7-й класс

1. (3 балла) Основание пустого стакана, плавающего в воде, погружается на глубину 7 см. Стакан вынули из воды, перевернули и снова пустили в воду так, что он плавает вверх дном. Найти давление воздуха внутри стакана.

2. (4 балла) Два жука ползут с одной и той же скоростью по ребрам проволочного куба (куб, составленный из проволочек одинаковой длины, соединенных в вершинах куба) так, что брюшко жука направлено к центру куба. Каждый жук при достижении вершины поворачивает налево, если на предыдущей вершине он повернул направо, и направо - если на предыдущей вершине он повернул налево. Если два жука одновременно начали двигаться из одной вершины по разным ребрам, то где они встретятся?

3. (5 балла) Пассажир в метро бежит вниз по эскалатору, идущему вниз, и считает ступеньки. Пробежав весь эскалатор, он насчитал 100 ступенек. Проделав тоже самое на эскалаторе,идущем вверх, он насчитал 300 ступенек. Сколько ступенек на неподвижном эскалаторе?

4. (2 балла) На рычажных весах уравновешены хрустальная ваза и свинцовый брусок. Нарушится ли равновесие и в какую сторону, если весы поместить на поверхность Луны? На дно океана?

5. (4 балла) Контейнер весом 500 Н и объемом 1 м³ заполнен стальными деталями и доверху залит машинным маслом. Общий вес залитого контейнера равен 45000 Н. Какой объем масла был залит в контейнер? (r_стали=7800 кг/м³; r_{машинное масло}=900 кг/м³)

Задача 1
Из Анискино (А) в Борискино (Б), расстояние между которыми 60 км, в 12.00 выехал и ехал с постоянной скоростью 10 км/ч велосипедист. Из Б в А выехал и ехал с постоянной скоростью 30 км/ч автомобиль. Они встретились на одинаковом расстоянии от А и Б. На каком расстоянии друг от друга они находились в 14.00, в 16.00?

Задача 2
Ширина футбольных ворот L=5 м. Вратарь массой m=80 кг подпрыгнул и, зацепившись рукой, повис на перекладине на расстоянии l=1 метр от правой штанги. Как изменилась разность сил давления перекладины ворот на правую и левую штанги?

Задача 1
Не дождавшись автобуса, пешеход пошел пешком к следующей автобусной остановке, павильон которой был виден вдали. Через некоторое время он обнаружил, что кажущаяся высота этого павильона в k=1,5 раза меньше кажущейся высоты павильона, от которого он отошел. Пройдя еще L=100 метров, пешеход заметил, что, наоборот, павильон впереди кажется ему в k=1,5 раза выше павильона позади. Найти расстояние между остановками. Считать, что кажущийся размер предмета обратно пропорционален расстоянию до него. Остановочные павильоны одинаковы, пешеход идет по соединяющей их прямой.

Задача 2
Для организации транспортного сообщения между населенными пунктами А и Б, расположенными на одной горизонтали на небольшом расстоянии l друг от друга, между ними прорывают тоннель, состоящий из двух одинаковых прямых участков (см. рис.). По рельсам внутри тоннеля скользит без трения безмоторная вагонетка. Какова должна быть максимальная глубина тоннеля h, чтобы время поездки от А до Б было минимальным? Чему равно это время? Считать, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величина скорости не изменяется.

Задача 3
Однородный тяжелый рычаг длиной L, один из концов которого шарнирно закреплен, находится в горизонтальном положении, опираясь на верхний конец жесткого штока Ш, по которому он может скользить (см. рис.). Второй конец штока прикреплен к поршню, плотно вставленному в одно из колен вертикальной неподвижной U-образной трубки с площадью поперечного сечения S, в которую налита жидкость плотностью r. После того, как в открытое колено трубки долили объем V той же самой жидкости, которая была в ней, рычаг после установления равновесия повернулся вокруг оси шарнира на угол a, а шток при этом сохранил вертикальное положение. Пренебрегая массами поршня, штока и трением, найти массу рычага m, если в исходном положении расстояние от верхнего конца штока до оси шарнира было равно L/4.

Задача 4
В "черном ящике" с тремя контактами находится схема, спаянная из идеальной батарейки и резистора. Если к контактам 1 и 2 подсоединить другой резистор с известным сопротивлением r, то через него будет течь ток I₁₂=/=0. При подсоединении этого же резистора к контактам 1 и 3 через него потечет ток I₁₃=/=0, причем I₁₃=/=I₁₂. При подключении этого резистора к контактам 2 и 3 ток через него течь не будет. Чему могут быть равны напряжение батарейки и сопротивление резистора, находящегося в "черном ящике"? Какие схемы могут находиться в "черном ящике"?

10-й класс

Задача 1
На массивный гладкий цилиндр радиуса R, движущийся поступательно со скоростью u, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перпендикулярно его оси со скоростью v (см. рис.). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилиндра, равно L (L<R). Найти величину скорости шарика v₁ после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.

Задача 2
Маленькую шайбу запустили по шероховатой горизонтальной поверхности со скоростью v₀=5 м/с. График зависимости скорости шайбы v от пройденного ею пути s изображен на рисунке. Какой путь пройдет шайба до полной остановки, если ее запустить из той же точки в том же направлении со скоростью v₀=4 м/с ?

Задача 3
На рисунке приведен график зависимости давления насыщенного пара некоторого вещества от температуры. Определенное количество этого вещества находится в закрытом сосуде постоянного объема в равновесном состоянии, соответствующем точке A на рисунке. До какой температуры следует охладить эту систему, чтобы половина имеющегося в сосуде вещества сконденсировалась? Объемом сконденсировавшегося вещества можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда.

Задача 4
Маленький шарик массы m с зарядом q, брошенный со скоростью v под углом a=45^o к горизонту, пролетев вдоль поверхности земли расстояние L, попадает в область пространства, в которой, кроме поля силы тяжести, имеется еще и однородное постоянное горизонтальное электрическое поле. Граница этой области вертикальна. Через некоторое время после этого шарик падает в точку, откуда был произведен бросок. Найти напряженность электрического поля E. Ускорение свободного падения равно g, влиянием воздуха пренебречь.

Задача 1
Телу массы m, находящемуся на горизонтальной поверхности, сообщили скорость v₀ в направлении оси OX. График зависимости скорости тела v от его координаты x изображен на рисунке. Найти зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты х.

Задача 2
Два закрытых сосуда емкостью V₁=10 литров и V₂=20 литров имеют жесткие стенки и поддерживаются при одинаковой постоянной температуре 0 ^oC. Сосуды соединены короткой трубкой с краном. Вначале кран закрыт. В первом сосуде находится воздух под давлением p₁=2 атм. при относительной влажности r₁=20%. Во втором сосуде находится воздух под давлением p₂=1 атм. при относительной влажности r₂=40%. Кран постепенно открывают так, что процесс выравнивания давлений в сосудах можно считать изотермическим. Найти минимальную и максимальную относительную влажность воздуха в сосуде емкостью 10 литров.

Задача 3
Заряженная частица двигалась в некоторой области пространства, где имеются взаимно перпендикулярные однородные поля: электрическое - с напряженностью E, магнитное - с индукцией B и поле силы тяжести g. Вектор скорости частицы при этом был постоянным и перпендикулярным магнитному полю. После того, как частица покинула эту область пространства и начала движение в другой области, где имеется только поле силы тяжести g, ее скорость начала уменьшаться. Через какое время после вылета частицы из первой области ее скорость достигнет минимального значения?

Задача 4
Одна из пластин плоского конденсатора в форме квадрата со стороной a закреплена горизонтально, на нее помещена большая тонкая пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e. По гладкой верхней поверхности листа диэлектрика может свободно скользить вторая пластина конденсатора массой m, имеющая такие же размеры и форму, как и первая. На обкладки конденсатора помещены заряды +Q и -Q, и система приведена в равновесие. Верхнюю пластину сдвигают по горизонтали на расстояние x<<a параллельно одной из сторон квадрата и отпускают без начальной скорости. Найти период колебаний этой пластины. Толщина диэлектрика d существенно меньше смещения верхней пластины x. Электрическое сопротивление у пластин отсутствует.

Задача 5
В случае помутнения хрусталика людям делают операцию по замене естественного хрусталика на искусственный. Искусственный хрусталик для глаза сделан так, что позволяет владельцу без очков четко видеть удаленные предметы. В отличие от естественного хрусталика, кривизна поверхностей которого может изменяться (при этом глаз фокусируется на выбранных объектах - это называется аккомодацией), искусственный хрусталик жесткий и "перестраиваться" не может. Оценить оптическую силу очков, дающих возможность без труда читать книгу, находящуюся на расстоянии d=0,3 м от глаза.

2-й тур (24.02.2002)

8-й класс

Задача 1

По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна v₁=36 км/ч, то через каждые t₁=10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости v₂=90 км/ч через каждые t₂=20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили колонны мимо инспектора, если он остановится?

Задача 2
Хулиган-двоечник прогуливался вблизи стройки и увидел такую страшную картину (см. рис.). Молодец-отличник стоял на краю горизонтальной доски длиной L=6 м, которая опиралась другим концом на край балкона второго этажа. Отличник держался за веревку, пропущенную через два блока, оси которых крепились на стене дома. Другой конец веревки был привязан к доске на расстоянии l=4 м от балкона. Двоечник бросился на помощь отличнику, но, не дойдя до него, услышал: "Ни шагу дальше, мы оба упадем!" При каком расстоянии S от края балкона до двоечника должен был это сказать молодец-отличник, чтобы катастрофы не случилось? Масса доски m_д=8 кг, масса хулигана-двоечника m_х=50 кг, масса молодца-отличника m_о=40 кг.

Задача 1
На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время t первая шайба прошла путь S₁, а вторая - путь S₂. Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами? Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.

Задача 2
Тело массы m=10 кг подвешено в лифте при помощи трех одинаковых легких веревок, натянутых вертикально. Одна из них привязана к потолку лифта, две другие - к полу. Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних веревок составляет F₀=5 Н. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направленным вверх. Найти установившуюся силу натяжения верхней веревки при следующих значениях ускорения лифта: a₁=1 м/с², a₂=2 м/с². Ускорение свободного падения равно g=9,8 м/с²,. Считать, что сила натяжения веревки пропорциональна ее удлинению.

Задача 3
Холодильник поддерживает в морозильной камере постоянную температуру T₀=-12 ^oC. Кастрюля с водой охлаждается в этой камере от температуры T₁= +29 ^oC до T₂= +25 ^oC за t₁=6 мин; а от T₃= +2 ^oC до T₄=0 ^oC - за t₂=9 мин. За сколько времени вода в кастрюле замерзнет (при 0 ^oC)? Теплоемкостью кастрюли пренебречь. Удельная теплоемкость воды C=4200 Дж/(кг*^oC), удельная теплота плавления льда l=336 кДж/кг.

Задача 1
Маленькая шайба скользит по винтовому желобу с углом наклона a к горизонту и радиусом R с постоянной скоростью v (см. рис.). Ось желоба вертикальна, ускорение свободного падения равно g. Чему равен коэффициент трения m между шайбой и желобом?

Задача 2
В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях L=1 м друг от друга лежат N=2002 маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на a=1%. Самому тяжелому шарику в момент времени t=0 сообщили скорость v=1 м/с в направлении остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найти, через какое время после этого начнет двигаться самый легкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь.

Задача 3
В вертикальный теплоизолированный цилиндрический сосуд с гладкими стенками, закрытый легким теплоизолирующим поршнем площадью S, поместили воду при температуре T₀=273 K и n молей гелия при температуре T<T₀. Через большое время после этого внутри сосуда установилась температура T₀. Пренебрегая давлением водяных паров, теплоемкостью сосуда и поршня, а также растворением гелия в воде, найти, на какое расстояние сместился поршень при установлении теплового равновесия. Удельная теплота плавления льда l, плотность льда r_л, плотность воды r_в>r_л. Давление над поршнем постоянно и равно нормальному атмосферному давлению p₀.

Задача 4
При измерении зависимости величины напряженности электрического поля от времени в некоторой точке пространства был получен график, изображенный на рисунке. Электрическое поле создается двумя одинаковыми точечными зарядами, один из которых неподвижен и находится на расстоянии d от точки наблюдения, а другой движется с постоянной скоростью. Найти величины зарядов, минимальное расстояние от движущегося заряда до точки наблюдения и скорость движущегося заряда.

Задача 1
На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиуса R (выпуклой стороной вверх). Из точки, находящейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найти минимально возможную скорость тела в момент его падения на плоскость.

Задача 2
В системе, изображенной на рисунке, прикрепленные к невесомым пружинам грузики при помощи нитей удерживаются на расстояниях L/2 от стенок, к которым прикреплены концы пружин. Длины обеих пружин в недеформированном состоянии одинаковы и равны L. Нити одновременно пережигают, после чего грузики сталкиваются и слипаются. Найти максимальную скорость, которую будут иметь грузики при колебаниях, возникших после этого столкновения. Удар при столкновении является центральным. Жесткости пружин и массы грузиков указаны на рисунке. Трением и размерами грузиков пренебречь.

Задача 3
Тепловая машина, рабочим телом которой является одноатомный идеальный газ, совершает работу в цикле 1-2-3-4-1, состоящем из двух изобар, изохоры и адиабаты (см. рис.). Найти КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если V₁=5 л, V₂=10 л, V₄=15 л, p₁=3,17*10⁵ Па, p₃=5,09*10⁴ Па.

Задача 4
Катушка состоит из среднего цилиндра радиусом r и двух крайних цилиндров радиусами R>r. Длинный тонкий провод плотно наматывают на катушку следующим образом: сначала обматывают один из крайних цилиндров, а затем продолжают наматывать этот же провод на средний цилиндр в том же направлении, в каком начинали намотку. После завершения намотки катушку кладут на горизонтальный стол, помещенный в однородное постоянное магнитное поле B, линии индукции которого параллельны оси катушки. К первому концу провода, лежащему на столе, подсоединяют идеальный вольтметр, а другой конец провода, касающийся неподвижного скользящего контакта, соединенного с вольтметром, начинают тянуть вдоль поверхности стола с постоянной скоростью v в направлении, перпендикулярном оси катушки (см. рис.). Считая, что катушка катится по столу без проскальзывания, найти показания вольтметра.

Задача 5
На расстоянии a=20 см от тонкой собирающей линзы вдоль ее главной оптической оси расположена тонкая короткая палочка. Длина ее действительного изображения, даваемого линзой, в k=9 раз больше длины палочки. Во сколько раз изменится длина изображения, если сдвинуть палочку параллельно оси на Da=5 см дальше от линзы? Замечание: при x<<1 справедлива формула 1/(1+x)~1-x.

3-й тур (02.03.2002)

1. ИГЛА. Измерение внутреннего диаметра иголки для шприца.
Приборы и оборудование: шприц с иглой, линейка, миллиметровая бумага, штатив с лапкой, стаканчик с водой. При необходимости можно просить кусочки липкой ленты и - на короткое время - измерительную рулетку.
Задание: измерить внутренний диаметр иголки для шприца и оценить погрешность измерения.
Осторожно, не уколитесь!

1. ОММЕТР. Измерение сопротивления двух резисторов.
Приборы и оборудование: две однотипные батарейки, соединенные последовательно два резистора с неизвестными сопротивлениями, еще один резистор с точно известным сопротивлением     кОм, универсальный вольтметр-амперметр (школьный), провода.
Задание: измерить сопротивление резисторов и оценить погрешность полученных результатов. Найти отношение разности сопротивлений этих резисторов к величине меньшего из них и оценить погрешность полученного значения.

1. ЧЕРНЫЙ ЯЩИК. Измерения на переменном токе.
Приборы и оборудование: черный ящик с двумя выводами, содержащий внутри сложную схему из ровно двух элементов, генератор звуковых частот, миллиамперметр переменного тока, резистор 440 Ом (это точное значение!), конденсатор известной ёмкости,     мкФ, провода, миллиметровая бумага.
Задание: определить содержимое черного ящика (ЧЯ) и схему соединения элементов, измерить параметры элементов, помещённых в ЧЯ, оценить погрешность полученных результатов.
Пожалуйста, постарайтесь сохранить в исправности выданное оборудование!
[В чёрном ящике находились параллельно соединённые резистор и конденсатор.]

2. ФОНАРЬ. Определение параметров оптических приборов.
Приборы и оборудование: фонарик, два оптических элемента - прозрачный и отражающий, штатив с лапкой, миллиметровая бумага.
Задание: определите тип оптических элементов и определите у каждого из них его главный параметр. Если сумеете - сделайте предположения о назначении тех устройств, от которых были отломаны эти оптические элементы.
Внимание! Ничего не рисуйте на выданных элементах, не царапайте, не ломайте и вообще не меняйте их начального состояния
[В качестве отражающего элемента был использован кусочек компакт-диска формата DVD, в качестве прозрачного - кусочек однократно записываемого диска CD-ROM. Нужно было определить растояние между дорожками - период дифракционной решётки.]