2,\, \dots, a_n$ ��� ᢥ��᫮�� $W=W_L$. 

�᫨ $k_L=11/25 \in (1/3,1/2]$, � (�. �襭�� ����� 0.7) 
$W=W_L\in S^h_2$. 

�����, $a_1=2$. ��ࠥ� �� $a_1$ �㪢 $v$ ��। ����� $h$ � 
����祭��� ᢥ��᫮�� ���뢠��~$W_1$. � ᮮ⢥��⢨� � �襭��� 
�����~0.7~�~0.5.2 �����: 

$W_1=W_{L_1}\in S^v_3$, �.�. $25/11 - 2 = 3/11 \in (1/4,1/3]$. 

�����, $a_2=3$. ��ࠥ� �� $a_2$ �㪢 $h$ ��। ����� $v$. 
����砥� $W_2=W_{L_2}\in S^h_1$, �.�. $11/3 - 3 = 2/3 \in 
(1/2,1]$. 

�����, $a_3=1$. ��ࠥ� �� $a_3$ �㪢 $v$ ��। ����� $h$ � 
����祭��� ᢥ��᫮�� ���뢠��~$W_3$. �.�. $3/2 - 1 = 1/2$, � 
$W_3\in S^v_2$. 

�����, $a_4=2$. ��ࠥ� �� $a_4$ �㪢 $h$ ��। ����� $v$. 
����砥� $W_4\in S^h_{\infty}$. �⠪, 
�᫨ $k_L=11/25$, � $a_1=2,\, a_2=3,\, a_3=1,\, a_4=2$. 

{\it �����⢨�}. �᫨ $k_L=11/25$, � $W_j$ -- ᢥ��᫮�� 
� ⠪��� ��ਮ����: 

$W_4=\{\dots v \dots\}$; 
$W_3=\{\dots hhv \dots\}$; 
$W_2=\{\dots vvh vh \dots\}$; 
$W_1=\{\dots vh^4 vh^4 vh^3 \dots\}$; 

$W= \{\dots hv^2 hv^2 hv^2 hv^3\,\, hv^2 hv^2 hv^2 hv^3\,\, hv^2 hv^2 
hv^3 \dots\}$. 

�������筮, �� $k_L=7/24$ �����: $a_1=3,\, a_2=2,\, a_3=3$; 
�᫨ $k_L=4/19$, � $a_1=4,\, a_2=1,\, a_3=3$, 
� �᫨ $k_L=5/8$, � $a_1=a_2=a_3=1, a_4=2$. 

������ ��ਮ�� ᢥ��᫮� $W_j$, ���������� �� �����ன��� $W$ 
��� ��� $k_L$. %%% 

0.8.2. �᫨ 㣫���� �����樥�� $k_L$ ��אַ� $L$ -- �樮���쭮� 
�᫮: 

\eightpoint
$$
k_L = 
\dsize\frac{1}{a_1+\dsize\frac{1}{a_2+\dsize\frac{1}{a_3+\dots+
\dsize\frac{1}{a_n}}}}, 
$$
\tenpoint
� �����ன�� ᢥ��᫮�� $W=W_L$, ᮯ��⠢������� ��אַ� $L$, 
���뢠���� �१ ����筮� �᫮ 蠣��: 
$W \to W_1 \to W_2 \to \dots \to W_n$ 
� ���� 楯��� $a_1,\, a_2,\, \dots, a_n$. 

\smallpagebreak
1.1. ���⥩訬� �ਬ�ࠬ� ��⥫쭮 ��६�蠭��� ᢥ��᫮� 
����� 

\centerline
{$\{\dots a a a \dots\}$ \, � \, $\{\dots b b b \dots\}$.} 

������騩 �� ᫮����� �ਬ��: ᢥ��᫮�� 
$W=W_L\in S$ ��� ���뮩 $L$ � 㣫��� �����樥�⮬ $k_L$, 
ࠢ�� ���� $n$, ���� $1/n$. ����� ��� ��।��������~$k_L = 1/n$. 
�����᭮ 0.7 � $W=W_L$ � �⮬ (� ⮫쪮 � �⮬) ��砥 ����� 
��묨 ���� �ᥤ���� $h$ ���� $n$ �㪢 $v$: 

\centerline
{$W = \{\dots h v h v h v \dots \}$ �� $n=1$, 
$W = \{\dots h v v h v v h v v \dots \}$ �� $n=2$, � �.�.} 

��⥫쭠� ��६�蠭����� ⠪�� $W$ �祢����: 
� $W = \{\dots h v^n h v^n h v^n \dots \}$ 
�� ���᫮�� ����� $r \le n$ ᮤ�ন� ���� $r$ �㪢 $v$, 
���� 1 �㪢� $h$ � $r-1$ �㪢 $v$; 
�� ���᫮�� ����� $(n+1)k+r$, ��� $0 \le r \le n$, 
ᮤ�ন� ���� $k$ �㪢 $h$ � $nk+r$ �㪢 $v$, 
���� $k+1$ �㪢� $h$ � $nk+r-1$ �㪢 $v$. 

1.2.1. �� ࠧ�襭��� ᫮�� $w$, �祢����, ���� ���᫮��� 
��� ��᪮��筮�� ������⢠ ࠧ����� ᢥ��᫮� $W_L$ ��~S: �᫨ 
�����㣮�쭨� $M_w$ ����� ����ભ��� �����-����� ��אַ� $L$, �� 
��室�饩 �१ 㧫�, � ��� ����� ����ભ��� � �� ��אַ� 
$L^*$, �����筮 ������� � $L$. 

1.2.2. � ��⭮��, ����� $L^*$ � �襭�� 1.2.1 ����� ����� 
⠪, �⮡� �� 㣫���� �����樥�� $k_L$ �� �樮����� �᫮�. 

1.2.3. �� ��।������ ��⥫쭮� ��६�蠭���� ᫥���, �� 
ᢥ��᫮�� $W$ ���� ��⥫쭮 ��६�蠭�� � ⮬ � ⮫쪮 
⮬ ��砥, �᫨ ������ ��� ���᫮�� ���� ��⥫쭮 
��६�蠭��. 

1.3.1. �⢥�: {\it ����୮}. 
������� �㪢� $a$ � $b$ �� $h$ � $v$. 
�����ਬ��: 

$w=hvvhvvhvhv$ -- 
ࠧ�襭��� ᫮��, � $w^*=vvhh$ -- ����饭��� ᫮��. 

���᭥��� � �����ਬ���: $w=hvvhvvhvhv$ -- ࠧ�襭��� ᫮��, 
⠪ ��� $w^{\prime}=hvvhvvhvhvv$ -- ࠧ�襭��� ᫮��. 
(� $w^{\prime}=hvvhvvhvhvv$ -- ࠧ�襭��� ᫮��, �.�. 
${w^{\prime}}^*=vvhv$ -- ࠧ�襭��� ᫮��, 
�. �ਢ������ ���� ⥮६�). 

��ୠ ⥮६�: 
{\it �� ��२��������� 

1) ᢥ��᫮��~$W \in S$ ���室�� � ᢥ��᫮��~$W^* \in S$, 

2) ����饭�� ᫮��~$W$ ���室�� � ����饭�� ᫮��~$W^*$,

3) ᢥ��᫮��~$W \not\in S$ ���室�� � ᢥ��᫮��~$W^* 
\not\in S$}. 

����⨬ ���� � �� ������⥫����. 

����� $M_W$ -- ������ �����㣮�쭨� ��� ᫮��~$W$. �࠭��� 
$M_W$ -- {\it �����\/} ������ $\underline L$ � $\overline L$, 
���騥 �� ��ਧ��⠫� � ���⨪��� �����⮩ �㬠��. ��� ���᫮� 
$W$ ⨯� $hv^n$ � $hv^{n+1}$ �ᥤ��� ���� ������� ���� 
���⠬� ��אַ㣮���� ��㣮�쭨��� ���� ⨯��. ����⥭�� ��� 
��㣮�쭨��� ��ࠧ��� ������ $\underline L^{\prime}$ � 
$\overline L^{\prime}$, ���騥 ����� $M_W$. ������ ����� 
������� ����� �� {\it �����\/} ��⪥, ��ࠧ㥬�� ���묨 
� 㣫��묨 �����樥�⠬� $1/n$ � $1/(n+1)$ 
(㧫� � ����� ��⪨ � ��, �� � ��ன), ⠪ �� ������ ����� 
ᮮ⢥����� ���� ᫮�� $hv^n$, ���� ᫮�� $hv^{n+1}$. 

������ �� ���� �����⮩ �㬠�� ���न���� $x, y$ 
� ��ᬮ�ਬ �⮡ࠦ����~$F$, ��ॢ���饥 ��� $\{x,y\}$ � 
$\{x-ny, -x+(n+1)y\}$. �� �⮡ࠦ���� ��ॢ���� ������ 
$\{n+1,1\}$ � $\{n,1\}$ � ������ $\{1,0\}$ � $\{0,1\}$, 
� ������ $\underline L^{\prime}$ � 
$\overline L^{\prime}$ -- � {\it �����\/} ������ 
$\underline L^{*}$ � $\overline L^{*}$, 
���騥 �� ��ਧ��⠫� � ���⨪��� �����⮩ �㬠��. 

��� ᠬ�, �⮡ࠦ����~$F$ ᮮ⢥����� ����樨 ��२���������
(������ ᫮� $hv^{n+1}$ �㪢��� $v$ � ᫮� $hv^n$ �㪢��� $h$): 
�᫨ ��������� �१ $M^*$ �����㣮�쭨�, ��࠭�祭�� �����묨 
$\underline L^{*}$ � $\overline L^{*}$, � ��������, �� �� -- 
������ �����㣮�쭨� ��� ᫮��~$W^*$. 

����� ���� �ᯮ�짮���� ᢮��⢠ �������� �८�ࠧ������ $F$: 

$F$ ��ॢ���� ���� � ���� � ��࠭�� �⭮襭�� ���� ��१���. 

1.3.2. ����� 1.3.2 {\it �� ᭨������ � �������}. 

� ���쭥�襬 ��� ����������� ᫥����� ⥮६� � ᢥ��᫮���: 

{\it �� ��२��������� ᢥ��᫮�\'� 
$W\in S_1$ ���室�� � ᢥ��᫮�\'� $W^*\in S_1$, � ᢥ��᫮�\'� 
$W \not\in S_1$ -- � ᢥ��᫮�\'� $W^*\not\in S_1$. }

������� �� ����� ����. 
�� �᫮��� $W$ ����� ࠧ���� �� ���᫮�� ���� ⨯��: $ab^n$~� 
$ab^{n+1}$ (����� -- �� �襭�� ����� 1.3.2 -- 㤮��� ���뢠�� 
�� {\it ���⪨�� � �����묨 ��ᥪ���}). �ந������ ������ {\it 
��२���������}: ������ ���᫮�� $ab^{n+1}$ ������� �㪢�� $b$, � 
������ ���᫮�� $ab^{n}$ -- �㪢�� $a$. �����᫮��, ����稢襥�� 
�� $W$ � १���� ��२���������, ������稬 �१ $W^*$. 

��� ��� ᫮�� $w$ ������ ������祭��: 

$a(w)$ -- �᫮ �㪢~$a$ � $w$, $b(w)$ -- �᫮ �㪢~$b$ � $w$; 
$|w|$ --  ����� $w$. 

{\it ����砭��.} ����� �ᯮ������� ⠪�� �⢥ত���� 
(������� ���): 

� �� ᫮�� (��� ᢥ��᫮��) $W^*\not\in S_1$ �������� ��� 
���᫮�� $U^*$ � $V^*$ ���������� �����, ��� ������ 
$b(U^*)-b(V^*) = 2$. 


����� ᢥ��᫮�� $W\in S_1$. �㦭� ��������, �� ⮣�� 
ᢥ��᫮�� $W^*\in S_1$. 
�����⨬, �� �� �� ⠪ � � $W^*$ �������� ⠪�� ��� ���᫮�� 
$U^*$ � $V^*$, �� $|U^*|=|V^*|$ � $b(U^*)-b(V^*) = 2$. 
��᫥���� ��� ࠢ���⢠ �������, �� ��� ᫮� $U$ � $V$, 
���室��� � $U^*$ � $V^*$ �� ��२���������, 

\centerline
{$|U|-|V|= b(U)-b(V)=2$.} 

�८�ࠧ㥬 $U$ � $V$ � ����ந� 2 ���᫮�� 
$U^{\prime}$ � $V^{\prime}$ ᢥ��᫮��~$W$. 

����� $U$ � $V$ ����� �� ��ᥪ�� $ab^n$~� $ab^{n+1}$; 
᫮�� $U^{\prime}$ ����砥��� �� $U$ ����뢠���� ��ࢮ� 
�㪢�~$a$, ᫮�� $V^{\prime}$ ����砥��� �� $V$ �ਯ��뢠���� 
�ࠢ� �㪢�~$a$. ��� ᠬ�, 

\centerline
{$|U^{\prime}|=|V^{\prime}|$, \quad $b(U^{\prime})-b(V^{\prime})=2$.} 

\noindent
����稥 ⠪�� ���᫮� $U^{\prime}$ � $V^{\prime}$ � 
$W$ ��⨢���� ⮬�, �� $W\in S_1$. �������⥫쭮 ��������, 
�� $W^*\in S_1$. 

1.4.1. �������, �� ������ ࠧ�襭��� ᫮�� $W$ ��⥫쭮 ��६�蠭�. 
����� $U$ � $V$ -- ��� ��� ��� ���᫮�� ����� � ⮩ �� �����, 
��祬 $U$ ᮤ�ন� $n$ �㪢 $h$ � $m$ �㪢 $v$, � $V$ ᮤ�ন� 
$n+d$ �㪢 $h$ � $m-d$ �㪢 $v$, ��� $d\ge 0$. 
�।�������, �� ������ �����㣮�쭨� ᫮�� $W$ ����� ������ 
��אַ� $L$ � 㣫��� �����樥�⮬ $k$. ��� ��� �� ��ﬠ� ���ᥪ��� � 
�����㣮�쭨� ᫮�� $U$, � $\frac{m-1}{n+1} < k$.
� ��㣮� ��஭�, ⠪ ��� ��� ���ᥪ��� � �����㣮�쭨� 
᫮�� $V$, � $k < \frac{m-d+1}{n+d-1}$.  
����砥� $\frac{m-d+1}{n+d-1} > \frac{m-1}{n+1}$, ��� 
$(n+m)(2-d) > 0$. �⠪, $d<2$, � ���� $W$ ��⥫쭮 ��६�蠭�. 

1.4.2. �� ᢥ��᫮�� $W \in S$ ��⥫쭮 ��६�蠭�, 
⠪ ��� ᮣ��᭮~1.4.1 ������ ��� ���᫮�� ��⥫쭮 ��६�蠭�, � 
ᮣ��᭮~1.2.3 ᢥ��᫮�� ��⥫쭮 ��६�蠭� ⮣�� � ⮫쪮 
⮣��, ����� ������ ��� ���᫮�� ��⥫쭮 ��६�蠭�. 

1.4.3. �ਬ�� ��⥫쭮 ��६�蠭���� ᢥ��᫮�� $W \not\in S$ 
�� �ਢ���� 㦥 ������ -- �. �襭�� ����� 0.1 � 0.4.1: 
�� -- ᢥ��᫮��~$W=\dots v v h v v \dots$ �� �㪢 $v$, �।� 
������ ���� �����⢥���� �㪢� $h$.

1.5. �������, �� � ��䠢�� �� ���� �㪢 $a$ � $b$ ��� ���� 
������� ������ ����ࠫ��� $m$ � $n$ ������� ⠪�� ��ਮ���᪮� 
��⥫쭮 ��६�蠭��� ᢥ��᫮��, �� � ��� ��ਮ�� ����砥��� 
$m$ �㪢 $a$ � $n$ �㪢 $b$. 

����� $W_L \in S$, ��� $L$ -- ��ﬠ� � 㣫��� �����樥�⮬~$m/n$. 
�⮡� ������� $W$ �� $W_L$, 
�����筮 ᤥ���� � $W_L$ ������ $h \to a$, $v \to b$. 

�᫨ $m$ � $n$ �� ������� �����, � �� ������� ⠪��� ��ਮ���᪮�� 
��⥫쭮 ��६�蠭���� ᢥ��᫮�� $W$, �� � ��� {\it �������襬\/} 
��ਮ�� ����砥��� $m$ �㪢 $a$ � $n$ �㪢 $b$. �����, ���ਬ��, 
$m=2$, $n=4$. ����� ��� 

\centerline
{$W = \{a \,b \,b \,a \,b \,b\} = \{b \,a \,b \,b \,a \,b\} 
    = \{b \,b \,a \,b \,b \,a\}$} 

\noindent
��ਮ� ����� 6 �� ���� �������訬, � �� ��⠫�� 
ᢥ��᫮�� � ��ਮ��� ����� 6 �� ���� �㪢 $a$ � ����� �㪢 $b$ 
�� ����� ��⥫쭮 ��६�蠭�묨, �.�. ᮤ�ঠ� ���᫮�� 
$aab$ � $bbb$.

�᫨ �� �ॡ�����, �⮡� ��ਮ� �� �������訬, � �⢥ত���� 
��୮ ��� ��� ����, � �� ⮫쪮 ������� ������ $m$ � $n$. 

1.6.1. ����� 1.6.1 {\it �� ᭨������ � �������}. 

1.6.2. ����� 1.6.2 {\it �� ᭨������ � �������}. 

1.7. ��筥� ���ᠭ�� ᢥ��᫮� $W$, �ਭ�������� ������ $S_1$ 
� �� �ਭ�������� ������ $S$. ��� �������� ��� � �᭮��� 
����砬 3.1.1-3.1.3. �� ᠬ� �த����� ���, �訢 �� 
�᭮��� �����. 

�����᭮ 1.2.3 ᢥ��᫮�� $W\in S_1$ � 
⮬ � ⮫쪮 ⮬ ��砥, �᫨ ������ ��� ���᫮�� $w$ ���� 
��⥫쭮 ��६�蠭��. �����᭮ 1.6.2 �� ��⥫쭮 ��६�蠭��� 
᫮�� $w$ ���� ࠧ�襭��. �����, ��� ������� $w\in W$ 
������ �����㣮�쭨� $M_w$ ����� ����ભ��� ��אַ� $L(w)$, 
�� ��室�饩 �१ 㧫�. 

����ந� ��������� ��᫥����⥫쭮��� 
$w_1 \subset w_2 \subset \dots$ ᫮� $w_n\in W$, �室������ 
�~$W$ (� ⮬ ��᫥, �� ������ �㪢� $W$ �ਭ������� �ᥬ 
$w_n$ ��稭�� � �����ண� $n$). �� ᮮ⢥����� ��������� 
��᫥����⥫쭮��� ������� �����㣮�쭨��� $M_n$ � ��饩 
���⪮� $K_0$. ����� �� ��� ����� ����ભ��� ��אַ� $L_n$, 
��室�饩 �१ $K_0$. ����� $y=k_nx+b_n$ -- �ࠢ�����~$L_n$. 
��᫥����⥫쭮�� $k_n$ � $b_n$ ��࠭�祭� (�஢����). 
�����, ����� ����� �����᫥����⥫쭮��� ��� 
$k_{n_j}, b_{n_j}$, �室������ � $k, b$. 

��ﬠ� $L$ � �ࠢ������ $y=kx+b$ ����� ����� ��� � ������ 
���⪮� ������� �� ������� �����㣮�쭨��� $M_n$. ��� 
��易⥫쭮 ��室�� ��� �� �१ ���� 㧥� ��⪨ (��祬�?). 

�த������� -- � �᭮���� ������ 3.1.1-3.1.3. 

1.8. ����騬 ��।������ ��⥫쭮� ��६�蠭���� �� ��䠢��� 
�� ��᪮�쪨� �㪢: $a, b, c, \dots$. 
�����᫮�� $W$ ��⥫쭮 ��६�蠭�, �᫨ � ���� ���� ��� 
���᫮��� $U$ � $V$ ���������� ����� �᫮ �㪢 $a$ ࠧ��砥��� 
���ᨬ� �� 1; �筮 ⠪�� �� �ॡ������ �।����� � �㪢�� 
$b$, �㪢�� $c$ � �.�. 

��� -- �ਬ�� {\it ��ਮ���᪮��\/} ��⥫쭮 ��६�蠭���� 
ᢥ��᫮�� �� �㪢 $a,b,c$, ᮤ�ঠ饣� ���᫮�� $aa$: 
$W = \{\dots\{a\, a\, b\, a\, c\, a\, b\, a\, c\,\}\dots\}$. 
�⮡� 㡥������ � ��⥫쭮� ��६�蠭���� $W$, ����ந� 
3 �ᯮ����⥫��� ᢥ��᫮�� �� �㪢 $v,h$. 

��ࢮ� ����砥��� �� $W$ ������� $a$ �� $v$, � $b$ � $c$ �� $h$: 
{$W_1 = \{\dots\{v\, v\, h\, v\, h\, v\, h\, v\, h\,\}\dots\}$.} 

��஥ ����砥��� �� $W$ ������� $a$ � $c$ �� $v$, � $b$ �� $h$: 
{$W_2 = \{\dots\{v\, v\, h\, v\, v\, v\, h\, v\, v\,\}\dots\}$.} 

���� ����砥��� �� $W$ ������� $a$ � $b$ �� $v$, � $c$ �� $h$: 
{$W_3 = \{\dots\{v\, v\, v\, v\, h\, v\, v\, v\, h\,\}\dots\}$.} 

�� �� �ᯮ����⥫��� ᢥ��᫮�� �ਭ������� $S$: 

\centerline
{$W_1 = W_{L_1}$, \quad $W_2 = W_{L_2}$, \quad $W_3 = W_{L_3}$} 

\noindent
��� ����� $L_1, L_2, L_3$ � 㣫��묨 �����樥�⠬� 
$k_{L_1}=4/5$, $k_{L_2} = k_{L_3}= 2/7$. 

�����, �� ��� ��⥫쭮 ��६�蠭�. � ��⭮��, � ���� ���� 
���᫮��� $U$ � $V$ ���������� ����� ᢥ���\'��� $W_1$ �᫮ �㪢 
$v$ ࠧ��砥��� ���ᨬ� �� 1. �� ⮣�� � ���� ���᫮��� $U$ � 
$V$ ���������� ����� ᢥ���\'��� $W$ �᫮ �㪢 $a$ ࠧ��砥��� 
���ᨬ� �� 1. ��筮 ⠪ �� �� ��⥫쭮� ��६�蠭���� $W_2$ 
᫥���, �� � ���� ���᫮��� ���������� ����� 
ᢥ���\'��� $W$ �᫮ �㪢 $b$ ࠧ��砥��� ���ᨬ� �� 1. � �� 
��⥫쭮� ��६�蠭���� $W_3$ ᫥���, �� � ���� ���᫮��� 
���������� ����� ᢥ���\'��� $W$ �᫮ �㪢 $�$ ࠧ��砥��� 
���ᨬ� �� 1. 

��⥫쭠� ��६�蠭����� $W$ ��������. 

\smallpagebreak
2.1. ������稬 �१ $T_W(n)$ �᫮ ࠧ����� ���᫮� �����~$n$ 
� ᢥ��᫮�� $W$. 

���ᨬ��쭮 ��������� ���祭�� $T_W(n)$ 
��� ��䠢�� �� ���� �㪢, �祢����, ࠢ��~$2^n$ (��� ��䠢�� �� 
��� �㪢 ��� ࠢ�� $3^n$, ��� ��䠢�� �� $m$ �㪢 -- $m^n$).

2.2. ����� $T_W(k)=T_W(k+1)=T$ �� �����஬~$k$ 
(�᫮ ࠧ����� ���᫮� ����� $k$ �~ᢥ��᫮�� $W$ ࠢ�� ��� 
ࠧ����� ���᫮� ����� $k+1$ � ࠢ�� $T$). 

�������, �� ⮣�� ᢥ��᫮�� $W$ ��ਮ��筮 � ��ਮ��� ����� $T$. 

�� �� $d$ ������ ���᫮�� ����� $d$ � ᢥ��᫮�� $W$ ����� 
�த������ ��ࠢ� �� ᫮�� ����� $d+1$ ���ᨬ� ���� ࠧ�묨 
ᯮᮡ��� (�ਯ�ᠢ � ���� �ࠢ� ���� �㪢� $a$, ���� �㪢� $b$). 
������⢮ $T_W(k)=T_W(k+1)$ ����砥�, �� �� $d=k$ �������� 
���� ���� �த������� ��ࠢ�: �᫨ �� �����-����� ���᫮�� 
����� $k$ � ࠧ��� ����� ᢥ��᫮�� $W$ �த�������� ��ࠢ� 
��-ࠧ����, � ᫮� ����� $k+1$ �뫮 �� �����, 祬 $T_W(k)$. 
��筮 ⠪ �� ��� ���������� ���᫮�� ����� $k$ � ࠧ��� ����� 
ᢥ��᫮�� $W$ ��������� �த�������� �����. 

�믨襬 $T+k$ ��᫥����⥫��� �㪢 $w_1, \dots, w_{T+k}$ 
ᢥ��᫮�� $W$ � (ᮮ⢥��⢥���) $T+1$ ���᫮� $W_0, \dots, W_T$ 
����� $k$, ��⠢������ �� ��� �㪢: 

\centerline
{$W_0=\{w_1, \dots, w_k\}$, \dots, 
$W_{T}=\{w_{T+1}, \dots, w_{T+k}\}$.} 

��� ��� �᫮ ࠧ����� ���᫮� ����� $k$ �~ᢥ��᫮�� $W$ 
ࠢ�� $T$, � $W_i = W_j$ ��� �������� $i$ � $j$: 

\centerline
{$W_{i}=\{w_{i+1}, \dots, w_{i+k}\} = 
  W_{j}=\{w_{j+1}, \dots, w_{j+k}\}, \,\, 0 \le i < j \le T$,} 

\noindent
���, �� � ��, 

\centerline
{$W_{i}=\{w_{i+1}, \dots, w_{i+k}\} = 
W_{i+P}=\{w_{i+P+1}, \dots, w_{i+P+k}\}, \,\, 1 \le P=j-i \le T$.} 

��� ��� �� ��� ᢮��� ���᫮�� ����� $k$ ᢥ��᫮�� $W$ 
�������筮 �த�������� � ��ࠢ�, � �����, � ��� ᫥���, �� 

\centerline
{$W_{s}=\{w_{s+1}, \dots, w_{s+k}\} = 
W_{s+P}=\{w_{s+P+1}, \dots, w_{s+P+k}\}$, \,\, �� �� 楫�� $s$,} 

\noindent
�.�. ᢥ��᫮�� $W$ -- ��ਮ���᪮� � ����� ��ਮ�� ࠢ�� $P \le T$. 
��᪮��� �᫮ ���᫮� ����� $k$ � ⠪�� ᢥ��᫮�� ࠢ�� $P$, � 
�� �᫮��� ��� ࠢ�� $T$, � $P=T$. 

{\it ����砭��.} �������⥫쭮, ��� $i=0, j=T$ � 

\centerline
{$W_{0}=\{w_{1}, \dots, w_{k}\} = 
W_{T}=\{w_{T+1}, \dots, w_{T+k}\}$.} 

2.3. ����� $T_W(k)<k+1$ �� �����஬ $k$. �������, �� ⮣�� 
$W$~��ਮ��筮. 

�᫨ $W = \{\dots a a a \dots\}$ ��� $W = \{\dots b b b \dots\}$ 
%(⠪ �� $T_W(k)=1\le k$ �� ���~$k$), �⢥ত���� ��୮: 
(�᫨ $T_W(k)=1\le k$ �� ���~$k$), � �⢥ত���� ��୮: 
$W$~��ਮ��筮. 

����� ⥯��� � $W$ ��������� ��� �㪢� $a$, ⠪ � �㪢� $b$. 
����� 

\centerline
{$2 \le T_W(1) \le T_W(2) \le \dots \le T_W(k) \le k$, }

��� ��� $k$ �ᥫ $T_W(i)$ �ਭ����� $k-1$ ���祭��, � ������� 
⠪�� $i$, �� $T_W(i+1) = T_W(i)$. �������⥫쭮, ᮣ��᭮ 2.2, 
$W$ ��ਮ��筮.

2.4. �������, �� ��� ��� ᢥ��᫮� $W \in S$ �믮������ ��ࠢ���⢮ 

\centerline
{$T_W(k) \le k+1$ ��� ��� $k$.} 

2.4.1. ��筥� � ���ᠭ�� $T_W(k)$ ��� $W=W_L$ � ��砥, ����� 
㣫���� �����樥�� ��אַ� $L$ -- �樮���쭮� �᫮: $k_L = m/n$ 
(��� $m$ � $n$ ������� �����). 

� �⮬ ��砥, �祢����, $T_W(k)=k+1$ �� $k < P=m+n$ � 
$T_W(k)=P$ �� $k \ge P$, ⠪ �� ��� �樮������ $k_L$ 
��ࠢ���⢮ $T_W(k) \le k+1$ �������� ��� ��� $k$. 

2.4.2. ����� $k_L$  -- ���樮���쭮� �᫮. �������, �� ⮣�� 
$W=W_L$ 㤮���⢮��� �᫮��� $T_W(k)=k+1$ �� ��� $k$, �, �����,  
$W\in S_2$. 

�����᭮ 2.3 �� ��� $k$ �믮������ ��ࠢ���⢮ $T_W(k) \ge k+1$. 
��� ᠬ�, ��⠫��� ��������, �� �� �� ����� $k$ �� ����� ��������� 
���� ��ࠢ���⢮ $T_W(k) > k+1$. �����⨬, �� ��� �����-� $k$ 
��� �믮������, � ���쬥� ���� �� ⠪�� $k$. ����� $w$ -- 
���᫮�� ᢥ��᫮�� $W$, ᮤ���饥 $k+2$ ���᫮� $W$ ����� $k$. 

�����᭮ 1.2.2 �������� ��ﬠ� $L^*$ � {\it �樮�����\/} 㣫��� 
�����樥�⮬, ����ન����� ������ �����㣮�쭨� $M_w$. 
����� $w$ ���� ���᫮��� ᢥ��᫮�� $W^*=W_{L^*}$, �.�. 
$T_{W^*}(k) \ge k+2 > k+1$ ���४� 2.4.1. ����祭��� ��⨢��稥 
�����뢠��, �� ��� ����饭�� �뫮 ������ � �� 
$W=W_L$ 㤮���⢮��� �᫮��� $T_W(k)=k+1$ �� ��� $k$, �.�., 
����⢨⥫쭮, $W\in S_2$. 

2.4.3. �ਬ�� ᢥ��᫮�� $W\in S_2$, �� �ਭ������饣� ������ 
$S$, �� 㦥 �ਢ���� � �襭�� ����� 0.1: 
$\dots v v v h h h \dots$ (᭠砫� -- �㪢� $v$, ��⮬ -- 
�㪢� $h$). 

2.4.4. �� ᢥ��᫮�� $W$, ⠪�� �� $W \in S_1$ � $W \not\in S$, 
�ਭ������� $S_2$. 

�த������� -- � �᭮���� ������ 3.3, 3.4.1-3.4.3. 
\end 
