%\date 02.08.06

%Следующие три строчки зависят от используемой Вами русификации ТеХ'а
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{geometry}\geometry{a4paper,top=1.5cm,bottom=1.5cm,left=2cm,right=1.3cm}
\def\flushpar{\noindent}

\renewcommand\mathstrut{\vphantom{b}}

\begin{document}
\title{Теорема о высотах треугольника и тождество Якоби}
\author{А. Заславский и М. Скопенков}
\date{}
\maketitle

В этом сюжете мы покажем, как с помощью идеи Арнольда получать
теоремы, в которой участвуют не только точки и прямые, но и
окружности. Вот один из примеров:

\smallskip
\noindent{\bf Теорема о биссектрисах криволинейного треугольника.}
Пусть $a$, $b$ и $c$ --- три попарно пересекающиеся окружности на
плоскости. Через две точки пересечения окружностей $a$ и $b$
проведем окружность $c'$, образующую с этими окружностями равные
углы, и имеющую общие точки с пересечением внутренностей кругов,
ограниченных окружностями $a$ и $b$. Аналогично определим
окружности $a'$ и $b'$. Тогда три окружности $a'$, $b'$ и $c'$
имеют общую точку.
\smallskip

\flushpar{\bf 27.} Докажите Теорему о биссектрисах криволинейного
треугольника.

\flushpar{\bf 28*.} Зафиксируем некоторую окружность $I$ на
плоскости. Назовем {\it общим перпендикуляром} к паре окружностей
$a$ и $b$ окружность, перпендикулярную всем трем окружностям $a$,
$b$ и $I$. Докажите, что Теорема о высотах 'трехсторонника'
останется справедливой, если в ней слово 'прямая' (в пространстве)
всюду заменить на слово 'окружность' (на плоскости).

\smallskip

 Мы начнем, как обычно, с рассмотрения сферической
геометрии, в которой идея Арнольда проявляется наиболее ясно.
Задачи этого сюжета можно решать независимо от остальных.

\smallskip
{\bf Сюжет Третий. Суммирование окружностей.}
\smallskip

Назовем {\it окружностью} сечение сферы произвольной плоскостью,
не обязательно проходящей через центр сферы. Каждой окружности,
сопоставим вектор, перпендикулярный этой плоскости, направленный в
сторону этой плоскости, и равный по модулю $1/h$, где $h$ ---
расстояние от этой плоскости до центра сферы.

Всюду в дальнейшем заглавные буквы обозначают некоторые
окружности. Вектор, соответствующий некоторой окружности,
обозначается той же буквой, что и сама окружность, со значком
вектора. Будем обозначать через $d_A$ длину касательной,
проведенной к нашей сфере из конца вектора $\vec A$.

\smallskip

 \flushpar{\bf 29.} Что означает геометрически условие
$\vec A+\vec B+\vec C=0$?

\flushpar{\bf 30.} Докажите формулу $(\vec A,\vec A)=1+d_A^2$.

\flushpar{\bf 31.} Что означает геометрически равенство $(\vec
A,\vec B)=1$?

\flushpar{\bf 32.} Какой окружности соответствует вектор
$$
\frac{[\vec A,\vec B]+[\vec B,\vec C]+[\vec C,\vec A]}{(\vec
A,\vec B,\vec C)}?
$$

\flushpar{\bf 33.} Что означает геометрически условие $\vec A-\vec
B+\vec C-\vec D=0$?

\flushpar{\bf 34.} Какой окружности соответствует вектор
$$
\frac{d_B}{d_B-d_A}\vec A-\frac{d_A}{d_B-d_A}\vec B?
$$

\flushpar{\bf 35.} Используйте данные факты и алгебраические
тождества, чтобы получить теоремы планиметрии.

\smallskip
{\bf Дополнение. Представление окружностей точками пространства}
\smallskip

Пусть окружность на плоскости задается уравнением $x^2+y^2+ax+by+c=0$.
Поставим в соответствие ей точку пространства с координатами $(a,b,c)$.

\flushpar{\bf 36.} При каких $a$, $b$, $c$ существует окружность
соответствующая точке $(a,b,c)$?

\flushpar{\bf 37.} Пусть дана окружность, соответствующая точке $P$. Найдите
геометрическое место точек, соответствующих окружностям, перпендикулярным
данной.

\flushpar{\bf 38.} Какие пары точек соответствуют двум

а) пересекающимся;

б) не пересекающимся;

в) касающимся окружностям?

\flushpar{\bf 39.} Докажите следующую теорему (В.Ю.Протасов).

\flushpar Пусть даны три окружности: первая внутри второй, вторая
внутри третьей. Рассматриваются цепочки окружностей, касающихся
первой и третьей из данных, такие, что одна из точек пересечения
соседних окружностей цепочки принадлежит второй из данных
окружностей. Если эта цепочка замыкается при некоторой начальной
окружности, то она будет замыкаться и при любой начальной
окружности.

\flushpar{\bf 40.} Дана сфера, касающаяся ее плоскость и четыре точки $A$, $B$,
$C$, $D$ в этой плоскости. Пусть $D'$~--- точка пересечения плоскостей,
проходящих через прямые $AB$, $BC$, $CA$ и касающихся сферы. Аналогично
определяются точки $A'$, $B'$, $C'$. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$
лежат в одной плоскости, касающейся сферы.

\end{document}
