5-й Математический Праздник в Математической вертикали
18 февраля 2024 года

Условия задач

На выполнение заданий отводилось 2 часа (120 минут), для записи решений школьникам предлагались специальные бланки (бланк с заданиями 6 класса: blank6-vert.pdf; 7 класса: blank7-vert.pdf).

6 класс

Задача 1. [4 балла] (Т. Казицына)
Белая, серая, чёрная, рыжая и жёлтая мышки едят сыр только своего цвета. Федя знает, что мышки живут в пяти норках вдоль стены, при этом белая мышка живёт рядом с серой и рядом с чёрной, а рыжая и серая не живут рядом. Федя положил перед норками сыр: перед первой (самой левой) норкой—серый, перед второй — рыжий, перед третьей — белый, перед четвёртой — жёлтый, перед пятой — чёрный. В результате ни один кусок не оказался съеден. Для каждой норки запишите, какая мышка в ней живёт.

Задача 2. [5 баллов] (Т. Казицына)
У Кати и Маши расчёски одинаковой длины. У каждой расчёски все зубчики одинаковые, а расстояния между зубчиками равны ширине зубчика. В Катиной расчёске 11 зубчиков (см. рис.). Сколько зубчиков в Машиной расчёске, если они в пять раз уже зубчиков Катиной расчёски?

Задача 3. [5 баллов] (Т. Казицына)
Из прямоугольника 3×6 вырезали одну клетку (см. рис.). «Пришейте» эту клетку в другом месте так, чтобы получилась фигура, которую можно разрезать на две одинаковых. Нарисуйте получившуюся фигуру и как её нужно разрезать.

Задача 4. [7 баллов] (А. Шаповалов)
В сумме
П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й
все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Каким именно?
а) Приведите пример, как такое может быть. [4 балла]
б) Найдите все целые числа, которым может равняться такая сумма. Для каждого возможного значения приведите пример, как оно получается. [3 балла]

Задача 5. [8 баллов] (М. Евдокимов)
Миша сложил из восьми брусков куб (см. рис.). Все бруски имеют один и тот же объём, серые бруски одинаковые и белые бруски тоже одинаковые.
а) Во сколько раз короткое ребро чёрного бруска меньше ребра куба? [3 балла]
б) Какую часть ребра куба составляют длина, ширина и высота белого бруска? [5 баллов]

Задача 6. [9 баллов] (А. Шаповалов)
Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника, который я тебе укажу. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!»
Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание, если прямоугольник, в клетках которого нужно расставить шкатулки, имеет размер
а) 1×6? [4 балла]
б) 2×3? [5 баллов]

7 класс

Задача 1. [4 балла] (Т. Казицына)
У Кати и Маши расчёски одинаковой длины. У каждой расчёски все зубчики одинаковые, а расстояния между зубчиками равны ширине зубчика. В Катиной расчёске 11 зубчиков (см. рис.). Сколько зубчиков в Машиной расчёске, если они в пять раз уже зубчиков Катиной расчёски?

Задача 2. [4 балла] (А. Шаповалов)
В сумме
П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й
все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Приведите пример, как такое может быть.

Задача 3. [5 балла] (И. Русских)
Коля пришёл в музей современного искусства и увидел квадратную картину в раме необычной формы, состоящей из 21 равного треугольника. Коля заинтересовался, чему равны углы этих треугольников. Помогите ему их найти.

Задача 4. [5 баллов] (И. Ященко)
Расставьте в клетки квадрата 3×3 различные целые положительные числа, каждое из которых меньше 20, так, чтобы в любой паре соседних по стороне клеток одно число делилось на другое.

Задача 5. [7 баллов] (Т. Голенищева-Кутузова)
На продолжении основания 𝐴𝐶 равнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрали точку 𝐾 так, что 𝐶𝐾 = 1 (см. рис.). Точка 𝐻 на стороне 𝐴𝐵 такова, что 𝐾𝐻 и 𝐴𝐵 перпендикулярны, 𝐴𝐻 = 1. Найдите периметр треугольника 𝐴𝐵𝐶, если 𝐴𝐶 = 2.

Задача 6. [9 баллов] (А. Шаповалов)
Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника, который я тебе укажу. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!»
Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание, если прямоугольник, в клетках которого нужно расставить шкатулки, имеет размер
а) 1×6? [4 балла]
б) 2×3? [5 баллов]

Опубликовано 20 февраля 2024 года