|
||||||||||
29-й Математический Праздник
18 февраля 2018 года
Условия задач
На выполнение заданий отводилось 2 часа (120 минут),
для записи решений школьникам предлагались специальные бланки
(бланк с заданиями 6 класса: blank6.pdf;
7 класса: blank7.pdf.)
6 класс
Задача 1. [3 балла] (А. В. Шаповалов)
Паук сплёл паутину, и во все её 12 узелков
попалось по мухе или комару. При этом каждое насекомое
оказалось соединено отрезком паутины ровно с двумя комарами.
Нарисуйте пример, как это могло быть (написав
внутри узелков буквы М и К).
Задача 2. [4 баллов] (Е. В. Бакаев)
Незнайка выписал семь двузначных чисел в
порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил
одинаковыми буквами, а разные — разными. Получилось
вот что:
Докажите, что Незнайка что-то перепутал.
Задача 3. [6 баллов] (А. В. Хачатурян)
Автобусная остановка B расположена на прямолинейном шоссе между остановками
A и C. Через некоторое время после выезда из A автобус оказался в такой
точке шоссе, что расстояние от неё до одной из трёх остановок равно сумме расстояний до двух других. Ещё через
такое же время автобус снова оказался в точке с таким
свойством, а ещё через 25 минут доехал до B. Сколько
времени требуется автобусу на весь путь от A до C, если
его скорость постоянна, а на остановке B он стоит 5 минут?
Задача 4. [3+5 баллов] (М. А. Евдокимов)
Учительница написала на доске двузначное
число и спросила Диму по очереди, делится ли оно на 2?
на 3? на 4? … на 9? На все восемь вопросов Дима ответил
верно, причём ответов «да» и «нет» было поровну.
а) Можете ли вы теперь ответить верно хотя бы на один
из вопросов учительницы, не зная самого числа?
б) А хотя бы на два вопроса?
Задача 5. [7 баллов] (А. В. Шаповалов)
Шесть математиков пошли на рыбалку. Вместе они наловили 100 рыб,
причём все поймали разное количество. После рыбалки они заметили, что любой из
них мог бы раздать всех своих рыб другим рыбакам так,
чтобы у остальных пятерых стало поровну рыб. Докажите,
что один рыбак может уйти домой со своим уловом и
при этом снова каждый оставшийся сможет раздать всех
своих рыб другим рыбакам так, чтобы у них получилось
поровну.
Задача 6. [8 баллов] (М. А. Евдокимов)
Разрежьте квадрат 9×9 клеток по линиям
сетки на три фигуры равной площади так, чтобы периметр
одной из частей оказался равным сумме периметров двух
других.
7 класс
Задача 1. [4 балла] (И. В. Раскина)
В разноцветной семейке было поровну белых, синих и полосатых детей-осьминожков.
Когда несколько синих осьминожков стали полосатыми, папа решил посчитать детей.
Синих и белых вместе взятых оказалось 10, зато белых и полосатых вместе взятых — 18.
Сколько детей в разноцветной семейке?
Задача 2. [6 баллов] (А. В. Шаповалов)
Использовав каждую из цифр от 0 до 9 ровно
по разу, запишите 5 ненулевых чисел так, чтобы каждое
делилось на предыдущее.
Задача 3. [8 баллов] (И. В. Ященко)
Все клетки верхнего ряда квадрата 14×14
заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком
(см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком
в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода
заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой
(по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы
продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки.
Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как
можно меньше клеток?
Задача 4. [8 баллов] (М. А. Евдокимов)
Два квадрата и равнобедренный треугольник
расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника).
Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
Задача 5. [10 баллов] (Ю. С. Маркелов)
Фигурки из четырёх клеток называются тетрамино.
Они бывают пяти видов (см. рис.). Существует ли
такая фигура, что при любом выборе вида тетрамино эту
фигуру можно составить, используя тетраминошки только
выбранного вида? (Переворачивать тетраминошки можно.)
Задача 6. [10 баллов] (М. А. Хачатурян)
Робин Гуд взял в плен семерых богачей и
потребовал выкуп. Слуга каждого богача принёс кошелёк
с золотом, и все они выстроились в очередь перед шатром,
чтобы отдать выкуп. Каждый заходящий в шатер слуга
кладёт принесённый им кошелёк на стол в центре шатра и,
если такого или большего по тяжести кошелька ранее
никто не приносил, богача отпускают вместе со слугой.
Иначе слуге велят принести ещё один кошелёк, который был
бы тяжелее всех, лежащих в этот момент на столе. Сходив
за очередным кошельком, слуга становится в конец очереди.
Походы за кошельками занимают у всех одинаковое
время, поэтому очерёдность захода в шатёр не сбивается.
Когда Робин Гуд отпустил всех пленников, у него на столе
оказалось: а) 28; б) 27 кошельков. Каким по счёту стоял
в исходной очереди слуга богача, которого отпустили последним?
Опубликовано 6 июня 2018 года