Московский турнир математических боёв

12 ноября 2000 года

Правила

(Обратите внимание на то, что они изменились по сравнению с прошлым учебным годом.)

Очередной турнир планируется провести осенью 2001/2002 учебного года.

Результаты

N п/п	Классы	Номер школы, гимназии, ...	Город	Вариант	Счёт	Капитан команды	Жюри
1	10	57	Москва	СА	36	Притыкин Юрий	Подлипский О., Челноков Г.
2	11	2	Москва	СА	22	Тищенко Сергей	Подлипский О., Челноков Г.
3	10	2	Москва	СА	16	Гонгальский Максим	Канель А. Я., Андреева А. Н., Балабанов А. И.
4	10,11	5	г. Долгопрудный	СА	29		Канель А. Я., Андреева А. Н., Балабанов А. И.
5	11	1543	Москва	СА	51	Мусатов Даниил	Кожевников П. А., Замятин В.
6	11	1511	Москва	СА	7	Съедин Юрий	Кожевников П. А., Замятин В.
7	10	1511	Москва	СБ	24	Ларионов Виталий	Волк Д., Карпов А.
8	10	218	Москва	СБ	56	Филимонов Дмитрий	Волк Д., Карпов А.
9	10	лицей	г. Фрязино	СБ	29		Кочетков К. П., Кочагин В., Горкина Т. Б.
10	10	2	Москва	СБ	65	Карапетян Нарине	Кочетков К. П., Кочагин В., Горкина Т. Б.
11	10,11	1260	Москва	СБ	38		Горчинский С., Кутузова Т.
12	10,11	Лицей посольства Франции в РФ		СБ	47,5		Горчинский С., Кутузова Т.
13	11	2	Москва	СБ	43	Каплан Станислав	Трушин Б., Иванищук А. В.
14	11	лицей	г. Фрязино	СБ	30		Трушин Б., Иванищук А. В.
15	10	1543	Москва	СБ	20	Бурилич Юрий	Галкин С., Семенов А. В.
16	10,11	1018	Москва	СБ	29		Галкин С., Семенов А. В.
17	11	1543	Москва	СБ	36	Вершинин	Ларин В., Шамсутдинов К.
18	11	1557	Москва (Зеленоград)	СБ	29		Ларин В., Шамсутдинов К.
19	8	218	Москва	МБ	51		Алферов Р., Френкин Б.Р.
20	8	лицей	г. Фрязино	МБ	39		Алферов Р., Френкин Б.Р.
21	8	444	Москва	МБ	35		Кафаров Г., Клепцин В.
22	9	1523	Москва	МБ	45		Кафаров Г., Клепцин В.
23	8	79	Москва	МБ	0		Хакимова Г., Хакимова Д.
24	9	1557	Москва	МБ	84		Хакимова Г., Хакимова Д.
25	8,9	Лицей посольства Франции в РФ		МБ	28		Сосинский А. Б., Кулакова Н.
26	9	17	Москва	МБ	28		Сосинский А. Б., Кулакова Н.
27	9	2	Москва	МА	37	Петухов Алексей	Богданов
28	9	91	Москва	МА	21	Татузов Алексей	Богданов
29	8	2	Москва	МА	72	Сальников Николай	Заславский
30	8	5	г. Долгопрудный	МА	6	Стариковская Таня	Заславский
31	9	2	Москва	МА	37	Коваль Дмитрий	Коровин, Сысоева
32	9	муниципальная гимназия	г. Раменское	МА	54	Капустюк Павел	Коровин, Сысоева
33	9	5	г. Долгопрудный	МА	41 *	Нелюбина Наташа	Гладкова, Князев
34	9	1543	Москва	МА	42 *	Колодкина Наталья	Гладкова, Князев
35	8	муниципальная гимназия	г. Раменское	МА	14	Савченко Руслан	Иванова, Захарова
36	8	1543	Москва	МА	41	Миронов Павел	Иванова, Захарова
37	8	2	Москва	МБ	44	Сарычев Иван	Гуровиц, Денисова
38	8,9	870	Москва	МБ	34	Королев Константин	Гуровиц, Денисова
39	9	1101	Москва	МБ МА	90 **	Николаев Александр	Максимов, Федотова
40	9	2	Москва	МБ МА	28 **	Эйделанд Павел	Максимов, Федотова
41	8	2	Москва	МБ	52	Лущенко Никита	Хачатурян, Пронина
42	8	1018	Москва	МБ	32	Олейниченко Евгений	Хачатурян, Пронина
43	7	5	г. Долгопрудный	7 КЛ	35	Козлов Илья	Мазин М., Кондаков Г., Ройзнер Ю.
44	7	МММФ ауд. 1403	Москва	7 КЛ	38	Москва Владимир	Мазин М., Кондаков Г., Ройзнер Ю.
45	7	1101	Москва	7 КЛ	27	Поляковский Илья	Блинков Ю. А., Тен А. С.
46	7	МММФ	Москва	7 КЛ	32	Стрелков Сергей	Блинков Ю. А., Тен А. С.
47	7	218	Москва	7 КЛ	18	Цепелева Анна	Ройзнер Ю., Левицкий А.
48	7	МММФ	Москва	7 КЛ	67	Петров Андрей	Ройзнер Ю., Левицкий А.
49	7	218	Москва	7 КЛ	24	Харитонова Елена	Трушков В., Зуев А.
50	7	1018	Москва	7 КЛ	10	Мазинина Анна	Трушков В., Зуев А.
51	7	49	Москва	7 КЛ	39	Загрядский Олег	Спивак А, Каратассо Ю.
52	7	57	Москва	7 КЛ	37	Кондакова А.	Спивак А, Каратассо Ю.

* - жюри допустило ошибку при начислениии балов при проверке корректности вызова.
** - командам по ошибке были выданы разные варианты.

10-11 классы. Вариант А

1. Найдите все квадратные трехчлены P(x) с таким свойством: если натуральное число x записывается одними единицами, то и P(x) - натуральное число, которое записывается одними единицами.

2. Английские шашки отличаются от русских тем, что дамка может ходить по диагоналям в любую сторону, но только на одну клетку. Пусть у обоих противников осталось лишь по одной дамке. Как закончится игра? Может ли она продолжаться бесконечно?

3. Дано (p-1) натуральных чисел, не делящихся на простое число p (p>2). Докажите, что между ними можно расставить знаки + и - так, что полученная алгебраическая сумма будет делиться на p.

4. Отрезки AB, CD, EF пересекаются в одной точке. Точка E принадлежит отрезку AC, а точка F - отрезку BD. Докажите, что EF не длиннее хотя бы одного из отрезков AB и CD.

5. Докажите трехмерную теорему косинусов: квадрат площади основания тетраэдра равен сумме квадратов площадей боковых граней минус сумма удвоенных попарных произведений площадей боковых граней на косинусы углов между ними.

6. Найдите все a, для которых существуют неотрицательные x₁, ..., x_n такие, что
S kx_k=a, S k³x_k=a², S k⁵x_k=a³.

7. Квадрат со стороной 1 разбит на 100000 квадратиков. Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающих главную диагональ, быть больше 2000?

8. Дано (3ⁿ-1)/2 монет, из которых одна фальшивая. Остальные монеты одинаковы по весу, а фальшивая отличается. Докажите, что фальшивую монету можно найти n взвешиваниями на весах без гирь. (Не требуется определять, легче или тяжелее фальшивая монета, чем остальные.)

9. В таблице 20*20 расставлены числа +1, -1 и 0, причем сумма всех чисел равна 0. Докажите, что найдутся такие две строки и два столбца, что сумма четырех чисел в их пересечении равна 0.

10. Пусть k - натуральное число, p - простой делитель числа k²+1. Докажите, что

| p-1 |

S cos(2pn²/p) = p^1/2

n=0

10-11 классы. Вариант Б

1. Из квадрата 7*7 вырезали одну клетку. Всегда ли оставшуюся часть можно разрезать на один прямоугольник 1*3 и несколько уголков из трех клеток?

2. Дома Винни-Пуха и восьми его друзей расположены в вершинах выпуклого многоугольника. Дальше всех от дома Винни-Пуха живет Кролик - до его дома 750 метров. Может ли Винни-Пух обойти всех своих друзей и вернуться домой, пройдя при этом менее 4 км?

3. На всемирном фестивале военно-морской песни делегация каждой страны должна была исполнить три песни. Каждая делегация, дождавшись своей очереди и исполнив свои три песни, уезжает с фестиваля. Организаторы обнаружили, что каждая из песен оскорбительна для одной из стран-участниц фестиваля. Докажите, что можно так установить порядок исполнения, чтобы ни одной делегации не пришлось выслушивать более трех оскорбительных для нее песен.

4. Существует ли квадратный трехчлен P(x) с таким свойством: если натуральное число x записывается одними единицами, то и P(x) - натуральное число, которое записывается одними единицами.

5. Шахматная фигура "черепаха" может ходить на одну клетку по горизонтали и по вертикали. На шахматной доске стоят черная и белая черепахи. Они ходят по очереди (начинает белая). Побеждает та, которая съест другую. Как закончится игра? Может ли она продолжаться бесконечно?

6. Дано, что sin(2001x)=a. Какое максимальное число значений может принимать sin x ?

7. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются его сторон в точках A', B', C'. Точка A лежит на окружности, описанной около треугольника A'B'C'. Докажите, что вторая точка пересечения этой окружности со стороной BC является основанием высоты, опущенной на эту сторону.

8. Докажите, что число 2^2²⁰⁰⁰-1 имеет не менее 2000 различных простых делителей.

Примечание: некоторые браузеры некорректно отображают индексы к индексам. В этом случае задачу можно сформулировать так:

Докажите, что число 2ⁿ-1, где n=2²⁰⁰⁰, имеет не менее 2000 различных простых делителей.

9. На плоскости отмечено 100 различных точек. Всегда ли можно разбить их на пары и соединить точки в парах отрезками, чтобы любые два отрезка пересекались?

10. Найдите объем тела, состоящего из всех точек, расстояние которых от поверхности единичного куба не превосходит 1.

8-9 классы. Вариант А

1. Многоугольник разрезали на части и сложили выпуклую фигуру. Докажите, что получился многоугольник. (Все разрезы - прямолинейные отрезки или дуги окружностей.)

2. Каждые два из n городов соединены прямым авиационным или железнодорожным сообщением. Из каждого города можно и улететь на самолете, и выехать на поезде. Докажите, что найдется четыре города A, B, C, D таких, что A с B и C с D соединены авиарейсами, а B с C и D с A - поездами.

3. Из четырех отрезков различной длины составляются трапеции. Какое наибольшее число неравных трапеций может получиться?

4. В треугольнике ABC на медиане BM взяли точку D и построили треугольник CDE, в котором DE||AB, CE||BM. Докажите, что AD=BE.

5. Имеются бриллианты общей стоимостью в миллион долларов. Известно, что их можно разделить на 5 групп, равных по стоимости. Их можно разделить и на 8 таких групп. Какова наибольшая возможная стоимость самого маленького бриллианта?

6. Последнюю цифру натурального числа переставили в начало, и оно увеличилось в три раза. Найдите все такие числа.

7. На всемирном фестивале военно-морской песни делегация каждой страны, дождавшись своей очереди и исполнив три песни, уезжает с фестиваля. Оказалось, что каждая из песен оскорбительна для одной из стран. Докажите, что можно так установить порядок исполнения, чтобы ни одной делегации не пришлось выслушивать более трех оскорбительных для нее песен.

8. Докажите, что если
0 < x₁, ..., x₂₀₀₁ < p/2,
sin x₁ = cos x₂, sin x₂ = cos x₃, ..., sin x₂₀₀₁ = cos x₁,
то x₁=x₂=...=x₂₀₀₁.

9. Дана куча из 2000 камней. Первый игрок делит ее на две кучи (в каждой - хотя бы по одному камню). Затем второй игрок делит на две каждую из полученных куч, если только она содержит более одного камня, и т.д. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто побеждает при правильной игре?

10. Дан квадратный трехчлен с целыми коэффициентами P(x). Докажите, что существует такое натуральное k, что при любом натуральном x среди чисел P(x), ..., P(x+k) есть составные.

8-9 классы. Вариант Б

1. На шахматной доске 8*8 стоят ладьи - по одной на каждой вертикали и каждой горизонтали. Доску разбили на 4 равных квадрата. Докажите, что число ладей в правом верхнем квадрате равно числу ладей в левом нижнем квадрате.

2. В АО "Елки-палки" 2000 акционеров, причем любые 1111 из них имеют контрольный пакет (не менее 50 процентов акций). Какова наибольшая возможная доля одного акционера?

3. Вася отметил на плоскости точку симпатическими чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить на плоскости прямую и узнать у Васи, по какую сторону от прямой находится точка. Сколько вопросов ему потребуется, чтобы узнать, находится точка внутри квадрата или вне его?

4. В ряд посажено 21 дерево, среди которых есть дубы. К каждому дереву прибита табличка, на которой указано количество дубов среди следующих деревьев: дерева, на котором висит табличка, и его соседей. Можно ли по числам на табличках определить, какие из деревьев - дубы?

5. Дана полоска 1*20, на крайних клетках которой стоят черный и белый шахматные короли. Они ходят по очереди (начинает белый). Проигрывает тот, кто вынужден стать рядом с другим королем. Кто выиграет при правильной игре?

6. Сколько корней имеет уравнение

|||||x|-1|-2|-4|-8|=0 ?

7. Докажите, что если x²+y² делится на x+y, то и x⁴+y⁴ делится на x+y (естественно, x и y - натуральные числа).

8. Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки H и K соответственно так, что KA=AB и HC=CB. Докажите, что треугольник KDH - равнобедренный.

7 классы.

1. Вася и Петя играют в следующую игру. Сначала имеется число 1. Первым ходом его можно умножить на любое число от 2 до 9 включительно. Следующим ходом получившееся число умножается на любое число от 2 до 9, и т. д. Ходы делаются по очереди. Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000. Начинает Вася. Кто выиграет при правильной игре?

2. На столе стоят девять сосудов с водой. Вместимость каждого из сосудов достаточно велика. За один "шаг" можно из любого сосуда перелить в любой другой сосуд столько воды, сколько во втором уже имеется, если в первом сосуде для этого хватает воды. Можно ли за какое-то количество "шагов" перелить воду из всех сосудов в один, если первоначально в каждом сосуде было по 2 литра воды?

3. Вася отметил на плоскости точку симпатическими чернилами и начертил квадрат обычными чернилами. Петя видит квадрат, но не видит точку. Он может начертить на плоскости прямую и узнать у Васи, по какую сторону от нее находится точка. Какое наименьшее количество вопросов он должен задать Васе, чтобы узнать, находится точка внутри квадрата или вне его?

4. Какие числа можно поставить вместо знака * в текст задачи: "На плоскости даны n различных прямых, пересекающиеся в * точках. Найдите значение n.", чтобы эта задача имела единственное решение?

5. Сколько существует натуральных трехзначных чисел, в десятичной записи которых ровно две цифры равны между собой?

6. На планете "Куб" (имеющей форму куба) каждой гранью владеет рыцарь (который всегда говорит правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый из них утверждает, что большая часть его соседей - лжецы. Сколько рыцарей и сколько лжецов владеют гранями планеты?

7. На плацу стоит шеренга солдат. Если из шеренги выйдет каждый третий, а затем - каждый пятый из оставшихся, то в ней останется на одного солдата меньше, чем, если сначала выйдет каждый пятый, а потом - каждый третий из оставшихся. Сколько солдат могло стоять в шеренге?

8. В восьми вазах лежат конфеты: в первой - одна, во второй - две, в третьей - три, ..., в восьмой - восемь конфет. Маша съедает каждый день ровно k конфет (k - натуральное число), причем из каждой вазы берет не более одной конфеты. Найдите все значения k, при которых Маша сможет съесть все конфеты.