Опубликованы
результаты финальных боев (18.11.05), полуфиналов (27.11.05),
списки участников командной олимпиады (16.10.05),
условия задач финалов, полуфиналов (27.11.05) и командной олимпиады (16.10.05).

Условия задач командной олимпиады

лига 8А		лига 9A		лига 10А		лига 11A
лига 8Б		лига 9Б		лига 10Б		лига 11Б

Лига 8А

1. В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителям посёлка.
2. Из точки M стороны AC равностороннего треугольника ABC опущены перпендикуляры MX и MY на стороны AB и BC соответственно. Точка O – центр треугольника ABC. Докажите, что прямая OM делит отрезок XY пополам.
3. К натуральному числу A справа приписали пять цифр. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A. Найдите все такие A.
4. Медиана AM, биссектриса BL и высота CH пересекаются в одной точке. Обязательно ли треугольник равносторонний?
5. Можно ли из бесконечной клетчатой плоскости удалить такие два не имеющих общих точек "луча" ("лучом" называются клетки одной строки или одного столбца, идущие подряд, начиная с некоторой клетки плоскости), чтобы, начав с некоторой неудалённой клетки, обойти всю оставшуюся плоскость? Разрешается переходить из любой клетки плоскости на любую соседнюю по горизонтали или вертикали неудалённую клетку, которая не была пройдена ранее.
6. Можно ли разбить квадрат на треугольники так, чтобы каждый треугольник граничил (по отрезку) не менее чем с четырьмя другими?
7. Найдите все рациональные положительные числа a и b, такие что числа a+b+1/ab и 1/a+1/b+ab – целые.
8. С конечной последовательностью нулей и единиц разрешается производить следующие операции: заменять 01 на 100 или на 110. Может ли для некоторой начальной последовательности процесс замен продолжаться бесконечно?

Лига 8Б

1. Укажите три такие цифры a, b, c, чтобы сумма ab+bc+ca являлась квадратом целого числа.
2. Покажите, как произвольный прямоугольник разрезать на пять равнобедренных треугольников?
3. На конференцию приехали 26 ученых с Земли и Марса. У каждого марсианина – одна голова и пять рук, но у марсиан-мутантов есть шестая рука. Всего у участников конференции 62 руки. Сколько марсиан-мутантов приехало на конференцию?
4. У четырехугольника ABCD нет параллельных сторон. Точки E и F таковы, что EBCD и ABFD – параллелограммы. Докажите, что если точки A, C, E, F не лежат на одной прямой, то AEFC – параллелограмм.
5. Сумма нескольких последовательных целых чисел равна 1175, а сумма ровно половины меньших из них равна 575. Найдите эти числа.
6. На координатной прямой отметили точки с координатами 1, 2, ..., 2005. Какое наибольшее количество отрезков с концами в этих точках можно отметить, чтобы никакой отрезок не находился внутри другого?
7. Сколькими способами таблицу 8 ´  8 можно заполнить единицами и нулями, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике из трех клеток была четной?
8. В ряд выписаны числа: 2², 3², 4², ..., 2001². Можно ли между ними поставить знаки "+" и "√", чтобы значение полученного выражения равнялось нулю?

Лига 9А

1. ABC – остроугольный треугольник. На стороне AB, как на диаметре, построили окружность, которая пересекает высоту CC', и её продолжение в~точках M и N. Окружность, построенная на диаметре AC пересекает высоту BB' её продолжение в точках P и Q. Докажите, что точки M, N, P, Q лежат на одной окружности.
2. В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителям посёлка.
3. В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые, а угол ADB в два раза больше угла BDC. Точка K такова, что точка C – середина отрезка BK, а O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD. Найти величину угла KOD.
4. Докажите, что для любого натурального n 1/n+1 (1+1/3+... + 1/2n-1)³ 1/n(1/2+1/4+...+1/2n).
5. Можно ли разбить квадрат на треугольники так, чтобы каждый треугольник граничил (по отрезку) не менее чем с четырьмя другими?
6. На бесконечной ленте написана последовательность ненулевых цифр. Докажите, что либо какая-то комбинация повторится 10 раз подряд, либо можно вырезать 10 стозначных чисел, идущих в порядке убывания.
7. На доске написаны числа 2, 5, 7. За одну операцию разрешается заменить числа a и b на числа a+b-(a²+b²)^1/2 и a+b+(a²+b²)^1/2. Можно ли за несколько операций получить число меньшее 1?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Найдите все рациональные положительные числа a и b, такие что числа a+b+1/ab и 1/a+1/b+ab – целые.
10. С конечной последовательностью нулей и единиц разрешается производить следующие операции: заменять 01 на 100 или на 110. Может ли для некоторой начальной последовательности процесс замен продолжаться бесконечно?

Лига 9Б

1. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора {1,2,...,100}, чтобы сумма никаких двух чисел не делилась на их разность?
2. Найдите все такие пары квадратных трехчленов x²+ax+b и x²+cx+d, что корни второго трехчлена - числа a и b (и только они), а корни первого трехчлена – числа c и d (и только они).
3. Около квадрата со стороной 7 описан ромб, причём диагонали ромба параллельны сторонам квадрата. Найдите его диагонали, если известно, что они равны целым числам.
4. На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен конкурс на должность мэра. Каждый из n претендентов на эту должность сделал заявление, а именно: k-й претендент (1£ k£ n) сказал: "Не считая меня, среди претендентов лжецов на k больше, чем рыцарей." Сколько человек претендует на должность мэра?
5. a, b, c, d – положительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что a²+b²+c²+d²+ab+ac+ad+bc+bd+cd³ 10.
6. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром 2^1/2 можно расставить на доске размером 7x7 клеток (длина стороны клетки равна 1) так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна точка была накрыта некоторой фишкой?
7. Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд буквы А и Б (слева направо одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных книг или ничего не меняет (это тоже считается ходом). Игра заканчивается, когда оба сделают по 2005 ходов. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого получился палиндром (т.е. слово, котороен читается одинаково слева направо и справа налево)?
8. Точечный прожектор освещает угол 60^o. Можно ли поставить три таких прожектора внутри площадки в виде равностороннего треугольника, чтобы полностью её осветить? (Прожектор – точка внутри тругольника).

Лига 10А

1. В множестве X, состоящем из n элементов, выделены m>1 подмножеств T_i, которые содержат по 4 элемента и удовлетворяют следующим условиям:
   1) всякие два выделенных подмножества пересекаются ровно по одному элементу;
   2) всякая пара элементов из X содержится ровно в одном выделенном подмножестве. Найдите все возможные значения n и m.
2. Дан выпуклый n-угольник. Докажите, что если через каждую тройку последовательных вершин провести окружность, то наибольшая из этих окружностей содержит многоугольник.
3. Дано бесконечное множество натуральных чисел, каждое из которых является произведением не более чем 2005 простых чисел. Докажите, что можно выбрать бесконечное подмножество этого множества и число k такое, что НОД любых двух чисел в выбранном подмножестве равен k.
4. Двое игроков по очереди закрашивают незакрашенные клетки доски 8x8 в белый и черный цвет соответственно. Выигрывает тот, у кого совокупность клеток его цвета распадается на большее число связных (по сторонам) фигур. Оба игрока достаточно мудры. Каков будет исход игры?
5. Действительные числа x₁, ... , x₁₀ удовлетворяют соотношениям x₁+...+x₁₀=12, x₁x₂+...x_ix_j+...+x₉x₁₀=31, (1£i < j £ 10). Найдите максимальное возможное значение x₁.
6. Диагональ AC вписанного четырехугольника ABCD делится точками P и Q на 3 равные части так, что P лежит между A и Q. Прямые BP и DQ пересекаются в точке R, причем RA=RC. Докажите, что если точки L и M делят диагональ BD на три равные части так, что L лежит между B и M, то точка пересечения прямых AL и CM равноудалена от B и D.
7. Для произвольного натурального числа X пусть S(X) обозначает сумму его цифр. Докажите, что S(8X)/S(X)³ 1/8.
8. Найдите все функции f(x) такие, что для любых действительных x и y верно равенство f²((x+y)/2)=f(x+y)f(x-y).

Лига 10Б

1. На координатной плоскости отмечены 100 точек, так, что любые четыре из них лежат на графике некоторого квадратного трехчлена. Докажите, что все точки лежат на графике одного квадратного трехчлена.
2. По окончании шахматного турнира выяснилось, что каждый из участников белыми фигурами выиграл столько партий, сколько все оставшиеся выиграли черными. Верно ли, что каждый из участников выиграл одно и тоже количество партий?
3. A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈A₉ – правильный девятиугольник. Что больше – сумма площадей треугольников A₁A₂A₉, A₃A₈A₉, A₄A₇A₈ и A₅A₆A₇ или сумма площадей треугольников A₂A₃A₉, A₃A₄A₈ и A₄A₅A₇?
4. Докажите, что при любых x, y и z справедливо неравенство sin x× cos y + sin y× cos z + sin z× cos x £ 3/2.
5. Дано натуральное число N. Каждую секунду Коля приписывает к этому числу справа какую-то из цифр, отличную от девятки (не обязательно каждый раз одну и ту же). Докажите, что как бы ни действовал Коля, рано или поздно получится составное число.
6. Биссектриса угла А остроугольного треугольника ABC пересекает описанную вокруг треугольника окружность в точке Z. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC пересекают отрезок AZ в точках X и Y. Докажите, что AX=ZY.
7. Дан клетчатый квадрат со стороной, большей единицы. Разрешается обводить любые прямоугольники в этом квадрате по линиям сетки. Можно ли добиться того, чтобы по каждому единичному отрезку сетки этого квадрата провели нечетное число раз?
8. Каждый депутат Думы поссорился ровно с тремя другими депутатами. Президент обязал спикера разбить депутатов на n фракций так, чтобы внутри каждой фракции царило согласие. При каком наименьшем n это возможно всегда? (независимо от количества депутатов и того, кто с кем поссорился)

Лига 11А

1. В множестве X, состоящем из n элементов, выделены m>1 подмножеств T_i, которые содержат по 4 элемента и удовлетворяют следующим условиям:
   1) всякие два выделенных подмножества пересекаются ровно по одному элементу;
   2) всякая пара элементов из X содержится ровно в одном выделенном подмножестве. Найдите все возможные значения n и m.
2. Дан выпуклый n-угольник. Докажите, что если через каждую тройку последовательных вершин провести окружность, то наибольшая из этих окружностей содержит многоугольник.
3. Дано бесконечное множество натуральных чисел, каждое из которых является произведением не более чем 2005 простых чисел. Докажите, что можно выбрать бесконечное подмножество этого множества и число k такое, что НОД любых двух чисел в выбранном подмножестве равен k.
4. Двое игроков по очереди закрашивают незакрашенные клетки доски $8\times 8$ в белый и черный цвет соответственно. Выигрывает тот, у кого совокупность клеток его цвета распадается на большее число связных (по сторонам) фигур. Оба игрока достаточно мудры. Каков будет исход игры?
5. Диагональ AC вписанного четырехугольника ABCD делится точками P и Q на 3 равные части так, что P лежит между A и Q. Прямые BP и DQ пересекаются в точке R, причем RA=RC. Докажите, что если точки L и M делят диагональ BD на три равные части так, что L лежит между B и M, то точка пересечения прямых AL и CM равноудалена от B и D.
6. Для произвольного натурального числа X пусть S(X) обозначает сумму его цифр. Докажите, что S(8X)/S(X)³ 1/8.
7. На каждом ребре тетраэдра выбрано по точке. Докажите, что объем хотя бы одного из четырех получившихся тетраэдров (примыкающих к вершинам исходного) не превосходит 1/8 объема исходного тетраэдра.
8. Найдите все функции f(x) такие, что для любых действительных x и y верно равенство f²((x+y)/2)=f(x+y)f(x-y).

Лига 11Б

1. Найдите все натуральные числа а такие, что десятичная запись числа а(а + 1) начинается с десятичной записи числа (а + 2).
2. Докажите, что в любом треугольнике отношение наименьшей высоты к наименьшей биссектрисе больше, чем 2^-1/2.
3. В коробке лежат 2000 белых шариков. Кроме того, имеется неограниченный запас белых, зеленых и красных шариков вне коробки. Разрешается вынуть из коробки два шарика и заменить их одним или двумя по следующему правилу: два белых на один зеленый, два красных на один зеленый, два зеленых на белый и красный, белый и зеленый на красный, а зеленый и красный на белый. Может ли в коробке после нескольких операций остаться только один шарик?
4. В треугольной пирамиде SABC ребра удовлетворяют равенствам АВ² + CS² = AC² + BS² = AS² + BC². Докажите, что по крайней мере одна из граней пирамиды является остроугольным треугольником.
5. Для скольких пар натуральных чисел (p; q), каждое из которых не превосходит 100, уравнение x⁵ + px + q = 0 имеет хотя бы один рациональный корень.
6. На плоскости имеется конечное число квадратов, покрывающих общую площадь 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько непересекающихся квадратов, занимающих общую площадь более.
7. Докажите, что в любой арифметической прогрессии из натуральных чисел с разностью, меньшей 2005, не может находиться 12 последовательных членов, являющихся простыми числами.
8. На олимпиаде было предложено 5 задач, и несколько участников получили первые премии. Известно, что никакие четверо из них не решили в совокупности всех пяти задач, но любые пятеро решили – также в совокупности – все задачи. Сколько человек получили первую премию?