Московский турнир математических боёв

18 ноября 2001 года (следующий турнир состоится в начале 2002/2003 учебного года.)

Классы Варианты

8 А Б

9 А Б

10 А Б

11 Б

10-11 классы. Вариант А

1. Радиус OP окружности с центром O пересекает перпендикулярную ему хорду AB в точке Q. Через некоторую точку окружности C проведены прямые CP, пересекающая AB в единственной точке X, и CQ, пересекающая окружность в единственной точке Y. Доказать, что PX>QY.

2. Чему равен наибольший из объёмов параллелепипедов, расположенных внутри тетраэдра объёма 1?

3. Доказать равенство
[(n+1)/2]+[(n+2)/4]+[(n+4)/8]+...=n

4. Доказать, что при любых натуральных m, n
m^-1/n + n^-1/m > 1

5. Неисправный калькулятор может лишь складывать, вычитать и вычислять обратные величины (для ненулевых чисел), зато делает это абсолютно точно. Можно ли с его помощью перемножать числа?

6. Последовательность {a_n} задана условиями
a₁=a₂=a₃=1, a_n+3=(1+a_n+1a_n+2)/a_n, n не равно 1.
Докажите, что при любом натуральном n число a_n - целое.

7. Выпуклый многоугольник P₁P₂...P_n разбит на треугольники с вершинами в вершинах исходного многоугольника. Сколькими способами можно занумеровать эти треугольники числами 1, 2, ..., n-2 так, чтобы P_i была вершиной i-го треугольника при любом 1<i<n-2 ?

8. Существуют ли действительные числа a, b, c, такие что ни одно из них не является кубом целого числа, и при любом натуральном n число S_n=a^n/3+b^n/3+c^n/3 - натуральное?

9. Авиакомпания осуществляет рейсы между странами A и B (между городами одной страны рейсов нет). Любой город каждой из стран соединен рейсом хотя бы с одним городом и ни один город не соединён со всеми городами другой страны. Доказать, что можно выбрать по два города в каждой из стран так, что каждый из четырех выбранных городов будет соединен ровно с одним из остальных.

10. На каждой клетке шахматной доски стоит игральная кость, ребро которой равно стороне клетки. За один ход разрешается повернуть как целое на 90^o любой вертикальный или горизонтальный ряд костей. Всегда ли можно поставить все кости шестерками вверх?

11 класс. Вариант Б

1. По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трём подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых трёх стоящих через одно вычесть по 1. Можно ли с помощью нескольких таких операций все числа сделать равными?

2. В некотором классе у каждого есть ровно один друг и ровно один враг. Можно ли этот класс разделить на две группы так, что ни в одной из них не найдется ни двух врагов, ни двух друзей?

3. В сериале "Математики тоже люди" 2001 серия. Каждая серия заканчивается либо плохо, либо хорошо. Если серия номер A имеет хороший конец, то и серия номер A+6 заканчивается хорошо; если серия номер B имеет плохой конец, то и серия номер B+15 заканчивается плохо. Сколько "плохих" серий может быть в этом сериале?

4. f(x)=ax²+bx+c. Известно, что уравнение f(x)=x не имеет действительных корней. Может ли иметь действительные корни уравнение f(f(f(x)))=x ?

5. Каждый из 40 разбойников придумывает бесконечную геометрическую прогрессию, все члены которой - натуральные числа. Всегда ли после этого Али-Баба сможет указать натуральное число, которое не содержится ни в одной из этих прогрессий?

6. Каждая вершина выпуклого многоугольника с нечётным числом сторон окрашена в один из трёх цветов так, что любые две соседние вершины окрашены в разные цвета. Доказать, что многоугольник можно разрезать непересекающимися диагоналями на треугольники так, чтобы вершины каждого такого треугольника были окрашены в различные цвета.

7. Укажите все такие натуральные числа,которые нельзя представить в виде суммы нескольких (более одного) последовательных натуральных чисел.

8. Точка O - середина высоты правильного тетраэдра ABCD. Через неё проведены всевозможные прямые, отрезки которых, заключённые внутри тетраэдра, делятся точкой O пополам. Какое множество образуют концы этих отрезков на поверхности тетраэдра?

9. В прямоугольнике 20*25 находятся 120 квадратов со стороной 1. Докажите, что в этот прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.

10. Докажите, что если x=(p/q)p, где p/q - несократимая дробь (p С Z, q С N), а cos x=m/n, где m/n - несократимая дробь (m С Z, n С N), то либо m=0, либо n=1, либо n=2.

10 класс. Вариант Б

7. Укажите все такие натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (более одного) последовательных натуральных чисел.

8. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка, высекаемого боковыми сторонами треугольника на касательной к вписанной окружности, проведённой параллельно основанию, если периметр треугольника равен 2p ?

9 класс. Вариант А

1. Имеется 5 золотых и 5 серебряных монет одного веса. Фальшивомонетчик заменил одну золотую и одну серебряную монеты фальшивыми, неотличимыми внешне от настоящих. Фальшивые монеты легче настоящих и имеют одинаковый вес. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти фальшивые монеты?

2. Вдоль аллеи стоит 20 столбиков, каждый из которых имеет длину 1 м, 2 м или 3 м. Вася, идя в одну сторону, насчитал 13 пар соседних столбиков, в которых высота возрастала. Когда он шёл обратно, то насчитал ровно 5 таких пар. Докажите, что Вася ошибся в расчётах.

3. Действительное число А = 0,2416256... получается последовательным приписыванием десятичных цифр чисел 2, 2², 2⁴, 2⁸, ... Докажите, что число А - иррационально.

4. В интернате 10 жилых комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой из этих комнат и уносят ее в подвал. Если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. (Если ни одно из этих действий невозможно, то они не делают ничего.) Какое наибольшее количество дверей могло оказаться в подвале после того, как все проснулись?
(Ю. М. Лифшиц, 18 уральский турнир)

5. Докажите, что если нечётное натуральное число k делится на [k^1/2], то либо k, либо k является квадратом целого числа. (Через [x] обозначается целая часть числа x.)
(Новосибирские олимпиады)

6. Дан неравнобедренный треугольник АВС. Точки А₁, В₁, С₁ - середины сторон ВС, АС и АВ соответственно. Точки А₂, В₂, С₂ - соответственно точки касания вписанной окружности этого треугольника. Точки А₃, В₃ и С₃ - точки симметричные соответственно точкам А₂, В₂ и С₂ относительно биссектрисы противолежащего угла (А₂ и А₃ симметричны относительно биссектрисы угла А и т. д.) Докажите, что прямые А₁А₃, В₁В₃ и С₁С₃ пересекаются в одной точке.

7. Какое максимальное число действительных решений может иметь уравнение
а₁|x-b₁| + а₂|x-b₂| + а₃|x-b₃| = 0,
если известно, что множество его решений в действительных числах конечно?

8. Решите в натуральных числах уравнение
n² + 44 = m!. (К. А. Кноп)

9. С натуральным числом, записанным на доске, можно производить следующую операцию: прибавлять натуральное число, взаимно простое с ним. Верно ли, что из любого натурального А можно получить число А+7 ровно за две таких операции?
(Жюри, 18 уральский турнир)

10. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС (АВ=ВС) провели медианы AD и СЕ. Медиану AD продолжили на её длину за точку D. Получилась точка Х. Медиану СЕ продолжили на её длину за точку С. Получилась точка Y. Докажите, что угол AXY - прямой.

9 класс. Вариант Б

1. Четыре одинаковые банки с четырьмя различными красками наполнены на три четверти. Имеется возможность переливать любую часть жидкости из одной банки в другую (если поместится). Можно ли сделать во всех банках одинаковую смесь? (Другой посуды нет и выливать краску нельзя.)

2. Вершины одного параллелограмма расположены на сторонах другого (по одной на стороне). Докажите, что центры параллелограммов совпадают.

3. Игра. Даны 10 чисел:
-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, -9, 10.
Двое по очереди выбирают по одному числу, пока числа не кончатся. Затем каждый складывает свои 5 чисел. Побеждает тот, у кого сумма больше по абсолютной величине. Докажите, что первый всегда сможет выиграть.

4. Квадрат 100*100 сложен из домино 1*2. Докажите, что некоторые два домино образуют квадрат 2*2.

5. Дан острый угол и на его стороне точка А. Где на этой стороне находится точка М, которая одинаково удалена от точки А и от другой стороны угла?

6. По кругу сидят 15 мальчиков и 15 девочек. Докажите, что число пар рядом сидящих мальчиков равно числу пар рядом сидящих девочек.

7. Существует ли целое число, квадрат которого начинается с 99 девяток? (Какие цифры идут дальше - не важно).

8. Двое играют в крестики-нолики на бесконечной клетчатой бумаге. Один ставит своим ходом два крестика (не обязательно рядом), а другой - один нолик. Сможет ли играющий крестиками поставить 10 крестиков в ряд?

9. Верно ли, что для любой точки внутри выпуклого четырёхугольника сумма расстояний от неё до вершин меньше периметра четырёхугольника?

10. В клетках таблицы 10*10 записаны числа от 0 до 99 (в первой строке 0, 1, ..., 9, во второй 10, 11, ... , 19 и т. д.). Затем перед каждым числом поставили знак "+" или "-" так, что в каждой строке и в каждом столбце стало поровну плюсов и минусов. Докажите, что сумма всех чисел равна нулю.

8 класс. Вариант А

1. На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На выборах каждый из них голосовал за одну из трёх партий. Затем прошёл опрос населения, и на вопрос "голосовали ли вы за первую партию?" утвердительный ответ дали 40% островитян. На аналогичный вопрос о второй партии ответили "да" 50%, а о третьей партии - 60%. Кого больше среди проголосовавших за вторую партию - рыцарей или лжецов?

2. Два игрока по очереди ставят фишки на клетки доски 101*101. Первый может поставить очередную фишку на любую свободную клетку, для которой суммарное количество фишек, уже стоящих в столбце и строке, содержащих эту клетку, чётно. Второй может поставить очередную фишку на любую свободную клетку, для которой это количество нечётно. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?

3. Бесконечную плоскость разделили прямыми линиями на единичные квадраты. Некоторые из квадратов покрасили в чёрный цвет так, чтобы каждый чёрный квадрат граничил (по стороне) ровно с двумя белыми, а каждый белый - с k черными. Какие значения может принимать k?

4. Окружность, с центром на большем основании трапеции, касается трёх других её сторон. Докажите, что это основание равно сумме боковых сторон трапеции.

5. На 50 карточках написаны числа от 1 до 25 (каждое по два раза). За круглым столом сидят 25 человек, причём изначально у каждого из них по 2 карточки. Раз в минуту каждый передаёт соседу слева ту карточку, на которой написано меньшее число. Докажите, что в некоторый момент у кого-то окажутся карточки с равными числами.

6. Две противоположные стороны выпуклого четырёхугольника лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что расстояние между серединами двух других сторон четырёхугольника равно расстоянию между серединами его диагоналей.

7. Фунтик-Шпунтик развлекается тем, что выписывает все натуральные числа, цифры которых убывают, а затем в каждом выставляет знаки сложения и вычитания между соседними цифрами по порядку: "-", "+", "-", "+", : и считает результат (например, 97641 превращается в 9-7+6-4+1=5). В конце он все результаты сложил. Какое число у него получилось?

8. Существуют ли восемь последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет ровно 1000 делителей?

8 класс. Вариант Б

1. На острове Невезения живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На выборах каждый из них голосовал за одну из трех партий. Затем прошел опрос населения, и на вопрос "голосовали ли вы за первую партию?" утвердительный ответ дали 40% островитян. На аналогичный вопрос о второй партии ответили "да" 50%, а о третьей партии - 60%. Кого больше среди проголосовавших за вторую партию - рыцарей или лжецов?

2. Сколько целых положительных чисел, не превосходящих 1000, имеют не более 3 простых делителей?

3. На плоскости даны 4000 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Докажите, что можно построить 1000 непересекающихся четырёхугольников, вершинами которых служат эти точки.

5. Бесконечную плоскость разделили прямыми линиями на единичные квадраты. Некоторые из квадратов покрасили в черный цвет так, чтобы каждый чёрный квадрат граничил (по стороне) ровно с двумя белыми, а каждый белый - с k черными. Какие значения может принимать k ?

6. Два игрока по очереди ставят фишки на клетки доски 101*101. Первый может поставить очередную фишку на любую свободную клетку, для которой суммарное количество фишек, уже стоящих в столбце и строке, содержащих эту клетку, чётно. Второй может поставить очередную фишку на любую свободную клетку, для которой это количество нечётно. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?

7. Две противоположные стороны выпуклого четырёхугольника лежат на перпендикулярных прямых. Докажите, что расстояние между серединами двух других сторон четырёхугольника равно расстоянию между серединами его диагоналей.

8. На 50 карточках написаны числа от 1 до 25 (каждое по два раза). За круглым столом сидят 25 человек, причём изначально у каждого из них по 2 карточки. Раз в минуту каждый передаёт соседу слева ту карточку, на которой написано меньшее число. Докажите, что в некоторый момент у кого-то окажутся карточки с равными числами.