| 11А | СУНЦ | Лахно Алексей | 42 | 54 | Годунов Сергей | Кострома |
| 11Б | 152+179 | Федоров Антон | 24 | 60 | Занчурин Максим | 444 |
| 11Б | 54 | Бурзанов Сергей | 24 | 60 | Малышев Николай | 1134 |
| 11Б | 1522+179 | Сушков Александр | 35 | 16 | Липилин Константин | 1314 |
| 10А | 2-1 | Арутюнов Андроник | 46 | 15 | Лескин Андрей | 91 |
| 10А | 2-2 | Сорокоумов Антон | 41 | 2 | Поляковский Илья | 1101-1 |
| 10А | 54 | Стрелкова Наталия | 13 | 63 | Левин Иван | 1543-1 |
| 10А | 218 | Гусаков Алексей | 2 | 6 | Маловичко Иван | 1557 |
| 10Б | 1543-3 | Чумаченко Дмитрий | 68 | 11 | Фр. лицей -1 | |
| 10Б | 1548 | Тобенгауз Александр | 21 | 36 | Фр. лицей -2 | |
| 10Б | КП МГУ | Мишаков Саша | 36 | 28 | Фр. лицей -3 | |
| 10Б | 710 | Евсеев Михаил | 17 | 37 | Жолудев Сергей | 444 |
| 10Б | 218 | Демин Петр | 0 | 57 | Элькинд Владимир | 1511 |
| 10Б | 152 | Гаммал Александр | 0 | 71 | Рыков Дмитрий | 1525 |
| 9А | 1557 | Бобков Антон | 24 | 12 | Савинкина Саша | 1543 |
| 9А | 1543 | Копцов Дмитрий | 15 | 42 | Толокольников Саша | 1557 |
| 9А | 1514 | Мамыкина Мария | 12 | 22 | Логинов Павел | 1303 |
| 9Б | 1525 | Луговской Андрей | 39 | 39 | Ружицкий Глеб | 218 |
| 9Б | 1101 | Митин Дима | 33 | 23 | Муравский Сергей | 1546 |
| 9Б | 91 | Волков Ю. | 56 | 30 | Бакурский С. | 654 |
| 9Б | 1173 | Забарский Яков | 16 | 30 | Рушайло Александр | 179 |
| 9Б | 1101 | Полетаев Илья | 21 | 20 | Сатунин Петр | 1534 |
| 9Б | 1514 | Обухов Евгений | 37 | 8 | Сейсян Размик | 1018 |
| 8А | 2 | Камзеев | 37 | 33 | Волков | 1543 |
| 8А | 2 | Пашков | 38 | 8 | Гречкин | 2 |
| 8А | 2 | Четверикова | 14 | 40 | Арутюнов | 1543 |
| 8Б | 654 | 38 | 40 | 218 | ||
| 8Б | 2 | 38 | 33 | 1537 | ||
| 8Б | 1537 | 26 | 37 | 1557 | ||
| 8Б | 1557 | 21 | 24 | 1018 | ||
| 8Б | 4 (Фрязино) | 17 | 24 | Хорошево |
1. 10 коробок с камнями расставлены по кругу, причем число камней в любых двух соседних коробках отличается на 1. За один ход Пете разрешается выбрать любые две коробки, в которых есть еще камни, и удалить из обеих по одному камню. Петя утверждает, что может уравнять количество камней во всех коробках. Прав ли он?
2. Верно ли, что если число
3. Известно, что какие-то две команды набрали в однокруговом волейбольном турнире (каждая команда играет с каждой ровно один раз) одинаковое количество очков (победа - 1 очко, поражение - 0 очков, ничьих не бывает). Докажите, что найдутся команды А, В и С такие, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С выиграла у А.
4. Можно ли расставить по окружности 100 последовательных натуральных чисел так, чтобы произведение любых двух соседних являлось квадратом натурального числа?
5. Дан шестизначный телефонный номер 123456. Из скольких семизначных номеров его можно получить вычеркиванием одной цифры, если известно, что в семизначном номере все цифры различны, и что с нуля он начинаться не может?
6. В выпуклом четырехугольнике АВСD угол А = углу D. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и СD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АD. Докажите, что диагонали АС и ВD равны.
7. Двое по очереди закрашивают клетки квадрата 10 на 10. Сначала первый закрашивает клетки какого-то прямоугольника 1 на 1, потом второй - прямоугольника 1 на 2, первый - прямоугольника 1 на 3, второй - прямоугольника 1 на 4 и так далее. Игра заканчивается, когда невозможно сделать ход. Какое наименьшее количество закрашенных клеток может быть на доске по окончании игры?
8. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60 градусов, АМ и СN - его высоты, а Q - середина стороны АС. Докажите, что треугольник МNQ - равносторонний.
1. Вова записал в ряд 22 числа. Каждое из записанных чисел равно 1 или -1. Дима может назвать любые 19 мест ряда, и Вова сообщит ему произведение чисел, стоящих на этих местах. Какое наименьшее количество вопросов необходимо задать Диме, чтобы найти произведение всех чисел ряда?
2. Можно ли первые 2002 натуральных числа расставить по кругу так, чтобы любое число делилось на разность своих соседей?
3. На московский турнир матбоев приехало 105 восьмиклассников. Оказалось, что среди любых 15 из них есть школьники, знакомые между собой. Кроме того, любые два школьника, имеющие одинаковое число знакомых среди участников турнира - не знакомы между собой, а имеющие разное количество знакомых - знакомы между собой. Докажите, что среди участников найдется школьник, знакомый со всеми остальными.
4. Планета Куб имеет форму куба, у которого каждая грань - отдельное государство. Государства называются 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Любой турист может переезжать из страны только в страну с меньшим номером. Какое наибольшее число посещений различных стран может гарантировать туристическая фирма, привозящая клиентов с Земли, если она может высадить туриста на грань с любым (по усмотрению фирмы) номером?
5. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60 градусов, АМ и СN - его высоты, а Q - середина стороны АС. Докажите, что треугольник МNQ - равносторонний.
6. На доске написано n выражений вида
7. Для участников математического боя и членов жюри было приготовлено конфет столько же, сколько булочек и стаканов чая вместе. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько, сколько булочек. Найдется ли стакан чая для заглянувшего к ним члена жюри?
8. Внутри выпуклого четырехугольника АВСD выбрана точка О так, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АОВ, ВОС, СОD и AОD равны. Для каких четырехугольников АВСD такая точка О существует?
1. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, а на стороне AC — точка E так, что BD=CE. Пусть F — точка пересечения описанных окружностей треугольников ACD и ABE, отличная от A. Докажите, что F лежит на биссектрисе угла BAC.
2. Гриша и Илюша играют в игру. Каждым своим ходом Гриша ставит на бесконечную клетчатую доску один крестик, а Илюша — один нолик. Начинает Гриша. Если Гриша заполнил крестиками квадрат 2 x 2, то он выиграл. Если же он не смог выиграть за миллион ходов, то выиграл Илюша. Кто выиграет при правильной игре?
3. Докажите, что при натуральных n≤2 всегда найдутся три попарно различных натуральных числа a, b, c таких, что n2&less;a,b,c&less;(n+1)2 и a2+b2 делится на c.
4. Можно ли провести на координатной плоскости тринадцать прямых так, чтобы любые две прямые пересекались в точке с целочисленными координатами и никакие три не проходили через одну точку?
5. На плоскости отмечено 2003 точки. Докажите, что среди всевозможных расстояний между этими точками не менее тридцати двух различных.
6. Точка K — середина стороны BC квадрата ABCD. На отрезке AK взята такая точка E, что CE = BC. Найдите угол AED.
7. Хулигана Ваню заперли на k замков. За дверью следят 100 воспитателей с ключами, причем любые четверо не могут открыть все замки, а любые пятеро могут это сделать. При каком наименьшем k это возможно?
8. Что больше: 5^5^5^5 или 4^4^4^4^4?
1. Гриша и Илюша играют в игру. Каждым своим ходом Гриша ставит на бесконечную клетчатую доску один крестик, а Илюша — один нолик. Начинает Гриша. Если Гриша заполнил крестиками квадрат 2 x 2, то он выиграл. Если же он не смог выиграть за миллион ходов, то выиграл Илюша. Кто выиграет при правильной игре?
2. Дан треугольник со сторонами a, b и c, которые удовлетворяют соотношению a/(b+c)=c/(a+b). Один из углов этого треугольника равен 80 градусов. Найдите остальные углы.
3. Докажите, что для каждого целого значения n≥2 число nn-n2+n-1 делится на (n-1)2.
4. Каждый из 2003 участников турнира встретился по одному разу со всеми остальными участниками, причём ни одна встреча не закончилась вничью. После турнира каждый составил список, в который он занёс тех, кого победил он сам, и тех, кого победили побежденные им соперники. Докажите, что найдётся список, в котором перечислены 2002 участника.
5. Можно ли провести на координатной плоскости тринадцать прямых так, чтобы любые две прямые пересекались в точке с целочисленными координатами и никакие три не проходили через одну точку?
6. На плоскости отмечено 2048 точки. Докажите, что среди всевозможных расстояний между этими точками не менее тридцати двух различных.
7. Решите уравнение x(x+1)(x^2+x+1)=6.
8. Точка K — середина стороны BC квадрата ABCD. На отрезке AK взята такая точка E, что CE = BC. Найдите угол AED.
1. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H - точка их пересечения. На отрезках AH и CH взяты точки K и M такие, что угол BKC = углу AMB=90 градусов. Докажите, что BM=BK.
2. Дан многочлен P(x) степени n. Известно, что P(k)= 1/k при k=1, 2, ..., n+1. Найдите P(n+2).
3. Даны два набора гирь: из 2003 и из 2004 гирь. В каждом наборе гири упорядочены по возрастанию веса. Найдите 2004-ю по весу гирю за 12 взвешиваний на чашечных весах без шкалы.
4. Даны положительные числа x1≤ x2≤ ...≤ xn. Докажите неравенство:
5. Многочлены P(x), Q(x), R(x) таковы, что
6. Множество всех натуральных чисел, кроме чисел 101, 102, ..., 200, разбито на бесконечные (вправо) арифметические прогрессии. Найдите минимальное число таких прогрессий.
7. На каждом из 10 листов бумаги написано несколько степеней двойки так, что суммы чисел, написанных на каждом листе, равны. Докажите, что какая-то степень написана не менее 6 раз.
8. Назовем расстановку k ладей на доске k х k правильной, если ладьи не бьют друг друга. Для каких k из некоторой правильной расстановки можно получить другую правильную, переместив каждую ладью на ход коня?
9. Существует ли в пространстве такое множество M, что любая плоскость пересекает его по непустому конечному множеству точек?
10. Через центр I вписанной окружности треугольника ABC проходит прямая l. Прямые mA, mB, mC симметричны соответствующим биссектрисам треугольника относительно l и пересекают, соответственно, прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Докажите, что A', B', C' лежат на прямой, касающейся вписанной окружности.
1. Каждый из 2003 участников турнира встретился по одному разу со всеми остальными участниками, причём ни одна встреча не закончилась вничью. После турнира каждый составил список, в который он занёс тех, кого победил он сам, и тех, кого победили побежденные им соперники. Докажите, что найдётся список, в котором перечислены 2002 участника.
2. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D, а на стороне AC — точка E так, что BD=CE. Пусть F — точка пересечения описанных окружностей треугольников ACD и ABE, отличная от A. Докажите, что F лежит на биссектрисе угла BAC.
3. Гриша и Илюша играют в игру. Каждым своим ходом Гриша ставит на бесконечную клетчатую доску один крестик, а Илюша — один нолик. Начинает Гриша. Если Гриша заполнил крестиками квадрат 2 x 2, то он выиграл. Если же он не смог выиграть за миллион ходов, то выиграл Илюша. Кто выиграет при правильной игре?
4. Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Оказалось, что основания перпендикуляров, опущенных из точки O на боковые грани пирамиды, лежат в одной плоскости. Докажите, что они лежат на одной окружности.
5. Докажите, что для каждого целого значения n≥2 число nn-n2+n-1 делится на (n-1)2.
6. Можно ли провести на координатной плоскости тринадцать прямых так, чтобы любые две прямые пересекались в точке с целочисленными координатами и никакие три не проходили через одну точку?
7. На плоскости отмечено 2048 точки. Докажите, что среди всевозможных расстояний между этими точками не менее тридцати двух различных.
8. Решите уравнение x(x+1)(x^2+x+1)=6.
1. Даны два набора гирь: из 2003 и из 2004 гирь. В каждом наборе гири упорядочены по возрастанию веса. Найдите 2004-ю по весу гирю за 12 взвешиваний на чашечных весах без шкалы.
2. Даны положительные числа x1≤ x2≤ ...≤ xn. Докажите неравенство:
3. Известно, что
4. Многочлены P(x), Q(x), R(x) таковы, что
5. Множество всех натуральных чисел, кроме чисел 101, 102, ..., 200, разбито на бесконечные (вправо) арифметические прогрессии. Найдите минимальное число таких прогрессий.
6. На каждом из 10 листов бумаги написано несколько степеней двойки так, что суммы чисел, написанных на каждом листе, равны. Докажите, что какая-то степень написана не менее 6 раз.
7. Назовем расстановку k ладей на доске k х k правильной, если ладьи не бьют друг друга. Для каких k из некоторой правильной расстановки можно получить другую правильную, переместив каждую ладью на ход коня?
8. Найдите все правильные четырехугольные пирамиды, у которых существует сечение, являющееся правильным пятиугольником.
9. Существует ли в пространстве такое множество M, что любая плоскость пересекает его по непустому конечному множеству точек?
10. Через центр I вписанной окружности треугольника ABC проходит прямая l. Прямые mA, mB, mC симметричны соответствующим биссектрисам треугольника относительно l и пересекают, соответственно, прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Докажите, что A', B', C' лежат на прямой, касающейся вписанной окружности.