8-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зеленый - в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/час, проехав один из светофоров на зеленый свет, проезжают без остановки, т.е. тоже на зеленый свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зеленый свет, далее нигде не останавливаться?

2. Для того, чтобы измерить подъемную силу воздушного шарика, Вася использовал два тонких невесомых рычага I и II, оси которых O₁ и O₂ параллельны. Рычаги горизонтальны и имеют область "перекрытия" длиной x (см. рисунок). К свободному концу рычага I Вася привязал шарик, а на свободный конец рычага II поставил гирю массы M. Какой должна быть подъемная сила F шарика, чтобы он мог перетянуть гирю? А какой она должна быть, чтобы гиря перетянула шарик? Расстояния l₁, l₂, l₃ и l₄ считать известными.

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. На горизонтальной поверхности стоит круглое пластмассовое блюдце (см. рис.) с нижним и верхним радиусами R₁=6 см и R₂=8 см и массой m=5 г. На край блюдца и стол опирается металлический нож массой M, центр тяжести которого расположен на середине его длины. Какую долю от длины ножа может составлять его часть, нависающая над блюдцем, чтобы система оставалась в равновесии? Решите задачу при M=10 г, M=20 г и M=40 г. Трение между ножом и поверхностью стола отсутствует, а коэффициент трения между ножом и блюдцем достаточно большой, так что он не скользит по блюдцу.

2. На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой М с углом 45^o при основании. По его наклонной грани может двигаться без трения небольшое тело массой m (см. рис.). Чему должна быть равна и куда (вправо или влево) направлена горизонтальная сила, приложенная к клину, чтобы ускорение тела массой m было направлено:
(а) вертикально;
(б) горизонтально;
(в) составляло угол 45^o с вертикалью?
Клин не опрокидывается, ускорение свободного падения равно g.

3. Внутри куска льда без воздушных пузырей находится вмерзший камень, плотность которого r_к=2000 кг/м³, т.е. вдвое больше, чем у воды (r_в=1000 кг/м³). Масса куска льда вместе с камнем М=3 кг, а температура равна 0 ^oC. Этот кусок льда опустили в ведро объемом V=10 л с водой, причем оказалось, что ведро заполнено по самые края, а над поверхностью воды выступает только 5% от общего объема куска льда с камнем. Через некоторое время, после того, как часть льда растаяла, кусок льда полностью погрузился в воду и продолжал плавать, не касаясь в течение длительного времени ни дна, ни стенок ведра. Найти массу камня и температуру воды в ведре до опускания в него куска льда. Удельная теплоемкость воды C=4,2 кДж/(кг*^oC), плотность льда r_л=900 кг/м³, удельная теплота плавления льда l = 335 кДж/кг. Теплообменом с окружающей средой и тепловым расширением тел пренебречь.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Две одинаковые дощечки плывут вдоль берега по прямому широкому каналу, вода в котором течет с постоянной скоростью, одинаковой по всей ширине канала. В некоторый момент времени им сообщили скорость относительно воды, равную по величине V₀=1 м/с. При этом скорость первой дощечки оказалась перпендикулярной берегу в связанной с ним неподвижной системе отсчета, а скорость второй дощечки оказалась перпендикулярной берегу в системе отсчета, связанной с водой. Через достаточно большое время, когда движение дощечек относительно воды прекратилось, расстояние от первой дощечки до берега увеличилось на S₁=4 м, а от второй - на S₂=5 м. Найти скорость течения воды в канале.

2. Найти ускорение груза массой m₁ в системе, изображенной на рисунке. Блоки невесомы, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому блоку с радиусами r и R. Один конец нити закреплен на этом блоке, к другому концу прикреплен груз массой m₂. Участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует, ускорение свободного падения равно g.

3. Легкая нерастяжимая нить длиной L=2 м удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой M=1 г, изогнутый в виде перевернутой буквы U. Нить выдерживает максимальную силу натяжения F=5 Н. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями V=1 м/с. В какой-то момент нить не выдерживает и рвется. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения g=10 м/с², сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Идеальный одноатомный газ находится в гладком вертикальном цилиндре под невесомым поршнем, на котором стоит груз массой m. Снаружи цилиндра - вакуум, теплообмен газа с окружающими телами отсутствует. Над газом совершают процесс, состоящий из n стадий, на каждой из которых массу груза увеличивают в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим значением, и дожидаются установления равновесия. Конечная масса груза равна М. Во сколько раз изменится объем газа после завершения этого процесса? Решите задачу в общем случае и затем получите приближенный ответ для n=2004, М/m=4 . Ускорение свободного падения равно g, действием сил тяжести на газ можно пренебречь. Примечание. При малых e и le<<1 справедливо соотношение: (1+e)^l=1+le.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Два однородных концентрических обруча жестко скреплены невесомым стержнем АВ и могут вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг неподвижной горизонтальной оси О, проходящей через их центр. К обручам прикреплены легкие упругие нити, другие концы которых неподвижно закреплены на потолке и стене, как показано на рисунке. Масса и радиус внутреннего обруча равны m и R соответственно, а внешнего - 2m и 2R. В начальном положении системы, когда обе нити не растянуты, длина вертикальной нити равна l₀, а горизонтальной - 2l₀. Коэффициент упругости на растяжение у горизонтальной нити равен k, у вертикальной - 2k. Обручи поворачивают из начального положения по часовой стрелке на угол a₀ и отпускают без начальной скорости. Найти период колебаний системы, считая, что нити абсолютно гибкие, гладкие и при растяжении они наматываются на обручи.

2. Цикл теплового двигателя, в котором в качестве рабочего тела используется один моль идеального одноатомного газа, состоит из трех участков - изобарического, изохорического и адиабатического, причем отношение максимального объема газа к его минимальному объему в этом цикле n=8. Найти, какое наибольшее значение может принимать коэффициент полезного действия двигателя, работающего по такому циклу, если при адиабатическом процессе объем V и давление p данного газа удовлетворяют соотношению pV^5/3=const .

3. Пластины плоского конденсатора подключены к батарее с ЭДС E и внутренним сопротивлением r. Пластины располагают вертикально и подносят к их нижним краям широкий сосуд с жидкостью плотностью r₁ и диэлектрической проницаемостью e₁. При этом жидкость начинает втягиваться в конденсатор. За время установления равновесия в этой системе в ней выделяется количество теплоты DQ. Какое количество теплоты выделилось бы в данной системе, если бы жидкость в сосуде имела плотность r₂ и диэлектрическую проницаемость e₂? Поверхностным натяжением пренебречь.

4. Катушка индуктивности состоит из железного сердечника и намотанной на него проволоки. Катушка подключена к источнику переменного напряжения U(t)=U₀cos(wt). Индуктивность катушки равна L, а ее омическое сопротивление равно 10^-3wL. За один период изменения напряжения за счет потерь на перемагничивание железа в сердечнике выделяется количество тепла, пропорциональное максимальной величине энергии магнитного поля, запасенной в катушке. Коэффициент пропорциональности равен k=p*10^-3. Какая средняя мощность потребляется катушкой от источника?

5. Имеется n плоских стеклянных пластинок. При нормальном падении параллельного пучка света на k-ю пластинку от нее отражается доля a_k, поглощается доля b_k и пропускается доля g_k падающей энергии (a_k+b_k+g_k=1, k=1, 2, ..., n), независимо от того, на какую сторону пластинки падает свет. Какая доля энергии света будет отражаться, поглощаться и пропускаться при его падении на систему из всех n пластинок, установленных друг за другом нормально к пучку света? Решите задачу для следующих частных случаев:
(а) n=2, a_k, b_k, g_k - любые;
(б) n=3, a_k=b_k=g_k=1/3.
Интерференцию света не учитывать.

3-й тур (13.03.2004)

На выполнение каждого из двух экспериментальных заданий в каждом классе отводилось по 2 астрономических часа.

Задание 1.

Измерение плотности раствора.

Оборудование: стаканчик тонкостенный с раствором, весы и разновес, "костяшка" домино, нитка, миллиметровая бумага.

Задание 2.

Измерение сопротивлений. Нужно измерить сопротивление трёх резисторов и оценить точность измерений.

Оборудование: источник электропитания, универсальный измерительный прибор (там нет батарейки, поэтому сопротивление он не измеряет), три резистора на картонной пластинке, провода.

Примечание: резисторы были подобраны так, что один из них измерялся
непосредственно с помощью измерительного прибора и источника питания,
после чего два других можно было измерить, пользуясь первым как шунтом.

10-й класс

Задание 1.

Измерение удельной теплоёмкости материала гирьки.

Оборудование: калориметр (металлический и пластмассовый стаканы), стаканчик пластмассовый, термометр, нитка и штатив с "лапкой", гирька, горячая и холодная вода (по требованию).

Задание 2 (состоит из двух задач - общее время их выполнения - 2 часа):

2.1. Измерение плотности материала "костяшки" домино

Оборудование: чашечные весы без гирь, дробинки свинцовые, гранулы пластмассовые, стаканчик, "костяшка" домино, нитка, миллиметровая бумага, вода - по требованию.

2.2. На картонной пластинке приклеены три резистора. Резистор зелёного цвета имеет сопротивление 200 Ом (он специально подобран, можно считать это значение точным). Измерьте сопротивление двух других резисторов, оцените точность измерений.

Задание 1. В спичечной коробке находится сложная схема из четырёх элементов (там могут быть резисторы, катушки, конденсаторы) - между точками 0 и 1 включены ровно два элемента, между точками 0 и 2 - тоже ровно два элемента. Точки 1 и 2 непосредственно друг с другом не соединены. Нужно определить схему включения элементов и измерить их электрические параметры.

Оборудование: генератор низкочастотных гармонических колебаний, универсальный измерительный прибор (АВОметр школьный, он в нашем случае только АВ-метр, сопротивлений он не измеряет - нет внутренней батарейки), резистор сопротивлением 1.3 кОм (его сопротивление можно считать точным), провода. Учтите, что измерительные приборы (генератор, АВометр) вовсе не идеальны. А вот входящие в состав "чёрного ящика" элементы можно считать при этих измерениях идеальными.

Примечание: между точками 0 и 1 были последовательно включены
конденсатор и резистор, между точками 0 и 2 - конденсатор той же ёмкости
и резистор такого же сопротивления, но параллельно.

Задание 2 (состоит из двух задач - общее время их выполнения - 2 часа):

2.1. Измерение величины коэффициента преломления стекла, из которого сделана призма. Можно использовать миллиметровую бумагу и карандаш (ручку) для рисования, солнечный свет. Если понадобится липкая лента, булавки, нитки, линейка - попросите их у дежурного. Другие приспособлений и приборы использовать нельзя!

2.2. Измерение плотности материала, из которого сделан цилиндрический груз (с крючком для крепления).

Оборудование: измеряемый груз, стакан, пластмассовый стаканчик с крышкой, нитка, миллиметровая бумага, вода - по требованию, липкая лента.