Московский турнир математических боёв

28 ноября 2004 года

Результаты математических боев

ЛигаШколаКапитанБаллыБаллыКапитанШкола
11АСУНЦНизов Сергей7812Петухов СергейЛицей "Вторая школа"
11А218Гусаков Алексей3329Головко АлексейЧерноголовка
11АСУНЦДраль Алексей4026Шаронов Дмитрий1543
11А57Власов Павел2466Гаврилюк Андрей5 Долгопрудный
11АЛицей "Вторая школа"Арутюнов Андроник2757Стрелкова Наталия54
11Б152Гаммал Александр049Семенюк Павел218
11Б1554Аксенов Сергей1019Маринцев Павел1502
11Б1543Мордасов Филипп2857Озерин Алексей1557
11Б710+1553Забелина Александра3048Жолудев Юрий444
11Б853Малышкин Юрий3445Понкратова ЕкатеринаБелгород-38
10А1514Медянкин Никита2655Лупанов АнтонСУНЦ-4
10АСУНЦ-2Авдеев Вадим4848Стеблюк Дмитрий192
10АСУНЦ-1Майоров Денис5836Титиевский ВладимирЛицей "Вторая школа"
10АСУНЦ-3Ланин Михаил5630Логинов Павел1303
10А179Рушайло Александр3636Петухов Андрей17
10А1543(1)Савинкина Александра5535Кирилин В.Лицей "Вторая школа"
10АЛицей "Вторая школа"Ибрагимова Лилия5832Киселев александр1189
10А54Флеров Александр801Ветчинкин Михаил444
10А91Волков Юрий3648Польской Денис82
10А1557(1)Толокольников Александр3555Банникова Арина1543(2)
10А91Волков Юрий3648Польской Денис82
10Б1101Волгин Артем1229Фр. лицей-1
10Блицей Фрязино-1Трубицын Игорь3921Веревкин Павел1134
10ББелгород-38Безкровный Максим666Соловьева Марина218
10Б1173Забарский Павел3338Храмов Евгенийлицей Фрязино-2
10Б1553Кривчун Степан278Каменина Александра1554
10Б654Гинжул Мария5624Сидоров Олег156+1525
10БФр.лицей-2Пешков Антон764Черников Саша1511
10Бсш 1 (Фрязино)Носырев Андрей422Родин Станислав152
10Б1537Воробьев Виталий3344Гончаренко Алексей1557
10Б1514Обухов Евгений5145Алюшин Виктор1511
лицей "Вторая школа"Пашков Илья1838Воронин И.1543
лицей "Вторая школа"Малышев Николай1258Гордица КонстантинДолгопрудный 5
лицей "Вторая школа"Камзеев Дмитрий1334Николаев Тимофей1514
1537Макаров Александр2730Ламбов Велин1557
54Яцишин Илья818Павлова Лиза218
1543Спасибко Кирилл462Карандашев Константин82 Черноголовка
91Виноградов Алексей636Смуров ИванИнтеллектуал
444Алексеев Дмитрий601Золотых АлексейФрязино
179-1Харламова Александра853Демченко Юрий444
1511Шанщер Дмитрий433Трифонов Игорь179-2
1189Гнеушев5618Папок Иринасш. 1 г. Фрязино
сш.1 г. ФрязиноАфанасьев Дмитрий476Куликовский Антон1101
г. ТарусаБычкова Женя250Барукин Дима1557
Белгород-38Гончаров Андрей1645Масленников Ваня1514
1965Менабде Екатерина657Ершов Павел1537
1525Маланчев Константин2220Кузьминых Анастасия1553
1554Фомина Юлия425Савушкин Никита1134
654Богдашкина Дарья2813Каверина Полина1748
ХорошевоЕсенков Егор1032Блискавка Дарья1134
1543Погребнев Алексей5512Сундуков Дмитрий54
57-1Шанин Иван1460Смирнов Александрлицей "Вторая школа"
1543Марченко Евгений5227Поляков Иванлицей "Вторая школа"
Долгопрудный 5Лавров Алексей5831Романов ЕвгенийКострома
1543Манита Оксана4238Трегубова Мария57-2
лицей "Вторая школа"Бочкарев Алексей4623Сергеев ЖеняБелгород-38
ИнтеллектуалЛьвов Илья4920Чистяков Александр1554
1537Каштанов Александр2154Макарова Маша1557
17Палазник Николай3334Шишкина Екатерина218
1514Гаврилюк Кирилл4647Слесаренко Мариялицей "Вторая школа"
17+1543Сафронов Никита2958Клименко Артурлицей "Вторая школа"
лицей "Вторая школа"Шерстюков3639Солдатова Катя1101
1537Бугарчев Антон4440Романенков Кирилл1514
1576Рублев Павел3642Кизин Павел1557
156Трофимов Е.356Мельник Ирина1553
444Клюев Антон3732Домбровская Жанна1268
17Галочкина1939Заборов Павел870

8 класс. Лига А.

1. На большом приеме в посольстве собралось 2004 человека. Известно, что среди любой четверки людей найдутся трое, знакомые друг с другом, или трое, незнакомые друг с другом. Докажите, что среди этих людей можно найти 1002, которые все знакомы друг с другом, или все незнакомы друг с другом.

2. Докажите, что каждое натуральное число можно представить в виде разности двух взаимно простых составных чисел.

3. На плоскости расположены n точек. Через каждые две точки проведена прямая. Оказалось, что проведено 20 различных прямых. При каком наименьшем n это возможно?

4. Докажите неравенство:

5. На доске написано уравнение ... x2+ ... x +... = 0. Двое по-очереди расставляют коэффициенты в этом уравнении (коэффициент 0 перед x2 ставить нельзя). Если у получившегося уравнения нет корней, то выигрывает первый игрок, а если есть --- второй. Кто выигрывает при правильной игре?

6. За круглым столом сидят n³ 5 человек. Докажите, что их можно пересадить так, чтобы у каждого человека изменились оба его соседа.

7. Точки A' и B' лежат на стороне AB остроугольного треугольника ABC. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC до прямой AB меньше, чем расстояние от~центра описанной окружности треугольника A'B'C до этой прямой.

8. Точка M - середина стороны AB треугольника ABC. Точка N лежит на стороне AC, причем Ð ANM=Ð BNC. Найдите отношение MN:NB.

8 класс. Лига Б.

1. Можно ли провести на плоскости 2004 прямые, чтобы каждая пересекалась ровно с 1999 другими?

2. В классе 32% всех учеников не имеют троек по алгебре, а 48% всех учеников не имеют троек по геометрии. 50% троечников имеют две тройки: и по алгебре, и по геометрии. По другим предметам ни у кого троек нет. Сколько процентов учеников класса учится без троек?

3. Круглый торт весом 1 кг разрезан на части тремя прямолинейными оразрезами. Известно, что два из этих разрезов проходят через центр торта, а третий не проходит. Докажите, что вес по крайней мере одной части не меньше 1/6 кг.

4. Сколько существует трёхзначных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания?

5. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса угла А перпендикулярна одной из медиан. Чему может быть равна градусная мера угла А?

6. Перед выборами все n кандидатов в депутаты сделали заявления. Первый кандидат заявил: "Не считая меня, среди кандидатов лжецов на одного больше, чем честных людей". Второй сказал: "Не считая меня, среди кандидатов лжецов на два больше, чем честных людей". Третий: "Не считая меня, среди кандидатов лжецов на три больше, чем честных людей". И таким образом высказались все кандидаты. Последний сказал: "Не считая меня, среди кандидатов лжецов на n больше, чем честных людей". Сколько было кандидатов в депутаты?

7. Постройте равнобедренный треугольник по основаниям биссектрис его углов.

8. Найдите все натуральные числа , и такие, что число - целое.

9 класс. Лига А.

1. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны BC за точку B взяли такую точку D, что BD=BA, точка M - середина стороны AC. Биссектриса угла ABC пересекает прямую DM в точке P. Докажите, что углы BAP и ACB равны.

2. Докажите, что каждое натуральное число можно представить в виде разности двух взаимно простых составных чисел.

3. Действительные числа x, y, z удовлетворяют условиям x+y+z=6 и xy+yz+xz=9. Докажите, что 0£ x£ 4.

4. Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. Окружность w2 проходит через центр окружности w1. Касательная к окружности w2, проведенная через точку B, пересекает окружность w1 в точке C (отличной от B). Докажите, что AB=BC.

5. На плоскости расположены n точек. Через каждые две точки проведена прямая. Оказалось, что проведено 20 различных прямых. При каком наименьшем n это возможно?

6. Решите систему уравнений: .

7. В стране 2004 города, любые два города соединены авиалинией. Цены билетов на всех авиалиниях различны. Могут ли все круговые маршруты (проходящие через каждый город ровно по одному разу и возвращающиеся в исходный пункт) иметь одинаковую стоимость?

8. На некоторых полях шахматной доски стоят столбики из шашек. За один ход разрешается переставить любой столбик на столько клеток по вертикали или горизонтали, сколько в нем шашек; при этом, если столбик попал на непустую клетку, он ставится на верх стоящего там столбика и объединяется с ним. Вначале на каждой клетке стоит по одной шашке. Можно ли за 63 хода собрать все шашки в один столбик?

9 класс. Лига Б.

1. Докажите, что для любого x верно неравенство x4 - x3 + 3x2 - 2x + 2 >0.

2. Петя, Коля и Вася решали задачи из задачника и решили вместе 100 задач, при этом каждый из них решил ровно 60 задач. Будем называть задачу, которую решили все трое, "легкой", а задачу, которую решил только один из них, - "трудной". На сколько "трудных" задач больше, чем "легких"?

3. С квадратным трехчленом ax2+ bx + c разрешается производить такие операции:

1) Заменить в нем x на x - a , где a - произвольное действительное число.

2) Заменить его на трехчлен сx2+ (b + 2с)x + (а + b + c).

Можно ли с помощью таких операций из трехчлена x2- 3x + 4 получить трехчлен x2- 2x - 5?

4. Все числа от 1 до 2n выписаны в строчку (в каком-то порядке). Затем к каждому числу прибавили номер места, на котором оно стоит. Докажите, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, разность которых делится на 2n.

5. Дан треугольник ABC. Вписанную в него окружность спроецировали на прямые, содержащие стороны треугольника. Докажите, что шесть концов проекций лежат на одной окружности.

6. Каждая грань кубика разделена на четыре квадрата. В каждый из этих квадратов вписано число. При этом любое число, вписанное в любой из 24 квадратов, в сумме с числами, вписанными в четыре соседних с ним квадрата, всегда дает 13. Могут ли все 24 числа быть целыми?

7. Как должна двигаться ладья по шахматной доске, чтобы побывать на каждом поле ровно один раз и сделать наименьшее число поворотов?

8. В ромбе ABCD на отрезке BC нашлась точка Е такая, что АЕ = CD. Отрезок ЕD пересекается с описанной окружностью треугольника АЕВ в точке F. Докажите, что точки А, F и С лежат на одной прямой.

10 класс. Лига А.

1. В некотором государстве между некоторыми городами проложены дороги. Из каждого города выходят дороги не менее чем в n других городов. Кроме того, известно, что, выехав из города, необходимо проехать не менее чем по пяти различным дорогам, для того, чтобы вернуться назад. Докажите, что общее число городов не может быть меньше .

2. Найдите все пары положительных чисел (х, у), удовлетворяющие равенству .

3. Докажите, что из любых 145 точных квадратов натуральных чисел можно выбрать 17, сумма которых делится на 17.

4. Клетки квадрата 9х9 раскрасили в шахматном порядке. Сколькими способами можно поставить на полученную доску восемь ладей так, чтобы они стояли на клетках одного цвета и не били друг друга?

5. Функция f(x) определена на всей числовой оси и такова, что f(x + 3) £  f(x) + 3 и f(x + 2) ³  f(x) + 2 для любого x. Докажите, что функция g(x) = f(x)-x - периодическая.

6. В треугольнике каждая биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в одном и том же отношении. В каком именно?

7. На плоскости заданы 2004 полуплоскости, внутренности которых покрывают всю плоскость. Докажите, что из этих полуплоскостей можно выбрать три, внутренности которых тоже покрывают всю плоскость.

8. В магазине продаются 2004 ненулевых пространственных векторов. Вася хочет купить три некомпланарных вектора. Он поступает так: выбирает самый дешевый из них, потом самый дешевый из неколлинеарных с первым, и, наконец, самый дешевый из некомпланарных с двумя первыми. Верно ли, что Вася совершил самую выгодную покупку?

10 класс. Лига Б.

1. При каких натуральных n имеет целые решения уравнение х2 + ху + у2 = 7n.

2. В параболу у = х2 вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого параллельна оси ОХ. Чему может быть равна высота треугольника, опущенная на гипотенузу?

3. а1 + а2 + а3 + а4 = 1, 0. Докажите, что .

4. Из середин сторон остроугольного треугольника проведены перпендикуляры к соседним сторонам. Полученные шесть прямых ограничивают шестиугольник. Докажите, что его площадь равна половине площади исходного треугольника.

5. В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи идущих подряд членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати идущих подряд членов положительна. Найдите наибольшее число членов такой последовательности.

6. На доске нарисованы 2004 квадратов, 2005 кругов и 2006 треугольников. Играют два игрока, которые делают ходы по очереди. За один ход разрешается стереть две различные фигуры и вместо них нарисовать одну фигуру, отличную от стертых (круг вместо квадрата и треугольника, квадрат вместо круга и треугольника, треугольник вместо круга и квадрата). Первый игрок выигрывает, если в результате таких операций на доске останутся только квадраты, второй - только круги. Если останутся только треугольники - ничья. Кто выигрывает при правильной игре?

7. В выпуклом четырехугольнике АВСD Ð А = Ð D. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и СD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АD. Докажите, что диагонали АС и ВD равны.

8. Пусть М - множество значений многочлена х2 + 1 в целых точках. Докажите, что множество М не содержит ни одной бесконечной (непостоянной) геометрической прогрессии.

11 класс. Лига А.

1. 25 шахматистов играют в разную силу, и при встрече любых двух всегда побеждает сильнейший. Найти минимальное число партий, при любом исходе которых можно определить первого и второго по силе.

2. BH - высота равнобедренного треугольника ABC (AB=BC), M - середина стороны AB, K - вторая точка пересечения прямой BH с окружностью BMC. Докажите, что BK=3/2R, где R - радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

3. По аллее длиной 100 м идут три джентльмена со скоростями 1, 2, 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивается и идет обратно с той же скоростью. Доказать, что найдется отрезок времени в 1 мин, когда все трое будут идти в одном направлении.

4. Бесконечная в обе стороны последовательность {an} удовлетворяет условию an=(an-1+an+1)/4. Доказать, что если в последовательности есть пара равных членов, то таких пар бесконечно много.

5. Внутри равностороннего (не обязательно правильного) 11-угольника A1A22...A11 взята произвольная точка O. Из нее опущены перпендикуляры на стороны 11-угольника. Их основания H1, H2, ... , H11 лежат соответственно на сторонах A1A2, A2A3,..., A10A11 (а не на их продолжениях). Докажите, что A1H1+A2H2+...+A11H11=H1A2+H2A3+...+H11A1.

6. Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, попарно не параллельных и не совпадающих?

7. Дана бесконечная шахматная доска с клетками 1х1. По сторонам клеток проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, внутри которой оказалось k чёрных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?

8. Даны 12 чисел a1, ..., a12, причем выполнены следующие неравенства: a2(a1-a2+a3)<0; a3(a2-a3+a4)<0; ...; a11(a10-a11+a12)<0. Докажите, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.

11 класс. Лига Б.

1. Положительные числа x, y и z таковы, что arctg x + arctg y + arctg z<p. Докажите, что тогда сумма этих чисел больше, чем их произведение.

2. Пятиугольник ABCDE, в котором BC=CD, вписан в окружность. Пусть P - точка пересечения диагоналей AC и BE, Q - точка пересечения диагоналей AD и CE. Докажите, что прямые PQ и BD параллельны.

3. У числа 22004 зачеркнули его первую цифру и прибавили ее к оставшемуся числу. С результатом проделали ту же операцию и т.д., до тех пор, пока не получили 10-значное число. Докажите, что в нем есть 2 одинаковые цифры.

4. Существует ли многогранник, у которого вершин, ребер и граней столько же, сколько у куба, но нет ни одной четырехугольной грани?

5. В параболу y=x2 вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого параллельна оси ОХ. Чему может быть равна высота треугольника, опущенная на гипотенузу?

6. Докажите, что если неотрицательные числа x1, ... , x100 удовлетворяют неравенству x1+x2+...+x100 £1/2, то (1-x1)(1-x2)...(1-x100)³ 1/2.

7. В обществе, состоящем из 2004 человек, среди любых четырех человек можно выбрать по-крайней мере одного, знакомого с остальными тремя. Каково минимально возможное количество людей, которые знакомы со всеми?

8. Некоторые из клеток таблицы 100x100 отмечены. Определите число отмеченых клеток, если известно, что каждая клетка граничит по стороне ровно с одной из отмеченных.


Rambler's Top100