15-й Математический Праздник.
15 февраля 2004 года

Условия и решения задач.

6 класс

Задача 1. [3 балла]
Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?
Ответ. Может.
Указание. 5*5-8=17.

Задача 2. [5 баллов]
Килограмм говядины с костями стоит 78 рублей, килограмм говядины без костей — 90 рублей, а килограмм костей — 15 рублей. Сколько граммов костей в килограмме говядины?
Ответ. 160 граммов.
Решение. Пусть в килограмме говядины x кг костей, тогда "чистой" говядины в нём (1-x) кг. Таким образом, 15x+90(1-x)=78, откуда x=0,16 .

Задача 3. [а - 1 балл, б - 3 балла]
a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых - целое число, а если каждую из этих дробей "перевернуть" (т. е. заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.
б) То же, но числители дробей - не равные друг другу натуральные числа.
Ответ. Да, может. Например, 2/11, 3/11, 6/11.

Задача 4. [а - 3 балла, б - 5 баллов]
Сложите из фигур, изображенных на рисунке,

а) квадрат размером 9*9 с вырезанным в его центре квадратом 3*3;
б) прямоугольник размером 9*12. (Фигуры можно не только поворачивать, но и переворачивать.)
Ответ.

a)	б)

Задача 5. [6 баллов]
Вадик написал название своего родного города и все его циклические сдвиги, получив таблицу 1.
Затем, упорядочив эти "слова" по алфавиту, он составил таблицу 2 и выписал её последний столбец: ВКСАМО .

Таблица 1   Таблица 2

 МОСКВА      АМОСКВ
 АМОСКВ      ВАМОСК
 ВАМОСК      КВАМОС
 КВАМОС      МОСКВА
 СКВАМО      ОСКВАМ
 ОСКВАМ      СКВАМО