\documentclass[12pt]{article}

% корректная обработка переносов, в том числе при поиске и копировании
\usepackage{cmap}
\defaulthyphenchar=127
\lccode`\-=`\-
\newcommand\softhyphen{\char127\relax}
% также в локальную копию файла t2a.cmap внесено изменение:
%  <7F> <002D>   заменено на   <7F> <00AD>

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{lhcyralt}

\oddsidemargin=-8mm
\textwidth=17cm
\topmargin=-1in
\headheight=0pt
\headsep=16mm
\textheight=25cm
\parindent=0mm
\tolerance=600
\pagestyle{empty}
\righthyphenmin=2
\newcounter{zzz}
\newcounter{ppp}
\newcommand{\zd}{\par\addtocounter{zzz}{1}%
\arabic{zzz}. \setcounter{ppp}{0}}
\newcommand{\pp}{\par\addtocounter{ppp}{1}
\alph{ppp})}

\begin{document}
\begin{center}
{\large\bf Об изогональном сопряжении, точках Микеля,
прямых Гаусса и др.}

{\bf Н.Белухов, А.Заславский, П.Кожевников}
\end{center}

\section{Вводные задачи}

\zd {\bf Изогональное сопряжение.} Дан треугольник $ABC$ и точка
$P$.
\pp Докажите, что прямые, симметричные $AP$, $BP$, $CP$
относительно биссектрис соответствующих углов, пересекаются в
одной точке или параллельны.
Полученная точка $P'$ называется {\it изогонально сопряженной} $P$
относительно треугольника $ABC$.
\pp Докажите, что $P'$~--- бесконечно удаленная точка (т.е. три
соответствующие прямые параллельны) тогда и только тогда, когда
$P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.
\pp Найдите образ при изогональном сопряжении окружности,
проходящей через две вершины треугольника.
{\footnotesize \pp\footnote{Здесь и далее мелким шрифтом набраны задачи, которые не используются при получении основных результатов, приведенных в разделе 2.}  Докажите, что проекции $P$ и $P'$ на стороны $ABC$ лежат на одной окружности.
Как звучит это утверждение, если $P'$ бесконечно удалена?
\pp Если $X, X'$ и $Y, Y'$ --- две пары изогонально сопряженных точек,
то $XY\cap X'Y'$ и $XY'\cap X'Y$ изогонально сопряжены.}
% задача об изогональном сопряжении четырехсторонника

\vspace{1mm}
Дан четырехугольник $ABCD$ и точка $P$.
\pp Докажите, что, если три из четырех прямых, симметричных $AP$,
$BP$, $CP$, $DP$ относительно биссектрис соответствующих углов,
пересекаются в одной точке, то четвертая также проходит через эту
точку.
\pp Докажите, что точка, изогонально сопряженная $P$ относительно
четырехугольника, существует тогда и только тогда, когда проекции
$P$ на стороны лежат на одной окружности (причем на этой окружности
лежат и проекции изогонально сопряженной точки).
%$^N$ если проекции лежат
%на одной прямой, то изогонально сопряженная точка --- бесконечно удаленная).

\vspace{1mm}
{\footnotesize Коникой, вписанной в многоугольник, называется коника, касающаяся всех прямых, содержащих
стороны многоугольника.
\pp Докажите, что фокусы вписанной в треугольник коники изогонально сопряжены.
\pp Докажите, что фокус любой параболы, касающейся прямых $AB$, $BC$, $CA$, лежит
на описанной окружности треугольника $ABC$.}

\vspace{1mm} \zd {\bf Точка Микеля.} Дан четырехугольник $ABCD$.
Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, $AD$ и $BC$~--- в
точке $F$.
\pp Докажите, что в обозначениях предыдущей задачи
окружности, описанные около треугольников $ABF$, $CDF$, $ADE$ и
$CDE$, пересекаются в одной точке $M$ (точке Микеля четверки
прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA$).
\pp Докажите, что $M$ --- центр
поворотной гомотетии, переводящей отрезок $BE$ в $FD$  (или $DE$ в
$FB$, и т.д.) {\footnotesize
\pp Два таракана $B$ и $C$ ползут с
постоянными скоростями по двум прямым, пересекающимся в точке $A$.
Докажите, что окружности $ABC$ проходят через фиксированную точку,
а прямые $BC$ касаются фиксированной параболы.
\pp (IMO2005) Дан
выпуклый четырехугольник $ABCD$, стороны $BC$ и $AD$ которого
равны, но не параллельны. Пусть $E$ и $F$ -- внутренние точки
отрезков $BC$ и $AD$ соответственно такие, что $BE=DF$. Прямые
$AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, прямые $BD$ и $EF$
пересекаются в точке $Q$, прямые $EF$ и $AC$ пересекаются в точке
$R$. Рассмотрим  треугольники $PQR$, получаемые для всех таких
точек $E$ и $F$. Докажите, что окружности, описанные около всех
этих треугольников, имеют общую точку, отличную от $P$.
\pp
Выясните связь точки Микеля со вписанными кониками.
\pp Докажите,
что проекции точки Микеля на стороны четырехугольника лежат на
одной прямой, перпендикулярной прямой Гаусса. Как связана эта
прямая со вписанной в четырехугольник параболой?}

\vspace{1mm}
\zd {\bf Прямая Гаусса.} Дан четырехугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и
$CD$ пересекаются в точке $E$, $AD$ и $BC$~--- в точке $F$.
\pp Докажите, что середины отрезков $AC$, $BD$ и $EF$ лежат на одной
прямой (прямой Гаусса четырехугольника $ABCD$, или четверки прямых $AB$, $BC$, $CD$, $DA$).
\pp Докажите, что центры  окружностей, проходящих через проекции пары изогональных
относительно четырехугольника точек,
 лежат на прямой Гаусса четырехугольника.
\pp Докажите, что точка Микеля четырехугольника изогонально
сопряжена бесконечно удаленной точке его прямой Гаусса.
{\footnotesize \pp Докажите, что центры коник, вписанных в четырехугольник,
 лежат на его прямой Гаусса.
\pp (Всероссийская олимпиада 2009)
На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбраны точки $A_1$ и $C_1$ соответственно.
Отрезки $AC_1$ и $CA_1$ пересекаются в точке $P$.
Описанные окружности треугольников~$AA_1P$ и $CC_1P$ вторично пересекаются в точке $Q$,
лежащей внутри треугольника~$ACD$. Докажите, что $\angle PDA=\angle QBA$.}

\section{Три Микеля для квартетов.}

В задачах этого раздела рассматривается следующая конструкция и
используются следующие обозначения.
$A$, $B$, $C$, $D$~--- четыре точки общего положения.
$X$~--- точка Микеля прямых $AB$, $AC$, $BD$, $CD$, $Y$~---
точка Микеля прямых $AB$, $AD$, $BC$, $CD$, $Z$~--- точка Микеля
прямых $BC$, $AC$, $BD$, $AD$.
$P_X=AD\cap BC$, $P_Y=AC\cap BD$, $P_Z=AB\cap CD$.
$K_X$, $L_X$~--- середины $BC$ и $AD$, $K_Y$, $L_Y$~--- середины
$AC$ и $BD$, $K_Z$, $L_Z$~--- середины $AB$ и $CD$.
$\Gamma_X$, $\Gamma_Y$, $\Gamma_Z$~--- прямые (Гаусса для соответствующих четверок прямых)
$K_XL_X$, $K_YL_Y$, $K_ZL_Z$.

\vspace{1mm}
%\zd Докажите, что прямые, проходящие через $A$, $B$, $C$ и
%параллельные $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$, пересекаются в
%одной точке или параллельны.
\zd Докажите, что прямые $AX$, $BY$, $CZ$ пересекаются в
одной точке $D'$ или параллельны. Аналогично определяются
точки $A'$, $B'$, $C'$
как центры перспективы треугольника $XYZ$ с треугольниками
$DCB$, $CDA$, $BAD$.

\vspace{1mm}
\zd Докажите, что $A'$, $B'$, $C'$, $D'$~--- точки, изогонально
сопряженные $A$, $B$, $C$, $D$ относительно треугольника $XYZ$.

\vspace{1mm}
\zd Докажите, что $X$, $Y$, $Z$~--- точки Микеля для
четверки точек $A'$, $B'$, $C'$, $D'$.

\vspace{1mm}
\zd Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$, $CC'$ и $DD'$ параллельны.

\vspace{1mm}
\zd Докажите, что прямые $AD$, $A'D'$ и $YZ$ пересекаются в одной
точке (и аналогичные пересечения).
%здесь для решения можно использовать задачу об изогональном сопряжении четырехсторонника

\vspace{1mm} \zd \pp Докажите, что точки $X$, $Z$, $P_Y$, $K_Y$,
$L_Y$ лежат на одной окружности ~--- $\omega_Y$. Окружности
$\omega_X$, $\omega_Z$ определяются аналогично.
\pp Докажите, что
окружности $\omega_X$, $\omega_Y$, $\omega_Z$ проходят через одну
точку $T$ (или совпадают).
\pp Докажите, что прямые $XP_X$,
$YP_Y$, $ZP_Z$ проходят через $T$.

\eject

\section{Квартеты для трех Микелей.}

Дан треугольник $XYZ$. Определим преобразование $\psi_X$, как
композицию симметрии относительно биссектрисы угла $X$ и инверсии
с центром $X$ и таким радиусом $R$, что $R^2=XY\cdot XZ$.
Аналогично определим $\psi_Y$, $\psi_Z$.
\zd Докажите, что
\pp $\psi_X(Y)=Z$, $\psi_X(Z)=Y$;
\pp $\psi_X^2$~--- тождественное преобразование;
\pp Композиция $\psi_X$, $\psi_Y$ и $\psi_Z$~--- тождественное
преобразование.

Пусть $D$~--- произвольная точка, $A=\psi_X(D)$, $B=\psi_Y(D)$,
$C=\psi_Z(D)$.
\zd Докажите, что $\triangle XDZ\sim\triangle XYA$ и $\triangle
XDY\sim\triangle XZA$.

\zd Докажите, что каждое из преобразований $\psi_X$, $\psi_Y$,
$\psi_Z$ переводит набор из четырех точек $A$, $B$, $C$, $D$ в
себя.

Будем называть набор из четырех (не обязательно различных) точек
$A$, $B$, $C$, $D$ {\it квартетом}. Из последней задачи следует,
что вся плоскость может быть разбита на квартеты.

\zd Докажите, что четверка точек, изогонально сопряженных квартету
--- квартет.

\zd Найдите квартеты, содержащие
\pp центр $I$ вписанной
окружности треугольника $X$, $Y$, $Z$;
\pp центр $O$ его описанной
окружности.
\pp Найдите неподвижные точки преобразования $\psi_Z$
и соответствующие квартеты.

\zd \pp Докажите, что $X$~--- точка Микеля прямых $AB$, $AC$,
$BD$, $CD$.

\pp Докажите обратное утверждение: если $X$, $Y$,
$Z$~--- точки Микеля, определяемые точками $A$, $B$, $C$, $D$, то
$A$, $B$, $C$, $D$ образуют квартет.
%\zd Докажите, что прямые $AX$, $BY$, $CZ$ пересекаются в одной
%точке.

\zd Докажите, что каждое из преобразований $\psi_X$, $\psi_Y$,
$\psi_Z$ коммутирует с изогональным сопряжением относительно
треугольника $XYZ$.

{\footnotesize \zd Пусть точки $A$, $B$, $C$, $D$ образуют квартет
относительно треугольника $XYZ$, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$
изогонально сопряжены им. Тогда существуют вписанные в треугольник
коники с фокусами $A$ и $A'$, $B$ и $B'$, $C$ и $C'$, $D$ и $D'$.

\pp Докажите, что эти коники гомотетичны друг другу.

\pp Докажите, что середины шести отрезков, соединяющих центры этих
коник, лежат на гомотетичной им конике, описанной около
треугольника $XYZ$.

\zd Внутри треугольника $ABC$ лежат две изогонально сопряженные
точки $M$ и $N$. Известно, что $AM\cdot AN\cdot BC=BM\cdot BN\cdot
AC=CM\cdot CN\cdot AB=k$.

\pp Докажите, что середина $MN$ совпадает с центром тяжести
треугольника.

\pp Выразите $k$ через стороны треугольника.}

\eject

\section{Дополнительные задачи.}

\zd \pp Пусть $A,B,C,D$~--- квартет, $A',B',C',D'$~--- изогонально сопряженный квартет; $P_X$~--- точка пересечения $AD$ и $BC$, $P_Y$~--- $AC$ и $BD$, $P_Z$~--- $AB$ и $CD$. Точки $Q_X,Q_Y,Q_Z$ определяются аналогично по точкам $A',B',C',D'$. Докажите, что прямые $P_XQ_X,P_YQ_Y,P_ZQ_Z$ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника $XYZ$ (из предыдущих обозначений).

\pp В обозначениях предыдущего пункта докажите, что прямые $P_XQ_Y,P_YQ_X$ и $XY$ пересекаются в одной точке.

\pp Обозначим точку, полученную в предыдущем пункте через $Z'$. Докажите, что $ZZ'$ параллельна $AA',BB',CC',DD'$.

\pp Пусть $D_1,D_1'$ и $D_2,D_2'$~--- две пары изогонально сопряженных точек такие, что $D_1D_1'\parallel D_2D_2'$. Докажите, что прямые $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,D_1D_2$ пересекаются в одной точке ($A_1,B_1,C_1,D_1$ и $A_2,B_2,C_2,D_2$~--- квартеты).

\zd Даны точки $A,B,C,D$. Известно, что треугольник $XYZ$ перспективен каждому из треугольников $ABC,BCD,CDA,DAB$ (именно в таком порядке вершин). Точки $D',A',B',C'$~--- соответствующие центры перспективы. Докажите, что прямые $AA',BB',CC',DD'$ пересекаются в одной точке.

\end{document}
