\documentclass[12pt]{article}
\textwidth180mm \textheight270mm \hoffset-65pt \topmargin-25mm

% корректная обработка переносов, в том числе при поиске и копировании
\defaulthyphenchar=127
\lccode`\-=`\-
\usepackage{cmap}
\newcommand\softhyphen{\char127\relax}
% также в локальную копию файла t2a.cmap внесено изменение:
%  <7F> <002D>   заменено на   <7F> <00AD>

\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{righttag}
\usepackage{amssymb}


\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE\bf Дробные итерации функций.}
\end{center}

\begin{center}
{\em Проект представляют\\ А.Канель-Белов, В.Бугаенко, С.Григорьев, Н.Кудык, И.Митрофанов, А.Петухов, Б.Френкин}
\end{center}


Всем известно обозначение $f^{(n)}(x)=f(f(\dots x)\dots )$ ($n$
раз). Такие функции называются {\em итерациями} функции $f$. Если
$f$ обратима, то можно определить ее {\em целые итерации}, положив
$f^{(-n)}=(f^{(-1)})^{(n)}$. Легко убедиться в том, что
$(f^{(n)})^{(m)}=f^{(nm)}$, и $f^{(n)}\circ f^{(m)}=f^{(n+m)}$.


А вот как определить {\em дробные итерации}? Что такое, скажем,
$f^{(1/2)}(x)$? Естественно это определить как функцию $g$ такую,
что $g^{(2)}=f$. Определив {\em функциональные корни} $f^{(1/n)}$,
затем можно естественно определить рациональные степени
$f^{(m/n)}=(f^{(1/n)})^{(m)}$, и, как предельный переход,
вещественные итерации. (Далее хочется понять и что такое
комплексные итерации? И даже -- $p$-адические.)

Разумеется, на этом пути есть трудности. Не все так просто даже с
обратимостью. Ситуация с функциональным корнем еще хитрее.

Чтобы провести полное исследование, надо изучить для начала обычные
итерации функций и функциональные корни, в том числе и с чисто
теоретико-множественной точки зрения. Кроме того, следует
рассмотреть частные случаи, когда задача легко берется.


\section{Функциональные корни}

\begin{enumerate}

    \item

    а) Существует ли функция $g$, такая что $g^{(2)}(x)=\cos
    x$?

б) Существует ли функция $g$, такая что $g^{(2)}(x)=\sin
    x$?

   в) Те же вопросы, если потребовать непрерывность функции
    $g$.

г) Те же вопросы, если потребовать конечность числа точек разрыва
функции
    $g$.

 \item а) Существует ли функция $g$, такая что $g^{(3)}(x)=e^{-x}$?

    б) Тот же вопрос, если потребовать конечность числа точек
разрыва  функции
    $g$.

\item а) Существует ли функция $f$, определенная на интервале
$(-1,1)$, такая что $f(f(x))=-x$?

б) Существует ли функция $f:(-1,1)\to (-1,1)$, определенная на
интервале $(-1,1)$ с конечным числом точек разрыва, такая что
$f(f(x))=-x$?

в) Существует ли функция $f:[-1,1]\to [-1,1]$, определенная на
отрезке $[-1,1]$ с конечным числом точек разрыва, такая что
$f(f(x))=-x$?

\item $*$ Существует ли всюду определенная функция $f$, с конечным
числом точек разрыва, такая что $f(f(x))$ есть монотонно
убывающая функция?

\item а) Сколько перестановок из $4$ элементов являются квадатом
перестановки?

б) Опишите все перестановки из $9$  элементов, являющиеся кубом
перестановки.

\end{enumerate}

\section{Дробные итерации некоторых элементарных функций}

\begin{enumerate}

\item Определите дробные итерации функции $f$, если

     а) $f(x)=x+c$,

б) $f(x)=\alpha x$,

в) $f(x)=\alpha x+c$,

г) $f(x)=\alpha x^n$.

\item $f(x)= x^2-2$.
%Указание. Пусть $x=u+1/u$.

%    \item Пусть $f(x)=\cos(n\arccos(x))$. Определите дробные итерации
%    $f$.
%    \item Пусть $f(x)=\sin(n\arcsin(x))$. Определите дробные итерации
%    $f$. Когда они многочлены?
%    \item $G(x)=x+1/x$. Определите дробные итерации
%    $G(G^{-1}(x)^{n})$. Когда они многочлены?
%   \item $H(x)=x+1/x$. Определите дробные итерации
%    $H(H^{-1}(x)^{n})$. Когда они многочлены?

\item а) $z_0\notin{\mathbb R}$, $f(z)=z^2-2$. Докажите, что
$|f^{(n)}(z_0)|\to\infty$ при $n\to\infty$. При каких $z_0$
$|f^{(n)}(z_0)|=2$?

б) Все корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим
коэффициентом 1 по модулю не превосходят 1. Докажите, что они являются корнями из
единицы.

в) Все корни $z_i$ многочлена $P$ с целыми коэффициентами и со
старшим коэффициентом 1 различны. Они принадлежат отрезку
$[-1.99,+1.99]$. Докажите, что множество  таких многочленов
конечно.
\end{enumerate}


\section{Немного пределов}

\begin{enumerate}
    \item На прямоугольную карту положили карту той же местности, но
меньшего масштаба. Докажите, что можно проткнуть иголкой обе карты
так, чтобы точка прокола изображала в обеих картах одну и ту же
точку на местности.

    \item Найдите предел последовательности

$$\sqrt{1}, \sqrt{1+\sqrt{1}}, \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}},\dots$$

%    \item Пусть $\lim_{n\to\infty}\varphi^{(n)}(x)=\psi(x)$. ($(n)$
%здесь означает $n$-ю производную). Найдите $\psi(x)$.

    \item (Задача Арнольда). Найдите предел $$\lim_{x\to
    0}\frac{\sin(\tg(x))-\tg(\sin(x))}{\arcsin(\arctg(x))-\arctg(\arcsin(x))}$$


\end{enumerate}


\section{Итерации функций. Поведение при больших $n$.}

\begin{enumerate}
    \item Дан $\triangle ABC$ и точка $x_0$. На каждом шаге разрешается
    выбрать одну из вершин $\triangle ABC,$ соединить точку $x_n$,
    полученную на $n$-ом шаге, с этой вершиной и заменить ее на точку
    $x_{n+1}$, являющуюся серединой соответствующего отрезка.
    Докажите, что существует фигура площади $0.0001$, в которую мы
    рано или поздно попадем вне зависимости от выбора шага.
    \item $f(x)=x^2-10$. Докажите, что множество точек $x$, таких
    что $$\lim_{n\to\infty} f^{(n)}(x)\ne\infty$$ можно покрыть
    конечным набором интервалов суммарной длины $0.0001$.
\end{enumerate}

\section{Локальный анализ итераций вблизи неподвижных точек и
циклов.}

\begin{enumerate}
    \item Решите уравнение в вещественных числах: $f^{(n)}(x)=x$
    для всех $n$, если $f(x)=\cos(x)$.
    \item Решите уравнение в вещественных числах: $f^{(n)}(x)=x$
    для всех $n$, если $f(x)=1-x^2$.
    \item а) Докажите, что $\sin^{(n)}(x)\to 0$ при $n\to\infty$.
    б) Найдите предел
    $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\sin^{(n)}(x_0)$.
    \item Проведите исследования, аналогичные предыдущему пункту,
    для поведения функции\break $f(x)=x-ax^k, k>1$ в окрестности нуля.
    \item Проведите исследования, аналогичные предыдущему пункту,
    для поведения функции\break $f(x)=x-\exp(-1/x^2)$ в окрестности нуля.
\end{enumerate}



\section{Коммутирующие функции}


{\bf Определения.} $f\circ g(x)=f(g(x))$. Функции $f$ и $g$ {\it
коммутируют}, если $f\circ g=g\circ f$. Естественно ожидать, что
дробные итерации функций коммутируют между собой, и в ряде случаев,
наоборот, коммутирующие функции являются дробными итерациями друг
друга.

\begin{enumerate}

\item Найдите все дифференцируемые функции, коммутирующие с функцией $y = 2x$.

\item Существует ли недифференцируемая непрерывная функция, коммутирующая с функцией $y = 2x$?

\item Дифференцируемая функция $f(x)$ коммутирует с функцией $\frac {\sin(x)}2$, $f'(0) = \frac 1{1024}$.
Найдите все такие функции.

\item Существует ли недифференцируемая непрерывная функция $f:(-0.1,0.1)\to (-0.1,0.1)$, коммутирующая с $\frac {\sin(x)}2$?

\item Дифференцируемая функция $f(x):(-0.1,0.1)\to (-0.1,0.1)$, коммутирует с функцией $\frac {\sin(x)}2$. Докажите, что $f$ однозначно определяется значением ее производной в $0$.

\item Существуют ли а) непрерывные б) дифференцируемые в*) четырежды дифференцируемые функции $f,g: (-0.1,0.1)\to (-0.1,0.1)\to (-0.1,0.1)$, коммутирующие с функцией $\sin(x)$, но не коммутирующие друг с другом?

\item Функция $f:(-0.1,0.1)\to (-0.1,0.1)$, коммутирует с $\sin(x)$ и четырежды дифференцируема. Доказать, что $f'(0) = 1, f''(0) = 0$.

\item Докажите, что две четырежды дифференцируемые функции, из $(-0.1,0.1)$ в $(-0.1,0.1)$, коммутирующие с $\sin(x)$ с равными третьими производными в точке $0$ совпадают.

\item Проведите аналогичные исследования для функции $g(x) = x - ax^k$ вместо функции $\sin(x)$.

\end{enumerate}


\end{document}


