Приглашение

Матпраздник

Задачи

Решения

Победители

Оргкомитет




Rambler's Top100
Rambler's Top100

i


15-й Математический Праздник.
15 февраля 2004 года

Условия задач.

7 класс

Задача 1. [4 балла]
Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

Задача 2. [4 балла]
Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть? (Если да, нарисуйте пример, если нет, обоснуйте ответ.)

Задача 3. [4 балла]
На доске написаны три правильные несократимые дроби, дающие в сумме единицу, причем их числители - различные натуральные числа. Оказалось, что если каждую из этих дробей "перевернуть" (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей будет натуральным числом. Приведите пример таких дробей.

Задача 4. [7 баллов]
Таня написала название своего родного города и все его циклические сдвиги, получив таблицу 1.
Затем, упорядочив эти "слова" по алфавиту, она составила таблицу 2 и выписала её последний столбец: ВКСАМО . 

Таблица 1   Таблица 2

 МОСКВА      АМОСКВ
 АМОСКВ      ВАМОСК
 ВАМОСК      КВАМОС
 КВАМОС      МОСКВА
 СКВАМО      ОСКВАМ
 ОСКВАМ      СКВАМО
Валера сделал то же самое с названием своего родного города и получил "слово" ОССНГСОРОК . Что это за город, если его название заканчивается на букву К ?

Задача 5. [6 баллов]
Сложите из фигур, изображенных на рисунке, квадрат размером 9*9 с вырезанным в его центре квадратом 3*3 (фигуры можно не только поворачивать, но и переворачивать).

Задача 6. [8 баллов]
Из Цветочного города в Солнечный ведет шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и т. д., а на четвёртом и на шестом километрах расположены светофоры, которые две минуты горят красным светом и три минуты - зеленым и т. д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?

Дата последнего изменения — 15 февраля 2004 года