8 класс. Лига Б (ДНТТМ)

1. Сколькими способами можно пришить пуговицу с 4-мя дырками, расположенными в вершинах квадрата? (Через каждую дырку должна проходить нитка. Важен только видимый рисунок ниток. Пуговицу поворачивать нельзя).

2. Может ли произведение двух последовательных положительных целых чисел равняться квадрату целого числа?

3. Пусть в параллелограмме высота равна стороне, на которую эта высота опущена. Докажите, что этот параллелограмм можно разрезать на части и сложить из них квадрат.

4. Парк состоит из полянок, соединённых дорожками. С каждой полянки выходят три дорожки, которые ведут к другим полянкам. Маша гуляет по дорожкам и, попав на полянку, идёт дальше всегда по правой дорожке. Докажите, что она вернется на исходную полянку.

5. На плоскости проведены 100 прямых, таких что никакие две прямые не параллельны и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что к каждой прямой примыкает треугольник, который не пересечен другими прямыми.

6. На кольцевой дороге стоят бензоколонки, причем бензина во всех бензоколонках вместе хватит автомобилю на целый круг. Докажите, что существует бензоколонка, начав с которой, автомобиль сможет проехать весь круг. (По дороге он забирает весь бензин из бензоколонок).

7. В треугольнике ABC точка D является серединой стороны AC, точка E лежит на стороне BC, а угол AEB равен углу DEC. Чему равно отношение AE к ED?

8. У крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, то остальные крестьяне сговариваются и раскулачивают его: каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих крестьян по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что в результате все овцы собрались у одного крестьянина.

8 класс. Лига Б и Командная олимпиада (лицей "Вторая школа").

1. (Пуговица) Сколькими способами можно пришить пуговицу, если у нее 4 дырки, расположенные в вершинах квадрата; через каждую дырку проходит нитка; пуговицу поворачивать нельзя? (Важен только видимый рисунок ниток. Докажите, что других способов нет).

2. (Степень) Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться квадрату натурального числа? (Натуральные числа — 1,2,3, ... Последовательные числа отличаются на единицу.)

3. (Части) Докажите, что любой параллелограмм, у которого высота равна основанию, можно разрезать на части, из которых можно сложить квадрат такой же площади.

4. (Минотавр) Лабиринт состоит из конечного числа пещер, соединенных коридорами. Из каждой пещеры выходят три коридора, которые заканчиваются пещерой. Минотавр гуляет по лабиринту и, попав в пещеру, поворачивает направо. Докажите, что Минотавр вернется в исходную пещеру.

5. (Прямые) Плоскость разрезана вдоль 100 прямых общего положения (любые три прямые образуют треугольник). Докажите, что к каждой прямой примыкает треугольник, который не пересечен другими прямыми.

6. (Бензоколонки) На кольцевой дороге стоят бензоколонки, причем бензина во всех бензоколонках хватит автомобилю на целый круг. Докажите, что существует бензоколонка, начав с которой, автомобиль сможет проехать весь круг. (По дороге он забирает весь бензин из бензоколонок).

7. В выпуклом многоугольнике выбрали точку и опустили перпендикуляры на прямые, содержащие стороны многоугольника. Может ли так случиться, что все основания перпендикуляров попадут на продолжения сторон?

8. (Овцы) У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, то остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что в результате все овцы собрались у одного крестьянина.

8 класс. Лига А.

1. За круглым столом сидят 12 человек: математики и астрологи. Математики всегда говорят правду, а астрологи — не всегда. Каждый из них сделал заявление: "Один из моих соседей — математик, а другой — астролог". Какое наибольшее число математиков могло быть за этим столом?

2. На координатной плоскости отмечены точки А(0;0), В(1;0), С(3;0), D(4;0), Е(—2;5), F(—1;5), G(8;5), Н(9;5). Может ли график функции y = a|x—b| + c пересекать четыре отрезка: АВ, СD, EF, GH?

3. На диагонали АС квадрата АВСD взяли точку О, равноудаленную от вершины D и середины стороны ВС. В каком отношении она делит диагональ?

4. Клетчатый прямоугольник 2х3 сложен из 17 спичек, как показано на рисунке. Какие размеры может иметь прямоугольник, составленный из 1000 таких же спичек?

5. У Гарри есть мышонок и много лягушат. Он тренируется превращать мышат в лягушат и наоборот. Заклинание работает, если мышат и лягушат не поровну. По взмаху волшебной палочки количество тех животных, которых было меньше, удваивается. После того как Гарри удалось проделать эту операцию 17 раз подряд, мышат впервые оказалось ровно в два раза больше, чем лягушат. Сколько животных было у Гарри?

6. Натуральное число таково, что после вычеркивания любой его цифры получается число, кратное 7. Докажите, что запись этого числа либо состоит из одних четверок, либо не содержит ни одной четверки.

7. Петя утверждает, что любые шесть последовательных целых чисел можно каким-то образом расставить вместо вопросительных знаков в систему уравнений

              ?x+?y=?, 
              ?x+?y=?,

так, что система будет иметь решение в целых числах. Прав ли он?

8. У бизнесмена Владимира Петровича есть газон четырехугольной формы. Владимир Петрович развлекается тем, что гуляет по газону и в каждой точке измеряет сумму расстояний до четырех границ газона. Каждый раз результат его измерений оказывается один и тот же. Верно ли, что газон имеет форму параллелограмма?

9 класс. Лига Б и Командная олимпиада.

1. В начале времён в Ачухонии жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей. Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечётное число других жителей. Сейчас в Ачухонии остался всего один житель. Кто это?

2. Укажите все виды треугольников, которые нельзя покрыть двумя подобными им треугольниками меньшего размера.

3. Двое по очереди записывают натуральные числа от 1 до 25 в клетки таблицы 5x5, причем каждое число может быть записано только один раз. Если после заполнения всей таблицы сумма чисел в каком-нибудь столбце или строке равна 70, то выигрывает начинающий, а в противном случае выигрывает его соперник. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть, чтобы выиграть?

4. AC=BC. Найдите ГМТ M,таких что /AMC=/BMC.

5. При каких n существуют положительные числа x₁, ..., x_n, удовлетворяющие системе:
x₁+x₂+...+x_n=3,
1/x₁+1/x₂+...+1/x_n=3?

6. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет.Эксперт установил, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. Может ли эксперт за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь доказать суду свою правоту?

7. Какие натуральные числа можно представить в виде суммы двух составных чисел?

8. На поле для игры в "морской бой" размером 10x10 Вася располагает прямоугольники 1x1,1x2, ..., 1xn. После этого Петя хочет расположить на этом же поле прямоугольник 1x(n+1). При каком наименьшем n Вася сможет ему помешать?

9 класс. Лига А.

1. Неостроугольный треугольник разрезан на остроугольные. Каково их наименьшее возможное число?

2. В пространстве даны 2003 точки, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Два игрока по очереди соединяют их отрезками. Две ещё не соединённые точки разрешается соединить, если из них в сумме выходит чётное число линий. Если проведены все линии, игра заканчивается вничью, в противном случае игрок, который не может сделать ход, проигрывает. У кого из игроков есть выигрышная стратегия?

3. Решите в натуральных числах систему уравнений x+y=zt, xy=z+t.

4. Можно ли число 1956 представить в виде разности двух палиндромов (чисел, десятичная запись которых читается слева направо точно так же, как и справа налево)?

5. Числа х и y таковы, что x>y и xy=1. Докажите, что справедливо неравенство
x²+y² / (x–y) ≥ 2^3/2

6. На диагонали АС квадрата АВСD взяли точку О, равноудаленную от вершины D и середины стороны ВС. В каком отношении она делит диагональ?

7. На стороне AB треугольника ABC, в котором / BAC= / BCA=80^o, взята точка D так, что BD=AC. Найдите /ADC.

8. Назовём два слова u и v перестановочными, если слова, полученные их конкатенацией ("склейкой", "приписыванием без пробела") в разном порядке, одинаковы: uv=vu. Например, слова МАМА и МА перестановочны, а слова МЯУ и КИС не перестановочны: МЯУКИС, КИСМЯУ. Докажите, что если даны три слова, первое из которых перестановочно со вторым, а второе с третьим, то первое перестановочно с третьим.

10 класс. Лига Б и Командная олимпиада.

1. В некотором обществе любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этом обществе все имеют одинаковое число знакомых.

2. Для каждого натурального n решите уравнение
sin² x+sin 2x sin 4x+ sin 3x sin 9x+...+sin nx sin n²x=1.

3. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d,e выполняется неравенство
a²+b²+c²+d²+e²≥(a+b+c+d)e.

4. Из бумаги в клеточку вырезали квадрат 8х8. Какое наибольше количество пентаминошек в виде креста можно вырезать из этого квадрата?

5. На плоскости нарисованы точка A, прямая l и окружность О. Постройте точку M на окружности О такую, что l делит пополам отрезок AM.

6. По кругу написаны в произвольном порядке две единицы и три нуля. Над ними производится следующая операция: между одинаковыми цифрами пишется нуль, а между разными — единица, после чего первоначальные цифры стираются. Затем такая же операция производится над полученными цифрами и т. д. Докажите, что после нескольких таких операций невозможно получить пять нулей.

7. При каких натуральных n число 1010...101 (n нулей) простое?

8. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что лучи AE и CD пересекаются в точке P, а лучи ED и BC пересекаются в точке Q так, что PQ||AB. Докажите, что AD=BD.

10 класс. Лига А.

1. H — ортоцентр неравнобедренного треугольника ABC. Пусть M — середина BC, A₁ — точка пересечения прямой AM с описанной окружностью треугольника ABC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно M. Докажите, что A₂H перпендикулярно AM.

2. В вершинах правильного 2n-угольника написаны натуральные числа, причем любые два числа, стоящие в соседних вершинах, различны. Число в вершине назовем гористым, если оно больше чисел в обеих соседних вершинах, и нористым, если оно меньше чисел в обеих соседних вершинах. Докажите, что сумма всех гористых чисел превосходит сумму всех нористых по крайней мере на n.

3. В пространстве даны 2003 точки общего положения, и два игрока по очереди соединяют их отрезками. Две еще не соединенные точки разрешается соединить, если из них в сумме выходит четное число линий. Если проведены все линии, игра заканчивается вничью, в противном случае игрок, который не может сделать ход проигрывает. Кто выиграет при оптимальной игре?

4. Доказать, что для любых положительных a, b, c

     _______________        ________
    /(a+b)(b+c)(c+a)       /ab+bc+ca
 3 / --------------- >= 2 / --------
 \/        8            \/      3

5. Может ли объединение двух квадратов быть двенадцатиугольником?

6. На множестве натуральных чисел определена функция f(m,n), такая что 0≤f(m,n)≤1 и f(m,n)=(f(m,n+1)+f(m+1,n))/2. Доказать, что все значения f(m,n) равны.

7. Найдите максимальное k такое, что для любых функций f(t), g(t), h(t) : [0,1] —> R существуют x, y, z из [0,1], удовлетворяющие неравенству |xyz-f(x)-g(y)-h(z)|≥k.

8. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках A', B', C'. Доказать, что произведения длин перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на стороны треугольника ABC равно произведению длин перпендикуляров, опущенных из этой же точки на стороны треугольника A'B'C'.

9. Пусть a₁, a₂, ..., a_n — натуральные числа, а f: Z —> R — функция такая, что f(x)=1 при всех целых x<0 и f(x)=1–f(x–a₁)f(x–a₂)...f(x–a_n) при всех целых x≥0. Докажите, что существуют натуральные s и t такие, что для каждого целого x>s выполнено равенство f(x+t)=f(x).

10. Сколько существует натуральных решений уравнения x²⁰⁰³+y²⁰⁰³=(x–y)²⁰⁰⁴, удовлетворяющих условию x<10²⁰⁰³?

11 класс. Лига Б.

1. В некотором обществе любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этом обществе все имеют одинаковое число знакомых.

2. В треугольнике длина высоты, опущенной на сторону a, равна h_a, а на сторону b — h_b. Докажите, что если a>b, то a+h_a > b+h_b.

3. Дано натуральное число n>1. Выпишем все дроби вида 1/pq, где p, q — взаимно простые числа, 0 < p < q <= n и p+q>n. Докажите, что их сумма равна 1/2.

4. Даны плоскость a, прямая l в плоскости a и точка A вне плоскости a. Рассмотрим ГМТ M, лежащих в плоскости a, таких, что общий перпендикуляр к прямым l и AM проходит через середину отрезка AM. Докажите, что это ГМТ — пара прямых, параллельных прямой l.

5. Для каждого натурального n решите уравнение
sin² x+sin 2x sin 4x+ sin 3x sin 9x+...+sin nx sin n²x=1.

6. Из бумаги в клеточку вырезали квадрат 8х8. Какое наибольше количество пентаминошек в виде креста можно вырезать из этого квадрыми цифрами и т. д. Докажите, что после нескольких таких операций невозможно получить пять нулей.

8. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что лучи AE и CD пересекаются в точке P, а лучи ED и BC пересекаются в точке Q так, что PQ||AB. Докажите, что AD=BD.

11 класс. Лига А.

1. H — ортоцентр неравнобедренного треугольника ABC. Пусть M — середина BC, A₁ — точка пересечения прямой AM с описанной окружностью треугольника ABC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно M. Докажите, что A₂H перпендикулярно AM.

2. В вершинах правильного 2n-угольника написаны натуральные числа, причем любые два числа, стоящие в соседних вершинах, различны. Число в вершине назовем гористым, если оно больше чисел в обеих соседних вершинах, и нористым, если оно меньше чисел в обеих соседних вершинах. Докажите, что сумма всех гористых чисел превосходит сумму всех нористых по крайней мере на n.

3. В пространстве даны 2003 точки общего положения, и два игрока по очереди соединяют их отрезками. Две еще не соединенные точки разрешается соединить, если из них в сумме выходит четное число линий. Если проведены все линии, игра заканчивается вничью, в противном случае игрок, который не может сделать ход проигрывает. Кто выиграет при оптимальной игре?

4. В треугольной пирамиде SABC каждые два противоположных ребра равны, O – центр описанной сферы. Пусть A₁, B₁, C₁ – середины ребер BCротивном случае игрок, который не может сделать ход проигрывает. Кто выиграет при оптимальной игре?

4. В треугольной пирамиде SABC каждые два противоположных ребра равны, O – центр описанной сферы. Пусть A₁, B₁, C₁ – середины ребер BC, CA и AB соответственно. Найдите радиус описанной сферы треугольной пирамиды OA₁B₁C₁, если BC=a, CA=b и AB=c.

5. Доказать, что для любых положительных a, b, c

     _______________        ________
    /(a+b)(b+c)(c+a)       /ab+bc+ca
 3 / --------------- >= 2 / --------
 \/        8            \/      3

6. Может ли объединение двух квадратов быть двенадцатиугольником?

7. На множестве натуральных чисел определена функция f(m,n), такая что 0≤f(m,n)≤1 и f(m,n)=(f(m,n+1)+f(m+1,n))/2. Доказать, что все значения f(m,n) равны.

8. Найдите максимальное k такое, что для любых функций f(t), g(t), h(t) : [0,1] —> R существуют x, y, z из [0,1], удовлетворяющие неравенству |xyz-f(x)-g(y)-h(z)|≥k.

9. Пусть a₁, a₂, ..., a_n — натуральные числа, а f: Z —> R — функция такая, что f(x)=1 при всех целых x<0 и f(x)=1–f(x–a₁)f(x–a₂)...f(x–a_n) при всех целых x≥0. Докажите, что существуют натуральные s и t такие, что для каждого целого x>s выполнено равенство f(x+t)=f(x).

10. Сколько существует натуральных решений уравнения x²⁰⁰³+y²⁰⁰³=(x–y)²⁰⁰⁴, удовлетворяющих условию x<10²⁰⁰³?