1. В клетке a1 (в углу шахматной доски) стоит конь. Два игрока поочередно закрашивают по одной клетке доски, отличной от a1. При этом после каждого хода должен существовать маршрут коня в любую из незакрашенных клеток, не проходящий через закрашенные. Игрок, который не может сделать хода, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?
2. В некоторых клетках таблицы n x n стоят звездочки. Известно, что если вычеркнуть любые k строк (k=0,1,...,n-1), то найдется столбец ровно с одной невычеркнутой звездочкой. Докажите, что если вычеркнуть любые k < n столбцов, то найдется строка ровно с одной невычеркнутой звездочкой.
3. В треугольнике ABC сторона AB равна полусумме двух других. Докажите, что угол OIC прямой (O, I - центры описанной и вписанной окружностей ABC).
4. Выпуклый многогранник W обладает следующими свойствами:
а) у него есть центр симметрии;
б) сечение многогранника W плоскостью, проходящей через центр симметрии и
любое ребро, имеет вид четырёхугольника;
в) существует вершина многогранника W, принадлежащая ровно трём рёбрам.
Докажите, что W - параллелепипед.
5. Дана окружность O1, точка A внутри и точка B вне ее. Постройте окружность, проходящую через A и B и в пересечении с O1 дающую хорду наименьшей длины.
6. Найти все такие пары натуральных чисел (a,b), что оба уравнения x2+ax+b=0 и x2+bx+a=0 имеют целые корни.
7. Решите в натуральных числах уравнение (2x-1)(2y-1)(2z-1)=2t-1, где x<= y<= z.
8. Числа a, b, c удовлетворяют соотношению a/(m+2)+b/(m+1)+c/(m)=0, где m>0. Докажите, что уравнение ax2+bx+c=0 имеет корень на отрезке (0,1).
1. Рассматриваются квадратные трехчлены вида x2+px+q с целыми коэффициентами, при этом p+q=30.Сколько таких трехчленов имеют целые корни?
2. Доказать для любых a, b, c: cos(a)sin(b)+cos(b)sin(c)+ cos(c)sin(a)<= 1,5.
3.Какова минимальная ширина бесконечной полосы,из которой можно вырезать любой треугольник площади S?
4. На доске выписаны натуральные числа от 1 до 17 включительно. Двое по очереди вычеркивают каждый по 3 любых числа, пока не останется 2 числа.Выигрыш первого - модуль разности этих чисел.Какого максимального выигрыша может добиться первый при любой игре второго?
5. В выпуклом четырехугольнике длины сторон не больше 7. Всегда ли 4 круга радиуса 5 с центрами в его вершинах полностью покрывают четырехугольник?
6. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым две партии: одну белыми фигурами, другую - черными. По окончании турнира оказалось, что все участники набрали одинаковое количество очков (за победу дается 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0 очков). Докажите, что найдутся два участника, выигравшие одинаковое число партий белыми.
7. У куба отметили все вершины и центры всех граней (всего 14 точек). Оказалось,что расстояние от любой из этих точек до некоторой плоскости принимает лищь два различных значения, меньшее из которых равно 1. Найдите длину ребра куба.
8.На шахматной доске n x n клеток в клетке, соседней с угловой, стоит фишка. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?
1. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на биссектрисе угла E.
2. Дан треугольник ABC. Через точку P проведены три прямые, перпендикулярные соответственно прямым AC, BC и прямой, содержащей медиану CE. Пусть эти прямые пересекают высоту CD в точках K, L, M соответственно. Докажите, что KM=LM.
3. Известно, что три из шести чисел a, b, c, d, e, f равны 1, а остальные три равны 0. Разрешается написать список из четырёх вопросов типа: "Чему равна сумма таких-то чисел?" (список может содержать любой набор вопросов, вопрос может содержать любой набор неповторяющихся слагаемых). Составьте этот список так, чтобы, получив ответы на все входящие в него вопосы, однозначно определить все числа.
4. Можно ли так расставить шахматных коней на бесконечной клетчатой доске, чтобы любые две соседние клетки находились под боем различного числа коней? (Соседними называются клетки, имеющие одну или две общих вершины.)
5. Назовём дробь помехоустойчивой, если её числитель и знаменатель - двузначные числа, и если у этих чисел стереть первые цифры, то получится дробь, равная исходной. Докажите, что если у помехоустойчивой дроби поменять местами цифру единиц числителя и цифру десятков знаменателя, то получившаяся дробь также будет помехоустойчивой.
6. Незнайка отметил на плоскости n точек и утверждает, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. При каком наименьшем n он может быть прав?
7. Первый член последовательности ak равен 1, остальные вычисляются по правилу: ak+1=ak+1/ak. Докажите, что a100 > 14.
8. Число 1979 нужно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых делится на n, но не делится на n+1, а другое делится на n+1 но не делится на n. При каком наименьшем n это невозможно?
1. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на биссектрисе угла E.
2. Дан треугольник ABC. Через точку P проведены три прямые, перпендикулярные соответственно прямым AC, BC и прямой, содержащей медиану CE. Пусть эти прямые пересекают высоту CD в точках K, L, M соответственно. Докажите, что KM=LM.
3. Известно, что три из шести чисел a, b, c, d, e, f равны 1, а остальные три равны 0. Разрешается написать список из четырёх вопросов типа: "Чему равна сумма таких-то чисел?" (список может содержать любой набор вопросов, вопрос может содержать любой набор неповторяющихся слагаемых). Можно ли составить этот список так, чтобы, получив ответы на все входящие в него вопосы, однозначно определить все числа?
4. Можно ли так расставить шахматных коней на бесконечной клетчатой доске, чтобы любые две соседние клетки находились под боем различного числа коней? (Соседними называются клетки, имеющие одну или две общих вершины.)
5. Назовём дробь помехоустойчивой, если её числитель и знаменатель - двузначные числа, и если у этих чисел стереть первые цифры, то получится дробь, равная исходной. Докажите, что если у помехоустойчивой дроби поменять местами цифру единиц числителя и цифру десятков знаменателя, то получившаяся дробь также будет помехоустойчивой.
6. Незнайка отметил на плоскости n точек и утверждает, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. При каком наименьшем n он может быть прав?
7. Трое ребят играли в слова. Каждый составил по 10 слов. Если слово есть у всех, оно вычеркивается, если ровно у двоих - оба получают по одному очку, за остальные свои слова каждый получает по три очка. В итоге все трое набрали разное количество очков, меньше всех - 19 очков - набрал Кузя. По сколько очков набрали остальные игроки?
8. Число 599 нужно представить в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых делится на n, но не делится на n+1, а другое делится на n+1 но не делится на n. При каком наименьшем n это невозможно?
1. Шесть точек расположены на плоскости так, любые три из них служат вершинами треугольника со сторонами различной длины. Доказать, что наименьшая сторона одного из треугольников одновременно является наибольшей стороной другого треугольника.
2. Правда ли, что в десятичной записи числа 2005! последняя ненулевая цифра равна 7?
3. В треугольнике ABC проведены высоты AA_1 и BB_1. Описанные окружности треугольников ABC и A1B1C касаются. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
4. Куб со стороной n разбит на единичные кубики. Сколько найдется пар единичных кубиков имеющих не более двух общих вершин?
5. Бильярдный стол имеет форму прямоугольного треугольника. Из точки гипотенузы перпендикулярно ей выпустили шар, который ударился о два борта и вернулся на гипотенузу. Докажите, что длина такого пути не зависит от точки старта. (Шар отражается от бортов по закону "угол падения равен углу отражения".)
6. Каждая клетка шахматной доски разрезана по одной из её диагоналей. На какое наименьшее число частей может оказаться разделённой доска этими разрезами?
7. Докажите, что при любом натуральном n > 4 можно разбить все натуральные числа от 1 до n на две группы так, чтобы сумма всех чисел одной группы равнялась произведению всех чисел другой.
8. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, прямые AD и BC - в точке F. Биссектриса угла AEC пересекает сторону BC в точке M и сторону AD в точке N, а биссектриса угла BFD пересекает сторону AB в точке P и сторону CD в точке Q. Доказать, что четырёхугольник MPNQ - ромб.