Очередной турнир состоится в воскресенье 17.11.2002.
Заявки на участие (подробности смотрите здесь)
принимаются от всех желающих с 25.10.2002 по 11.11.2002.
| Счёт | Вариант | Команда из школы ... | Капитан команды | Жюри |
| 26 | 10-11А | 2 | Лущенко Никита | Богданов И. И., Кудряшов Ю. Г. |
| 41 | 1543 | Колодкина Наталья | ||
| 58 | 10-11А | 2 | Петухов Алексей | Заславский А. А., Игнатенков Е. |
| 48 | 57 | Горин Вадим | ||
| 2 | 10-11А | 1511 | Кушкиров Юрий | Каленков М. П., Френкин Б. Р. |
| 34 | 2 | Басов Андрей | ||
| 5 | 10-11А | СУНЦ | Прохоров Роман | Миронов Д. В., Митричев П. И., Акопян А. В. |
| 15 | 1543 | Назарова Марфа | ||
| 3 | 10-11А | 1543 | Коноков Андрей | Берштейн М., Пономарёва Н. |
| 42 | СУНЦ | Лахно Алексей | ||
| 52 | 11Б | 1101 | Ендураев П. | Рыжов А. Б., Марачёв А. А., Гончарук Л. В. |
| 2 | 1018 | Эседулаев Р. | ||
| 67 | 11Б | 1514 | Исаков | Ширстова, Кораблёва |
| 50 | 91 | Власов Алексей | ||
| 76 | 11Б | 1514 | Кикоть Ирина | Князева М. Л., Караваева Т. В., Федюкин Ю. Ю. |
| 10 | 1511 | Моякин Александр | ||
| 16 | 10Б | 218 | Куртов Михаил | Бычкова Л. О., Мусина Д. Ш., Ярцева Д. А. |
| 40 | 1018 | Олейниченко Евгений | ||
| 80 | 10Б | 1514 | Муратов Саша | Чеботарёв А. С., Желтов П., Кузнецов Д. Г. |
| 16 | 1511 | Голышев Михаил | ||
| 30 | 10Б | 2 | Мадаминов Сергей | Горская О. Р., Обижаева О., Боков М. |
| 79 | 82 | Кришеник Андрей | ||
| 58 | 10Б | 1101 | Смирнов В. | Семёнов А. В., Подгорбунский А. В., Гамазин А. Б. |
| 30 | лицей г. Фрязино | Золотных Павел | ||
| 27 | 10Б | 1543 | Скундин Матвей | Беленькая А. Л., Огольцов К. Н., Окулова Н. Н. |
| 86 | СУНЦ | Сидоров Алексей | ||
| 23 | 9А | сборная | Чмутин Иван | Спивак А.В., Трепалина Е.П., Колюцкий Г.А. |
| 46 | 1543 | Петров Андрей | ||
| 6 | 9А | 1543 | Овсянникова Екатерина | Трушков В.В., Смирнова О.Е., Пальвелев Р.В. |
| 47 | 2 | Осиненко Антон | ||
| 69 | 9А | 82 | Трепалин Андрей | Блинков Ю.А., Коршунов К.С., Зарецкий И.Ю. |
| 0 | 91 | Житлухин Михаил | ||
| 10 | 9А | 1543 | Федченков Петр | Шангереев М.Д., Мазин М.В., Клюка А. |
| 42 | 218 | Гусаков Алексей | ||
| 0 | 9А | 91 | Уланов Вадим | Хачатурян А.В., Алексеев Р.О., Гельфер Е.Г. |
| 63 | 2 | Челноков Георгий | ||
| 24 | 9А | 218 | Зыков Анатолий | Мусатов Д.В., Головко Л.Н., Алексеев И.А. |
| 27 | 1514 | Гайдуков Дмитрий | ||
| 47 | 9А | 2 | Сорокоумов Антон | Гуровиц В.М., Иофик В.Ю., Суханова Е.С. |
| 25 | 1101 | Милехин Олег | ||
| 24 | 9Б | 2 | Сметанина Евгения | Григоренко Д.А., Вакулюк В.В., Ройзнер Ю.А. |
| 40 | 1543 | Чумаченко Дмитрий | ||
| 15 | 9Б | 2 | Никитин Денис | Лобова О.М., Волков В.А., Савченко А.В. |
| 41 | 1514 | Нагапетян Тигран | ||
| 11 | 9Б | 218 | Щетинин Алексей | Барский Е.Я., Хинцицкий И.П., Левицкий А.Д. |
| 33 | 1101 | Польский Алексей | ||
| 39 | 9Б | 1525 | Родин Евгений | Кулыгин А.К., Жарков А.В., Гаас В.В. |
| 23 | 13 | Шаповалов Иван | ||
| -1 | 9Б | 1018 | Глебова Светлана | Нетрусова Н.М., Шлюпиков А.В., Фирсова Т. |
| 36 | 1554 | Аксенов Сергей | ||
| 74 | 8А | 2 | Захаров Александр | Илларионова О. В., Быстриков А. С., Кириенко Д. П. |
| 4 | 1543 | Печенежский Константин | ||
| 0 | 8А | 1101 | Соболева Алёна | Крыжановская Н. Ю., Тимашов А. К. |
| 66 | 2 | Гусева Юлия | ||
| 0 | 8А | 1543 | Шаров Александр | Трушин Б. В., Ахунжанов Р. К., Рычёв В. М. |
| 80 | 2 | Буфетов Алёша | ||
| 37 | 8А | 5 Долгопрудный | Лихогруд Р. | Раскина И. В., Гуров Н. Д., Корицкая Е. В. |
| 18 | 2 | Ванькаев | ||
| 33 | 8Б | 82 Черноголовка | Ягремцев Алексей | Иванова Е. Ю., Карпов А. Н., Шарич В. |
| 28 | Лицей Фрязино | Фомин Артём | ||
| 33 | 8Б | 218 | Дубровский М. | Гонгальский М. Б., Дудченко Н. М., Петрунин М. М. |
| 12 | 1 Фрязино | Дудинов Иван | ||
| 18 | 8Б | 1101 | Волгин Артём | Ковальджи А. К., Козеренко К. В. |
| 15 | 1554 | Некрасов Виталий | ||
| 67 | 8Б | 1514 | Медянкин Н. | Знаменский О. И., Самарин Г. А., Тарарухин Д. И. |
| 37 | 2 | Мамаев | ||
| 74 | 8Б | 654 | Логинов Павел | Вытнова П. Л., Волынин Д. Н., Копьёв Д. В. |
| 12 | 1101 | Белоусов Андрей | ||
| 17 | 8Б | 1018 | Сергиевский Дмитрий | Рыжов Д. А., Феоктисов В. В. |
| 52 | 2 (7 кл.) | Илюхина Мария | ||
| 8 | 8Б | 1018 | Витовщик Надежда | Бунин С. В., Конев Р. А., Балабанов А. И. |
| 64 | 463 | Анохина Саша |
1. В таблице n*n расставлены числа так, что все строки таблицы различны. Доказать, что можно вычеркнуть один из столбцов так, что в полученной таблице n*(n-1) все строки также будут различны.
2. В тетраэдре ABCD двугранный угол при ребре AB равен двугранному углу при ребре CD, двугранный угол при ребре BC равен двугранному углу при ребре AD. Доказать, что SABC=SADC.
3. Внутри куба со стороной 1 расположено несколько треугольников суммарной площади 13. Докажите, что найдется прямая, пересекающая хотя бы 5 из этих треугольников.
4. Выпуклый шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Доказать, что его диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AB*CD*EF=BC*DE*FA.
5. Даны вещественные числа
a1, a2, a3, a4.
Докажите, что существуют вещественные
b1, b2, b3, b4
что ai-bi - целые числа и
(b1-b2)2+(b1-b3)2+(b1-b4)2+(b2-b3)2+(b2-b4)2+(b3-b4)2<5/4.
6. Круглое ожерелье составлено из 2003 бусинок, окрашенных в два цвета. Два участка идущих подряд бусинок считаются одинаковыми, если они содержат одинаковое число бусинок и порядок следования цветов в направлении часовой стрелки одинаков. Докажите, что нить можно разрезать так, что любые два непересекающихся участка, примыкающие к разрезу с разных сторон, будут различны.
7. На бесконечном листе клетчатой бумаги некоторые стороны клеток окрашены, так что по окрашенным отрезкам можно пройти из любого узла в любой и причем единственным способом. Доказать, что найдутся два соседних узла, длина окрашенного пути между которыми больше 1000.
8. Найдите все операции o, определенные на
множестве действительных чисел, такие, что для любых действительных
x, y, z
1) (x+y)(xoy)=x2oy2;
2) xoy=(x+z)o(y+z);
3) 1o0=1.
9. Натуральные числа a и b удовлетворяют соотношению
aa...a | } | m | = bb...b | } | n |
10. "Пополамер" позволяет через данную точку плоскости провести какую-то прямую, делящую площадь данной выпуклой фигуры пополам. Можно ли с помощью пополамера, циркуля и линейки разделить данный угол на три равные части?
1. При каких натуральных числах A, B, C
AB+C,
BC+A,
CA+B - простые числа?
2. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Известно,что AD=BC, а все плоские углы при вершине D равны между собой.Чему могут быть равны эти углы?
3. Найдите все острые углы a, для которых
sin(sina + a) = cos(cosa - a).
4. Найдите все такие функции f(x), что при всех
x и y выполнено:
f(x)*f(y)=f(x-y).
5. На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Если их сумма делится на 3, побеждает тот, кто делал первый ход, если нет - его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
6. Из A в B с небольшими интервалами выехали 7 велосипедистов. У одного из них была фляжка с водой. Время от времени кто-нибудь из них обгоняет другого, и, если у одного из них есть фляжка, тот обязательно передает ее другому. Какое наименьшее число обгонов (как с передачей фляжки, так и без) могло произойти, если известно, что фляжка по дороге побывала у всех и другим способом она не передавалась?
7. На какое наименьшее число тетраэдров можно разрезать куб?
8. Докажите, что если стороны треугольника a, b,
c связаны соотношением
a<(b+c)/2,
то противолежащие им углы связаны неравенством
a<(b+g)/2,
9. В мешке лежат n шаров с написанными на них натуральными числами. Математик задумал число s<n. Какое наименьшее число шаров он должен вытащить наудачу из мешка, чтобы либо одно, либо сумма нескольких чисел на них делилась на s? (Математик не знает, какие числа написаны на шарах.)
10. Найдите внутри треугольника точку, для которой произведение расстояний от нее до прямых, содержащих стороны треугольника, наибольшее.
1. При каких натуральных числах A, B, C
AB+C,
BC+A,
CA+B - простые числа?
2. Чему может равняться угол B в треугольнике ABC, если расстояние между основаниями высот, опущенных из вершин A и C, равно половине радиуса описанной около треугольника ABC окружности?
3. Лист клетчатой бумаги размером 5*n заполнен карточками 1*2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа +1 и -1. Известно, что произведения чисел в каждой строке и в каждом столбце образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?
4. Найдите все такие функции f(x), что при всех
x и y выполнено:
f(x)*f(y)=f(x-y).
5. На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Если их сумма делится на 3, побеждает тот, кто делал первый ход, если нет - его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре?
6. Из A в B с небольшими интервалами выехали 7 велосипедистов. У одного из них была фляжка с водой. Время от времени кто-нибудь из них обгоняет другого, и, если у одного из них есть фляжка, тот обязательно передает ее другому. Какое наименьшее число обгонов (как с передачей фляжки, так и без) могло произойти, если известно, что фляжка по дороге побывала у всех и другим способом она не передавалась?
7. Точечный прожектор освещает угол 45o. Какое наименьшее количество прожекторов можно поставить внутри квадратной площадки так, чтобы полностью ее осветить?
8. P(x) - приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что P(0) нечетно и P(1) нечетно. Может ли P(x) иметь рациональный корень?
9. Каждая точка плоскости покрашена в один из 4 фиксированных цветов, причём имеются 4 точки - все разного цвета. Обязательно ли на плоскости найдётся прямая, на которой имеются точки не менее, чем 3 цветов.
10. Найдите внутри треугольника точку, для которой произведение расстояний от нее до прямых, содержащих стороны треугольника, наибольшее.
1. Разложение числа n в сумму натуральных слагаемых назовём правильным, если всякое число от 1 до n-1 можно получить вычёркиванием из этой суммы части слагаемых, причём единственным образом. (Например, 1+1+...+1, 1+1+...+1+13 и 1+2+...+2 - правильные разложения числа 25.) Сколько правильных разложений у числа 1000?
2. На биссектрисе угла A треугольника ABC отмечены точки K и L так, что /ABK=/ACL=90o. Докажите, что середина отрезка KL равноудалена от точек B и C.
3. Докажите для любых натуральных чисел a, b и
c равенство
(НОД(a,b)/c)+((a-1)/c)*(b/c)+(a/c)*((b-1)/c)=
=((НОД(a,b)-1)/c)+(a/c)*(b/c)+((a-1)/c)*((b-1)/c).
4. Существует ли непрямоугольный неравнобедренный треугольник, длины всех сторон и высот которого целые?
5. Натуральные числа a, b, c таковы, что (1/a)+(1/b)+(1/c)<1. Докажите, что (1/a)+(1/b)+(1/c)<41/42.
6. В окружности проведено 100 хорд, из которых любые две имеют одну общую точку (то есть имеют общий конец или пересекаются внутри круга). Всегда ли можно провести ещё одну хорду так, чтобы она имела общую точку со всеми ними?
7. При каких натуральных n числа 1, 2, 3, ..., n2 можно расположить в виде квадратной таблицы n*n так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы?
8. Точка P лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что хотя бы один из отрезков PА, PВ и PС не длиннее радиуса описанной окружности треугольника АВС.
1. Натуральные числа a, b, c таковы, что (1/a)+(1/b)+(1/c)<1. Докажите, что (1/a)+(1/b)+(1/c)<41/42.
2. В окружности проведено 100 хорд, любые две из которых пересекаются внутри круга. Всегда ли можно провести ещё одну хорду так, чтобы она пересекалась со всеми ними?
3. У Ани есть больше половины марок, которые есть у Бори. У Бори есть больше половины марок, котороые есть у Вовы. У Вовы есть больше половины марок, котороые есть у Ани. Верно ли, что некоторая марка есть у всех троих?
4. Пусть ABCD - вписанный четырёхугольник. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники ABD, ABC, BCD и ACD, являются вершинами прямоугольника.
5. На доске нарисованы 10 крестиков и 15 ноликов. Разрешено стереть любые два значка и нарисовать вместо них крестик, если значки были одинаковы, и нолик, если разные. Какой знак окажется на доске после 24 таких операций?
6. На плоскости расположено несколько прямых, любые две из которых пересекаются. Докажите, что если через любую точку пересечения проходят не менее чем три данные прямые, то все прямые проходят через одну точку.
7. В 12-дневном походе участвовали 9 человек. Дежурили по трое. Каждый раз дежурные ссорились и отказывались впредь дежурить с теми, с кем уже дежурили. Тем не менее участники похода вспоминают, что все 12 дней удавалось назначать дежурных. Не лукавят ли они?
8. На биссектрисе угла A треугольника ABC отмечены точки K и L так, что /ABK=/ACL=90o. Докажите, что середина отрезка KL равноудалена от точек B и C.
1. Существуют ли целые числа а, b, c, d такие, что
| { | abcd-a=11...1 (число из 2001 единицы) |
| abcd-b=11...1 (число из 2000 единиц) | |
| abcd-c=11...1 (число из 1999 единиц) | |
| abcd-d=11...1 (число из 1998 единиц) |
2. В матбое участвовали три команды. Перед боем Ваня перешел из первой команды во вторую, Петя - из второй команды в третью, а Коля - из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй - увеличился на две недели, а третьей - уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?
3. Существует ли выпуклый четырехугольник с равными диагоналями такой, что серединный перпендикуляр к любой его стороне не пересекает противоположную сторону?
4. В квадратную таблицу 2001*2001 вписаны числа, равные +1 или -1. Произведение всех чисел, стоящих в первом столбце, обозначим через а1, во втором столбце - через а2 и т.д., произведение всех чисел, стоящих в первой строке, обозначим через b1, во второй строке - через b2 и т.д. Докажите, что сумма всех этих чисел (a1 + a2 + ... + b1 + b1 + ... ) не может равняться нулю.
5. Положительные числа a, b и c таковы,
что a>b>c и
a+b+c<1.
Докажите, что
a2+3b2+5c2<1
6. В группе из нескольких человек некоторые люди знакомы друг с другом, а некоторые нет. Каждый вечер один из них устраивает ужин для всех своих знакомых, на котором знакомит их друг с другом. После того, как каждый человек устроил хотя бы по одному ужину, оказалось, что какие-то два человека все еще не знакомы. Докажите, что они не познакомятся и на следующем ужине.
7. В странах Диллии и Таннии денежными единицами являются диллеры и таннеры соответственно, причем в Диллии диллер меняется на 10 таннеров, а в Таннии таннер меняется на 10 диллеров. Начинающий финансист имеет один диллер и может свободно переезжать из одной страны в другую и менять свои деньги в обеих странах. Может ли через некоторое время количество таннеров у него стать равным количеству диллеров?
8. В выпуклом четырехугольнике три стороны равны, а на середине четвертой взята точка М. Оказалось, что из этой точки противоположная сторона видна под прямым углом. Найдите угол между диагоналями этого четырехугольника.
1. Пол комнаты размером 5*5 м замостили плитками размером 5*20 см, границы которых параллельны стенам. Все щели между плитками и между стенами и плитками нужно обработать. Какова общая длина щелей? (Плитки могут граничить разными по длине сторонами.)
2. В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них найдутся два друга. Докажите, что есть ученик, у которого в этом классе не меньше 12 друзей. (Если А дружит с В, а В дружит с С, то А и С могут не дружить.)
3. Грани кубика Рубика поворачивают в некотором порядке. Докажите, что, повторяя эту последовательность поворотов, мы рано или поздно вернемся к исходному состоянию кубика.
4. В прямоугольный треугольник вписан прямоугольник с общим прямым углом. Докажите, что площадь прямоугольника не превосходит половины площади треугольника.
5. В матбое участвовали три команды. Перед боем Ваня перешел из первой команды во вторую, Петя - из второй команды в третью, а Коля - из третьей команды в первую. После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй - увеличился на две недели, а третьей - уменьшился на 4 недели. Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков. Сколько игроков в третьей команде?
6. В равностороннем треугольнике АВС из точки О на основании ВС опущены перпендикуляры ОК (на АВ) и ОМ (на АС), D - середина BC. Докажите, что периметр четырехугольника АМОК равен периметру треугольника ACD.
7. В ряд выложены несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что среди лежащих рядом фруктов встречаются все возможные пары (яблоко - мандарин, мандарин - яблоко, яблоко - груша и т.д.). Какое наименьшее количество фруктов может быть на столе?
8. Замкнутую ломаную разрезали по вершинам на отрезки. Затем в произвольном порядке соединили отрезки в цепочку. Всегда ли из этой цепочки можно получить замкнутую ломаную?
9. В турнире участвовали 10 боксеров. Каждый провел с каждым один бой. Оказалось, что все, кроме Бори, выиграли одинаковое число боёв. Докажите, что Боря либо у всех выиграл, либо всем проиграл.
10. Дан клетчатый прямоугольник 10*11. Какое наибольшее число
клеток может пересечь (по внутренним точкам) прямая линия?