10-й Математический Праздник.
21 февраля 1999 года

7 класс

1. Числитель и знаменатель дроби - целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

Решение. Сумма числителя и знаменателя равна 101. Значит, чем больше числитель дроби, тем меньше ее знаменатель - и тем больше сама дробь. Видно, что 25/76 еще меньше 1/3, а 26/75 - уже больше.

Ответ: 25/76.

2. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

3. См. задачу 4 для 6 класса.

4. Два пешехода вышли на рассвете. Каждый шел с постоянной скоростью. Один шел из A в B, другой - из B в A. Они встретились в полдень и, не прекращая движения, пришли: один в B в 4 часа вечера, а другой - в A в 9 часов вечера. В котором часу в тот день был рассвет?

Решение. Пусть от рассвета до полудня прошло x часов. Первый пешеход шел x часов до полудня и 4 после, второй - x до полудня и 9 после. Заметим, что отношение времен равно отношению длин путей до и после точки встречи, так что x:4 = 9:x Из этой пропорции находим, что x=6.

Ответ: рассвет был в 6 часов утра.

5. См. задачу 5 для 6 класса.

6. Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.

Решение. Если два квадрата из девяти находятся в одной горизонтальной строке, то они имеют одинаковую высоту, а будучи квадратами - и одинаковую ширину, так что в этом случае все доказано. Точно так же можно рассуждать, если два квадрата окажутся в одном вертикальном столбце. Осталось рассмотреть третий случай, когда все квадраты находятся в разных строках и в разных столбцах. Тогда они попадают в девять столбцов из десяти и в девять строк из десяти, и остается одна свободная строка и один свободный столбец. В пересечении свободной строки и свободного столбца будет еще один, десятый, квадрат. (В самом деле, ширину свободного столбца можно найти, вычтя суммарную ширину девяти квадратов из ширины большого квадрата. Точно так же высота свободной строки равна разности высоты большого квадрата и суммы высот девяти квадратов, а высота любого квадрата равна его ширине.) Но по условию десятого квадрата нет, так что третий случай невозможен.

Дата последнего изменения: 17 января 2000 года