%&russiantex
\magnification 1100
\hmargins 15truemm, 15truemm
\vmargins 25truemm, 20truemm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% English / Russian
\long\def\pargobble#1\par{}
\let\rus\empty\let\eng\empty
\def\russian{\let\eng\pargobble\let\rus\empty}
\def\english{\let\rus\pargobble\let\eng\empty}
\def\ruseng#1#2{\relax\ifx\rus\empty#1\else#2\fi}
\def\checkrus#1777#2\endcheck{\def\tempa{#2}\ifx\tempa\empty\else\russian\fi}
\def\checkeng#1111#2\endcheck{\def\tempa{#2}\ifx\tempa\empty\else\english\fi}
\expandafter \checkrus \jobname 777\endcheck
\expandafter \checkeng \jobname 111\endcheck
\newcount\engrusc
\russian
%\english
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Fonts
\font \tenbff = labx3583 at 10pt
\font \titlefont = lasx500 at 21pt
\font \wasy = wasy10 at 48pt
\font \pgnumfont = lasx500 at 21pt
\newfam \bfitfam
\font \bfitfont = labi1000 \textfont\bfitfam \bfitfont
\def \bfit{\fam\bfitfam\bfitfont}

\def\hexagon{{\wasy \char 57}}
\hyphenchar\tensl 127


\headline {\hfil \ooalign{\cr\hfil\hexagon\hfil\cr\hfil\raise 5pt\hbox{\pgnumfont\the\count0}\hfil}}
\nopagenumbers

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Symbols and macros
\newskip \softfillskip \softfillskip 0pt plus 1000pt
\ifx \blacklozenge\undefined
  \font\larm = larm1000
  \font\tenbf = labx1000
  \font\tensl = lasl1000
  \font\tenit = lati1000
  \larm
  \tolerance 999
  \font \msamten = msam10
  \textfont9 \msamten
  \mathchardef\blacklozenge = "907
  \def\centering{\leftskip\softfillskip \rightskip\leftskip \parindent 0pt \parfillskip 0pt\relax}
  \def\rgbcolor#1{}
  \def\small{}
  \def\boldmath{}
  \def\normalmath{}
  \let\hm\relax
  \def\includegraphics#1{\special{psfile="#1" }}
  \def\grefincrement#1{\global\advance#1 by 1 }
  \fi

\let\lt \bf
\catcode`�=13 \def �{<<}
\catcode`�=13 \def �{>>}
\catcode`�=13 \def �#1�{{\bf#1\/}}
\catcode`�=13 \let�'
\catcode`�=13 \def �{\unskip~---}
\def\1~{\penalty 70   \ }
\def\2~{\penalty 200  \ }
\def\3~{\penalty 9999 \ }
\let\phi\varphi
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Sections
\def\temp{\rgbcolor{1 0 0}}
\long\def\myempty#1{}
\def\prenum{\indent\llap{\hbox to \parindent{$\blacklozenge$\hfil}}}
\def\taskstyle{\tenbff\sl}
\def\taskx#1.{\par\smallbreak{\bf{\prenum#1.\enspace}}\begingroup
    \taskstyle\def\par{\endgraf\endgroup\smallbreak}\interlinepenalty9999 \ignorespaces}
\def\rustask{\rus\taskx}
\def\engtask{\eng\taskx}
\def\task{\global\advance\engrusc 1 \ifodd\engrusc\expandafter\rustask\else\expandafter\engtask\fi}

\def\sect#1.#2\par{\par\goodbreak\bigskip {\centering\bf \sectionname\ #1. \ignorespaces#2\par}\nobreak\medskip}
\def\subsect#1{\par{\bf#1\par}}
\def\problem#1{\par{\noindent\titlefont#1}\par\bigskip}

\newcount\figurec
\def\figure#1{\par{\centering\grefincrement\figurec \figurename\ \the\figurec.~#1\par}}

\def\quote{\begingroup \small }
\def\endquote{\par\endgroup}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\logo{\raise -30pt \hbox{{\includegraphics{../figs/tiling.0}}}}

\parskip=\smallskipamount

\rus
\def\figurename{�������}
\def\sectionname{����}
\binoppenalty = 10000
\relpenalty = 10000

\eng
\def\figurename{Figure}
\def\sectionname{Section}


\problem{\logo \hfil \vbox{\halign{\hfil#\hfil\vbox to 17pt{}
       \strut\cr\hbox{\ruseng{���������, ���������}{Pavements, colorings}}\cr
                \hbox{\ruseng{� ��������� ������}{and tiling groups}}\cr}}}

\hfil {\titlefont ������� ����� E} \bigskip

%\count0 5
%\figurec 1
\def\taskstyle{\rm}

\def\hline#1{\noalign{\hrule height #1}}
\def\xvrule{\vrule width 1.2pt }
\def\recty#1#2#3{\vcenter{\halign{\xvrule##&&\hbox to #1{\hfil}%
     \xvrule height #1 ##\cr
\hline{1.2pt}
&width #2 &\cr\hline{#3}
&width #2 &\cr\hline{1.2pt}
}}}


\midinsert
\noindent\hfil
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.21}}}$ 
\figure{}\xdef\figxxi{\the\figurec}
\endinsert
%
\endgraf
{\bf �������� � ������� E1b.} �������������� ���������� �� ��������. ����� ������������ ������� �������������� ������ �����. ������� �� ��������, ��� ����� ��������� ��� ������ ������ ����������� ��� ������ $F$ �� ���.~\figxxi\ �����. ��� ���� �������� � ������� ������� ������ ������ $z$. ����� � ��� � ������ �������� �������� ������. ����� ����� ��������� �� ���.~\figxxi\ ������. ������ �� ����� ��������� ������������ ������������� ��� $F$ ��� $z$.
\endgraf

{\bf �������� � ������� E2b.} ���������� E1b.
\endgraf
   
\rus
{\bf �������� � ������� E3. } ��������� ��� $n{\times} n{\times} n$ � ���� ��������� ������. ��� ���������� � ���������, ���� �������
������� �� ������?

\eng 
{\bf Note to E3. } Draw a cube $n{\times} n{\times} n$ 
using the picture of brick arrangement. How does the picture change
when we remove the bricks one by one?

\rus
{\bf �������� � ������� E4.} ����������� ������� $h(x)$, ���������� ��������� �������: ���
������ ������ $�$, � ������� ���� �������������� �����, $h(x)=0$. ����� ���������� $h$ ����������: ���� ���
$�$ ���������� $h(x)$, � $y$~--- �������� � $�$ ������ �� �������, �� $h(�)$ ����� 0, ���� � ������ $y$ ����
�������������� �����; 1,\3~���� ��� �������� �� $x$ � $y$ �� ���������� ������������ �����, ������ ����� �������
������������ ����������� ��������; $-1$, ���� ��� �������� �� $x$ � $y$ �� ���������� ������������ �����, ������
������ ������ ������������ ����������� ��������. �������� ���������, ��� ��� ������� ���������� ���������. 
����� ����������� ������� $A$ ���������� ����������� ������� $B$, ���� ��� ������ $x$ $h_A(x)\geq h_B(x)$. ���������� ����������� $C$ �����, ��� ���� ���� ���� ��������� � � ����������� $D$, �� $C$ �� ���������� $D$. �.�. ����������� �������� �����, ����� $C$ ����������. �������� ��������, ��� �� ���������� ����� ����� $x$ �� $C$, ��� ��� ���� ����� $y$, �������� � ��� �� �������, $h(x)\geq h(y)$. ����� $C$ ������������ ������������ �������. ������, ����� ����������� � ������� ������� ������ ����� ��������� � ����� ������.

\eng
{\bf Note E4.} Consider the function $h(x)$, with the following condition hold:
if cell $�$ contains nondirected edge, then $h(x)=0$. Let us define $h$ by induction: if $h(x)$ is defined for some $x$,
and $y$ is a neighboring cell (by edge), then $h(�)$ is defined in the following way:  $h(�)=0$, if the cell $y$
contains nondirected edge, $h(�)=1$, if we intersect oriented edge which goes from the left to the right, and $h(�)=-1$,
if we intersect directed edge which goes from the right  to the left. You may assume that this function is well
defined.

\midinsert
\noindent\hfil
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.4}}}$ 
\hfil
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.20}}}$ 
\figure{}\xdef\figiv{\the\figurec}
\endinsert

\rus
{\bf �������� � ������� E5.} ����������� ��������� ��� �������� �� ���.~\figiv\ ������. ����� ��� ���� ���������� � �������� �� 1 �� $n$ ����������� ��������. ����� ��� ��������� � $(n+1)$-�� ������� ����������� �� �����. ��������� ���� ��������� ������� ������������ �-���������, ������������ $(n+1)$-�� ���������, �������� ������������. ��� ��������� �������������� ��������, ��� $m$ � $n$ ������� �� 4.


\midinsert
\noindent\hfil
\tabskip 0pt plus 1000pt
\halign to \hsize{\hfil # \hfil&\hfil # \hfil\cr
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.7}}}$ 
$\quad \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{M_{1a} } \quad$
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.8}}}$&%
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.9}}}$ 
$\quad \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{M_{1b} } \quad$
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.10}}}$ 
\cr 
%$M_{1a}$&$M_{1b}$\cr
}
\hfil


\noindent\hfil
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.11}}}$ 
$\quad \mathop{\longleftrightarrow}\limits^{M_2} \quad$
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/flip.12}}}$ 
\figure{}
\xdef\figvii{\the\figurec}
\endinsert

\rus
{\bf �������� � ������� E6.} ���������� ������������ ����� �� $�5$. �� ������ ��������� �������� ����� � �������, ��� ����� �\'������ ����� ���������, ����������� ��� �������.  ����� $M_{1a}, M_{1b}$ ��������� ����� ����������� �-��������� $A$ � $B$, ���� $A$ � $B$ ������������� ���������� ����������� �������. ��� ���������� ����� �� ������������ ���� �������� $E4$. $M_2$ � ���� ���� �� ������ $E4$. 


{\bf ����� � E7:} $2^{n-1}.$


{\bf ����� � E10a:} $(m+1)$-�� ���� ������������������ ��������� (1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots).


\bigskip
\hfil {\titlefont ������� ����� F} \bigskip

{\bf ������� F1.} ���������� ������������������ �� �������� ������� 
�����~$a$ �~�������� �������~$b$. 
�� �������, �� ����� ����������� ��� ��������� $a$
� ��� ������~$b$. 
��������� ����� ������������, �� ���������� ����������.

F2 � F3 �������� ����������������� �������� ��� F4 � F5. �� ���������� �������� � ������� ��� F4 � F5.

{\bf ������� F4 � F5.} ��� ������� ����� F4 � F5 ������� ���������� ��� ������ ��� ���������� �������. ��������������� ������ ������������ ��
�������. ������� $T_n$ ��� ���� ����� ��������� ��� �������� (��. �������). ������� ����� ��� ������������ ������.
����, ���� ���� �������� ������, ����������� �� �����, ��������������� ��������, � ��������������� ��������� �������
(��� $L_3$ � $T_2$).

\midinsert
\noindent\hfil
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/conv.2}}}$ 
\figure{}\xdef\figii{\the\figurec}
\endinsert

��� ����� �� ������������� ����� �����, ������������ �������. ���������� ����������� ���������������
����, � ������ ������� �������� ������ ���� ����� $A$ � ���� $B$, � ������� ����� ���� ����� $A$ � ���� $B$ (��. �������).
��������������� ����� ���������, ��� ������ ��� ���� ��������� ��������� $L_3$ � $T_2$ ������������� ��������� ����.


\midinsert
\noindent\hfil
$\vcenter{\hbox{\includegraphics{../figs/conv.1}}}$ 
\figure{}\xdef\figi{\the\figurec}
\endinsert

�������� ��� �����, ��������������� ���������� $L_3$ ��������� ���������: ���������� ����������� ������, ���������� ��
������� ������� ����� ���������� ����������� ������, ���������� ������ ������� �������. �������, ��� ��� �����
������������ ��� ������������ ���� �����, � ��� $L_3$-����� ��� ����� ����. ����� ����, ��������� �� �������� ���
����������. ������, ��� ���� ���� �� ��������� ������ ��� $L_3$ ���� ��������� ����� ����. � ������ $T_n$ ����������
������ ������ �������� �� ���, � ���� ������ $n\equiv 0$ ��� $2$ (mod $3$). � ���� ������� ����� �� ����� ��� $T_n$
����� ��������������� ��������� �������� ����������. ������, ��������������� ����� �� ����� ������ � ��������� ������
��� $L_3$ � ���������, ��������� � ������ F4 ����������.


��� F5 ����� ������������ ������ ���������: ���������� ���������� ������������� ������, ���������� ��
������� ������� ����� ���������� ����������� ������, ���������� ������ ������� �������. ���� ��������� ��� ���������
��������� $T_2$ (��� �� ���������� �������) ����� ������ �������� $1$ ��� $-1$. ����� ����� ����������, ��� ���
����� $T_n$ ��������� ����� ����� $\left[ \frac{n+1}{3}\right]$. ��������, ��� $T_n$ ����������� �� $m$ ������ $T_2$.
����� $\left[ \frac{n+1}{3}\right] = m \pmod 2$. ����� ����, ��� ��� � $T_n$ ����� $n(n+1)/2$ ������, ��������, ���
$m=n(n+1)/2 \pmod 2$. �������������, $\left[ \frac{n+1}{3}\right] = \frac{(n+1)n}{2} \pmod 2$. ����� ������,
��� ������ ����������� �� ��������� ��� $n\equiv 3,5,6 $ ��� $9 \pmod {12}$.
��������, ��� $n\equiv 0$ ��� $2 \pmod 3$, �������� ����������� ������ $n\equiv 0,2,9 $ ��� $11 \pmod {12}$. ��� ����
������� $T_n$ ����� ������� �� $T_2$. ���������� ���� ��������� ��������� ��������. ����� �������, ���������, ���������
� ������ F5 �������� ������ ��� $n\equiv 0,2,9 $ ��� $11$ (mod $12$).




