12-й Математический Праздник.
18 февраля 2001 года

Условия и решения задач.

7 класс

Задача 1 [4 балла].
В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно 23021³⁷⁷-1. Не опечатка ли это?
Автор: С. Маркелов

Ответ: Конечно, это опечатка.

Решение
Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность 23021³⁷⁷-1 оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.
На самом деле наибольшим известным сегодня простым числом является число 2^3021377-1. Простые числа вида 2ⁿ-1 называют числами Мерсенна (по имени математика 17 века М. Мерсенна, который их исследовал). Можно доказать, что при составном n число 2ⁿ-1 составное. Поэтому числа Мерсенна соответствуют простым n. Например, 2²-1=3, 2⁵-1=31, 2⁷-1=127... - простые числа. Однако нельзя утверждать, что каждому простому числу p соответствует простое число 2^р-1. Например, 2¹¹-1 - составное. Поиском чисел Мерсенна занимались многие выдающиеся математики, например, Эйлер доказал, что число 2³¹-1 - простое. Конечно или бесконечно их множество - вопрос, на который пока нет ответа.

Задача 2 [5 баллов].
Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 руб. После каждого удачного выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха - уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов выстрелов у него оказаться 80 рублей 19 копеек?
Автор: И. Ященко

Ответ: Да, могло, если он попал только один раз, а три раза промахнулся.

Решение
Решение проще всего найти, если разложить 8019 на множители: 8019=9*9*9*11.

Задача 3 [7 баллов].
Для постройки типового дома не хватало места. Архитектор изменил проект: убрал 2 подъезда и добавил 3 этажа. При этом количество квартир увеличилось. Он обрадовался и решил убрать еще 2 подъезда и добавить еще 3 этажа. Могло ли при этом квартир стать даже меньше, чем в типовом проекте? (В каждом подъезде одинаковое число этажей, и на всех этажах во всех подъездах одинаковое число квартир.)
Авторы: В. Гуровиц, И. Ященко

Ответ: Да, могло. Например, если в исходном проекте было 4 подъезда, 1 этаж и на каждом этаже по одной квартире: 4*1=4, 2*3=6, 0*5=0.

Задача 4 [10 баллов].
В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок):

Ответ:

Задача 5 [10 баллов].
Отметьте на доске 8*8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.
Автор: А. Спивак

Решение
Будем рассуждать, используя шахматную доску.
Заметим, что белые клетки граничат по стороне только с черными и наоборот. Поэтому сначала отметим несколько белых клеток так, чтобы у каждой черной клетки был ровно один отмеченный сосед (на рисунке слева). Затем отметим несколько черных клеток, чтобы и у каждой белой клетки появился отмеченный сосед (на рисунке справа), при этом у черных клеток новых отмеченных соседей не появится.

Ответ: