7-й класс

1. Две лягушки, большая и маленькая, прыгают по дорожке. Сначала они находятся рядом и первый прыжок делают одновременно. Маленькая лягушка делает один скачок на 5 см каждую секунду, а большая делает один скачок на 20 см каждые 3 секунды, но зато после каждого третьего прыжка отдыхает лишние 6 секунд. В результате маленькая лягушка то опережает большую, то отстает от неё. Через какое минимальное время после начала движения маленькая лягушка опередит большую так, что большая лягушка ее больше не нагонит. Считать, что лягушки делают прыжок почти мгновенно.

2. При нормальном давлении и температуре 20 ^oС плотность водорода равна 0,09 кг/м³, а плотность неизвестного газа в 35,5 раза больше плотности водорода. При одной и той же температуре и давлении все газы содержат одинаковое число молекул в единице объёма. Найти массу молекулы неизвестного газа, если масса молекулы водорода равна 3,3*10^-27 кг.

3. Плотность сухого песка равна 2,25*10³ кг/м³, а плотность очень влажного песка, насыщенного водой, равна 2,7*10³ кг/м³. Найти среднюю плотность песчинок.

4. Канат одним концом привязан к стене. Мальчик Петя держится за свободный конец каната и растягивает его горизонтально с силой 200 Н. Мальчик Миша берется за середину каната и тянет его по направлению к стене с силой 120 Н. Маша посредине между стеной и Мишей тянет канат в том же направлении, что и Петя, с силой 40 Н. Найти натяжение каната между стенкой и Машей.

5. Два автомобиля одновременно выезжают из двух городов, А и Б, и едут навстречу друг другу по одной дороге, соединяющей эти два города. Первый автомобиль, выехавший из А в Б, на первой половине пути имеет скорость 40 км/ч, на второй - 80 км/ч. Второй автомобиль первую половину времени своего движения из Б в А движется со скоростью 40 км/ч, а вторую половину времени - со скоростью 60 км/ч. Расстояние между городами 96 км. Найти, на каком расстоянии от города А произошла встреча автомобилей.

Задача 1
Велосипедисту и автобусу нужно проехать из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми равно 11 км. Они выезжают одновременно. Автобус, двигаясь со скоростью 60 км/ч, через каждый километр пути делает остановку на 2 мин. Велосипедист движется с постоянной скоростью, не останавливаясь. Какой должна быть скорость велосипедиста, чтобы он обгонял автобус на каждой промежуточной остановке между пунктами А и Б?

Задача 2
Алюминиевую болванку массой M=108 кг нужно переправить на противоположный берег озера. В качестве "плавсредства" можно использовать сосновое бревно с площадью поперечного сечения S=0,034 м². Болванка привязывается к бревну веревкой. Какова должна быть минимальная длина L бревна? Плотность алюминия r_а=2700 кг/м³, плотность древесины r_д=600 кг/м³, плотность воды r_в=1000 кг/м³, Сам переправляющий может плыть к тянуть бревно с болванкой за собой на веревке.

Задача 1
Два корабля находятся в море и движутся равномерно и прямолинейно. Первый в полдень был в 40 милях севернее маленького острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на восток. Второй в 8 часов утра этого же дня был в 100 милях восточное того же острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на юг. На каком минимальном расстоянии друг от друга прошли корабли и в какой момент времени это случилось?

Задача 2
В два одинаковых сообщающихся сосуда налита вода (см. рис.). В один их них кладут ледяной шарик объемом V=100 см³, который через небольшое время, после установления уровня воды в сосудах, оказался погруженным в воду ровно наполовину. Какая масса воды перетекла при этом во второй сосуд и какая перетечет потом, в процессе таяния льда? Плотность воды r_в=1000 кг/м³, плотность льда r_л=900 кг/м³.

Задача 3
В калориметр, в котором находилось m₀=100 г воды при температуре T₀=20 ^oC, по каплям с постоянной скоростью начинают наливать горячую воду постоянной температуры. График зависимости температуры T воды в калориметре от времени t изображен на рисунке. Найти температуру горячей воды, считая, что между падением капель в калориметре каждый раз успевает установиться тепловое равновесие. Потерями тепла пренебречь.

Задача 1
В автомобиле спидометр и счетчик пройденного пути регистрируют скорость автомобиля и пройденный им путь относительно поверхности, по которой движется автомобиль. Автомобиль последовательно проехал по двум конвейерам (движущимся дорожкам) длины L=500 м каждый. Полотна конвейеров движутся в одну сторону с постоянными скоростями v₁=20 км/ч и v₂=30 км/ч. По первому конвейеру автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а по второму конвейеру - с другой постоянной скоростью. Что показывал спидометр во время движения по каждому из конвейеров, если с момента въезда на первый конвейер до съезда со второго прошло время t=72 с, а счетчик пути показал, что при этом был пройден путь L. Расстоянием между конвейерами и временем переезда с первого конвейера на второй пренебречь.

Задача 2
Магазин пистолета представляет собой металлический пенал, внутри которого имеется легкий поршень, подпираемый пружиной. Когда магазин пуст, поршень касается его крышки. Магазин устроен таким образом, что из него можно вынимать только находящийся у крышки патрон - через небольшое отверстие в боковой стенке. После вынимания патрона поршень под действием пружины перемещается и передвигает все оставшиеся в магазине патроны к крышке. В магазин вставили N одинаковых патронов массы m и длины L, после чего вынули по очереди все патроны, держа магазин крышкой вверх (см. рис.). Коэффициенты трения между патронами, а также между патроном и крышкой и между патроном и поршнем одинаковы и равны m. На сколько работа против сил трения при опустошении магазина будет больше, если при вынимании патронов держать его крышкой вниз? Трением между патронами и боковыми стенками магазина, а также массой пружины пренебречь.

Задача 3
Космический корабль стартовал в вертикальном направлении с поверхности невращающегося сферически симметричного небесного тела, лишенного атмосферы. После выключения двигателя зависимость скорости корабля от времени имеет вид, показанный на рисунке. На каком расстоянии от центра небесного тела был выключен двигатель?

Задача 4
Над идеальным газом проводят процесс 1->2, который изображается на pV-диаграмме наклонным отрезком прямой (см. рис.). В начальном и конечном состояниях газ имеет одинаковую температуру T=300 K. Найти максимальную температуру газа в этом процессе, если конечный объем газа превышает начальный в n=3 раза.

Задача 1
На горизонтальном столе некоторая прямая линия разделяет две области: по одну сторону от этой линии стол гладкий, а по другую - шероховатый. На столе лежит однородная доска длиной L=1 м. Она расположена перпендикулярно линии и целиком находится на гладкой поверхности. К концу доски прикреплен один конец невесомой пружины, имеющей жесткость k=4 Н/м. Другой конец пружины начинают медленно тянуть в горизонтальном направлении вдоль доски так, что она перемещается через линию в сторону шероховатой поверхности. Для того, чтобы полностью перетащить доску на шероховатую поверхность, нужно совершить минимальную работу. A=17,5 Дж. Найти, какое при этом выделится количество теплоты. Пружина не касается шероховатой поверхности.

Задача 2
Идеальный одноатомныи газ находится в закрепленном теплоизолированном цилиндре, разделенном на две части неподвижной теплопроводящей перегородкой и закрытом слева подвижным поршнем, не проводящим тепло (см. рис.). Масса газа в левой части цилиндра равна m₁, а в правой - m₂. Давление на поршень медленно увеличивают, начиная с некоторого начального значения. Найти молярную теплоемкость газа в левой части цилиндра в данном процессе.

Задача 3
К проволочному каркасу K, имеющему вид окружности, прикрепили нить, которая связана из четырех кусков A, B, C и D с длинами, относящимися друг к другу, как 1:2:1:3. Каркас окунули в мыльный раствор, вынули и, удерживая каркас в вертикальной плоскости, проткнули образовавшуюся мыльную пленку между кусками нити B и D с длинами, относящимися как 2:3. Нить приняла форму, показанную на рисунке. Углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, все одинаковы и равны 120^o, а куски нити, прикрепленные к каркасу, вблизи узелков наклонены под углами 30120^o к горизонту. Расстояние между узелками L=4 см, коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора s=0,04 Н/м. Мыльная пленка настолько тонкая, что её массой можно пренебречь. Какова масса M всей мокрой нити?

Задача 4
Маленький шарик массы m с зарядом q падал в вязкой среде вдоль вертикальной прямой с постоянной скоростью v. В некоторый момент включили постоянное однородное горизонтальное магнитное поле, и через достаточно большое время после этого шарик стал двигаться с другой постоянной скоростью таким образом, что количество теплоты, выделяющейся в вязкой среде в единицу времени, уменьшилось в n раз по сравнению с движением в отсутствие магнитного поля. Найти, при какой максимальной величине индукции B магнитного поля такое движение возможно. Вид зависимости силы вязкого трения от скорости неизвестен.

Задача 5
Колебательный контур состоит из разнесенных в пространстве катушки индуктивности L с малым сопротивлением и плоского воздушного конденсатора емкостью C, расстояние между пластинами которого равно d. Пластины конденсатора не заряжены, и ток в контуре не течет. За время t<<(LC)^1/2 в области пространства, где находится конденсатор, создали однородное электрическое поде E, направленное перпендикулярно пластинам. Катушка при этом осталась вне электрического поля. Каким будет в дальнейшем максимальный ток в контуре?

2-й тур (24.02.2003)

8-й класс

Задача 1

К свинцовому грузу, имеющему температуру t₀=0 ^oC, привязали кусок льда массой M=1 кг и температурой t=-30 ^oC, после чего опустили их в большую бочку с водой температуры 0 ^oC. При этом лед и груз сначала утонули, а через некоторое время - всплыли. В каких пределах может находиться масса груза m? Плотность свинца r_с=11 г/см³ плотность воды r_в=1 г/см³, плотность льда r_л=0,9 г/см³, удельная теплоемкость льда c_л=2,2 Дж/(г*^oC), удельная теплота плавления льда l=330 Дж/г.

Задача 2
На плоском горизонтальном дне неглубокого озера находятся три маленьких пузырька воздуха, расположенных на одной прямой. Расстояния между соседними пузырьками равны 1 м и 2 м. Все три пузьфька одновременно оторвались от дна и начали всплывать с различными постоянными скоростями. Во время движения в воде пузырьки все время располагались так, что через них можно было провести прямую линию. Через 15 секунд после начала всплытия на поверхности воды показался один из пузырьков, а через 20 секунд после начала всплытия - другой. Через какое время после начала всплытия на поверхности появится последний из трех пузырьков?

Задача 1
Один корабль идет по морю на север с постояниой скоростью 20 узлов, а другой - навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на очень малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго - на северо-запад (см. рис.). Определить величину и направление скорости ветра. 1 узел = 1 морская миля в час, 1 морская миля = 1852 м.

Задача 2
В вертикальную стену вбиты два гвоздя так, что они лежат на одной вертикальной прямой. Кусок однородной проволоки массой m согнули в дугу в виде половины окружности и шарнирно прикрепили за один из концов к верхнему гвоздю A (cм. рис.). Дуга при этом оперлась на нижний гвоздь B. Найти величину силы, с которой проволока давит на верхний гвоздь, если известно, что в отсутствие нижнего гвоздя, когда проволока находится в равновесии, диаметр AC дуги составляет с вертикалью угол a₀. Расстояние между гвоздями равно радиусу дуги. Трения нет.

Задача 3
В системе, изображенной на рисунке, блоки имеют пренебрежимо малые массы, нить невесомая и нерастяжимая, не лежащие на блоках участки нити горизонтальны. Массы грузов, лежащих на горизонтальной плоскости, одинаковы и равны M. Нить тянут за свободный конец в горизонтальном направлении с силой F. С каким ускорением движется конец нити, к которому приложена эта сила? Трения нет, движение грузов считать поступательным.

Задача 1
На гладком горизонтальном столе находятся два груза массами 1 кг и 2 кг, скрепленные невесомой и нерастяжимой нитью. К середине нити между грузами прикреплена еще одна такая же нить, за которую тянут с силой 10 Н. В некоторый момент времени все отрезки нитей натянуты, расположены горизонтально и составляют между собой углы 90^o, 120^o и 150^o. Известно, что в этот же момент скорость более легкого груза равна 1 м/с, более тяжелого - 2 м/с, а вектор скорости каждого груза направлен перпендикулярно к отрезку нити, который прикреплен к данному грузу. Найти ускорения грузов в рассматриваемый момент времени, если известно, что они одинаковы по величине.

Задача 2
В машине Атвуда (см. рис.) массы грузов равны m₁ и m₂, блок и нить невесомы, трение отсутствует. Вначале более тяжелый груз m₁ удерживают на высоте h над горизонтальной плоскостью, а груз m₂ стоит на этой плоскости, причем отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найти, на какую максимальную высоту поднимется груз m₁ после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно g, блок находится достаточно далеко от грузов.

Задача 3
В установленной вертикально U-образной трубке площадью S с внутренним объемом V₀ находится жидкость плотностью r. Колена трубки одинаковы по высоте, одно из них открыто в атмосферу, а второе герметично соединено с сосудом объемом V₀, внутри которого находится идеальный одноатомный газ. Жидкость заполняет всю U-образную трубку (см. рис.). Найти количество теплоты, которое необходимо сообщить газу в сосуде для того, чтобы медленно вытеснить из трубки половину жидкости. Атмосферное давление постоянно и равно p₀. Давлением паров жидкости, поверхностным натяжением и потерями тепла пренебречь. Радиус полукруглого участка трубки, соединяющего ее колена, считать много меньшим высоты трубки.

Задача 4
На рисунке 1 приведена зависимость силы упругости f, возникающей при растяжении резинового стержня, от величины Dl его удлинения. Стержень очень медленно протягивают через щель, имеющую достаточно узкие закругленные края-щечки, так, как показано на рисунке 2. Каждая из щечек прижимается к стержню с постоянной силой F=30 Н. Коэффициент сухого трения между резиной и материалом щечек m=0,5, длина стержня в нерастянутом состоянии L=10 см. Какую работу совершат силы трения, действующие на стержень, к тому моменту, когда он весь будет протянут через щель?

Рис. 1		Рис. 2

Задача 1
Найти ускорение груза 1 в системе, изображенной на рисунке. Горизонтальная плоскость гладая, трения между грузами нет, нить и блоки невесомы, нить нераcтяжима, массы всех трех грузов одинаковы. В начальный момент все тела покоятся.

Задача 2
Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноагомный газ, соверщает работу в цикле 1-2-3-4-2-5-1, показанном на pV-диаграмме. Точки 1, 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат диаграммы, а точка 2 является серединой отрезка 1-3. Найти КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если максимальная температура газа в данном цикле отличается от минимальной температуры в n раз. Чему равен КПД этой тепловой машины прии n=4?

Задача 3
На горизонтальной поверхности лежит грузик массы m, соединенный с неподвижной вертикальной стенкой горизонтальной невесомой пружиной жесткостью k. Коэффициент трения между грузом и поверхностью m<<1. Известно, что после начального отклонения от положения равновесия вдоль оси пружины отпущенный без начально скорости грузик совершил много колебаний и прошел до остановки путь s. Оценить время, которое занял процесс колебаний от начала движения грузика до полной его остановки, а также погрешность полученного результата. Считать силу трения скольжения не зависящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя.

Задача 4
Монокристаллы галлия, как и ряда других проводников, обладают анизотропией сопротивления: удельное сопротивление r_x галлия вдоль главной оси симметрии монокристалла (оси X) максимально, а вдоль друго йоси, перпендикулярной оси X, минимально и равно r. Из кристалла галлия вырезали тонкую прямоугольную пластинку (см. рис.) длиной и a=3 см и шириной b=3 мм так, что ось X параллельна грани ABCD пластинки и образует с ребром AB угол a=60^o. Если между гранями пластинки, перпендикулярными AB, создать постоянную разность потенциалов V=100 мВ, то через пластинку потечет ток, и в ее середине между точками F и G поперечного сечения будет существовать разность потенциалов U=6,14 мВ. Найти отношение r_x/r.

Задача 5
Путнику, возвращавшемуся темной ночью домой, в cвою деревню, по дороге, идущей прямо к его дому, с расстояния r=5 км стал виден огонек свечи в одном из окон. Внутри дома вблизи соседнего окна стоит наряженная к Новому году елка с зеркальными шарами. На каком расстоянии от дома путнику станет видно отражение свечи в елочном шаре диаметром D=10 см, если он идеально отражает свет и находится на расстоянии a=1,8 м от свечи на линии, перпендикулярной дороге? Окна одинаковые, свеча горит ровно.

3-й тур (01.03.2003)

Оборудование: деревянный брусок, грузы массы 100 г - 2 шт., нить, миллиметровая бумага.

Задание: измерить коэффициент трения между поверхностью деревянного бруска и листом бумаги. Поверхность, по которой может скользить брусок, должна быть горизонтальной, наклонять подставку не разрешается!

Оборудование: термометр, горячая и холодная вода, терморезистор и прибор для измерения сопротивления (получается еще один термометр), стаканчики - стеклянный и пластмассовый, штатив, нить, миллиметровая бумага, монета старинная - ее масса 3 г.

Задание: измерить удельную теплоемкость материала монеты.

10-й класс

Оборудование: гирька цилиндрической массы     г, штатив, нить, миллиметровая бумага, брусок из пластилина.

Задание: измерить плотность пластилина.

Оборудование: две батарейки, универсальный измерительный прибор "АВОМЕТР школьный", планка с двумя резисторами 1 и 2, сопротивления которых неизвестны, и резистором, сопротивление которого известно (10 Ом), провода.

Задание: измерить разность сопротивлений 1 и 2 и оценить точность полученного результата.

Примечание: измерительный прибор не слишком точный и вовсе не идеальный!

11-й класс

Оборудование: генератор звуковых частот, миллиамперметр переменного тока, два конденсатора емкости 0,68 мкФ каждый, лампочка, резистор (его сопротивление неизвестно).

Задание: провести измерения и построить график зависимости тока через лампочку от приложенного напряжения. Найти отношение сопротивлений лампочки при токах 5 мА и 20 мА.

Примечания: генератор и миллиамперметр - школьные (ну, сами понимаете, не совсем идеальные). Лампочка выдерживает ток до 50 мА, при большем токе может и перегореть. Конденсатор можно считать идеальным.

Оборудование: вода со льдом, вода при комнатной температуре, газовый термометр - тонкая стеклянная трубка с внутренним диаметром 0,9 мм, на конце которой шарик объёма 1 см³, монеты - первая достоинством 5 копеек (масса 5 г), вторая - 1 рубль (масса     г), пластмассовый и стеклянный стаканчики, миллиметровая бумага.

Задание: измерить удельные теплоемкости материалов, из которых сделаны монеты.

Примечание: как сам экспериментатор, так и его фрагменты (но не принесенные с собой предметы!) входят в список оборудования - по умолчанию.