7-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Когда пассажир едет в автобусе, то навстречу ему попадаются автобусы того же маршрута через каждые 10 мин. Какое максимальное время ему придется ждать на остановке до прихода автобуса? Считать, что автобусы в обоих направлениях движутся с одинаковой скоростью, а на остановках стоят очень мало.

2. Школьник стоит на одном из этажей многоэтажного дома около лифта, который из-за поломки непрерывно ездит вверх-вниз от первого до последнего этажа и обратно. Школьник заметил, что интервал времени между приходом лифта сверху на пути вниз и приходом лифта снизу на его обратном пути вверх в два раза меньше, чем интервал между приходом лифта снизу на пути вверх и его приходом сверху на обратном пути вниз. Но стоило школьнику подняться по лестнице на 5 этажей, как эти интервалы стали равны. На каком этаже он находился вначале?

3. В день весеннего равноденствия по идущей среди американских прерий прямой железной дороге, с постоянной скоростью 10 миль в час едет поезд-экспресс, имеющий длину 1/10 мили. Индеец Орлиный Глаз находится вместе со своей лошадью на прямой тропе, которая пересекает железную дорогу. Взглянув на поезд и на место пересечения тропы с железной дорогой, индеец подумал: "Если я прямо сейчас поскачу по тропе, то через время, за которое cолнце сегодня пройдет двадцатую часть своего пути от восхода до заката, я смогу вскочить прямо на паровоз к бледнолицым". Сделав так, как задумал, Орлиный Глаз действительно смог вскочить в поезд, но не на паровоз, а лишь на заднюю площадку последнего вагона. На сколько ошибся индеец, оценивая на глаз расстояние от себя до места пересечения тропы с железной дорогой, если на самом деле оно было равно 6 милям?

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Цилиндрический пластмассовый стакан имеет дно толщиной 1 см. Если опустить его в большой сосуд с водой, то он будет плавать в вертикальном положении, погрузившись на 3 см. Если затем налить в него слой неизвестной жидкости высотой 3 см, то стакан окажется погруженным на 5 см. Сколько еще нужно долить в него этой же жидкости, чтобы ее уровень совпал с уровнем "забортной" воды?

2. Стеклянная открытая сверху трубка постоянного поперечного сечения имеет форму латинской буквы L. Одно ее колено - горизонтально, имеет длину l₁=10 км и запаяно на конце. Другое колено длиной l₁=1,2 м вертикально, конец его открыт. Трубка полностью заполнена водой при температуре 0 ^oC. Найти, как меняется давление вблизи закрытого конца трубки при изменении температуры воды от 0 ^oC до +8 ^oC. Зависимость плотности воды r от температуры t приведена в таблице. Атмосферное давление p₀=10⁵ Па, геометрические размеры трубки считать неизменными.

t, oC	r, кг/м3
0	999,841
1	999,900
2	999,941
3	999,965
4	999,973
5	999,965
6	999,941
7	999,910
8	999,849

3. Любители чая считают, что кипяток, налитый в чашку, может заметно остыть даже за несколько секунд, что испортит качество получившегося чая. Проверим, правы ли они.

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. На гладкой горизонтальной поверхности лежат три тонкие доски, как показано на рисунке. Их начинают медленно (без ускорения) растаскивать, прикладывая к доскам горизонтальные силы. В некоторый момент две из этих сил взаимно перпендикулярны, а их величины равны F₁=3 Н, F₂=4 Н. Определите величину F₃ третьей силы.

2. На длинную тележку, движущуюся со скоростью V без трения по горизонтальным рельсам, сыплется сверху песок так, что за каждую секунду на нее попадает m килограммов песка. Точно такое же количество песка сбрасывается с тележки с постоянной относительно нее скоростью U в направлении, противоположном ее движению. Какую горизонтальную силу нужно прикладывать к тележке, чтобы поддерживать ее скорость постоянной?

3. При достижении температуры +910 ^oC в железе происходит полиморфное превращение: элементарная ячейка его кристаллической решетки из кубической объемноцентрированной превращается в кубическую гранецентрированную - железо из a-фазы переходит в g-фазу. При этом плотность железа уменьшается на e~=2%. Найти отношение постоянных решеток железа в a- и g-фазах.

Примечание. Постоянной a кубических решеток называют длину ребра куба элементарной ячейки. В объемноцентрированной решетке ионы железа находятся в вершинах и в центре куба, а в гранецентрированной - в вершинах куба и в центрах каждой из его граней.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Автомобиль с передними ведущими колесами должен проехать по достаточно длинному прямолинейному участку шоссе, поднимающемуся вверх под углом a к горизонту. Центр масс автомобиля находится на расстоянии h от полотна дороги, посередине между осями передних и задних колес, которые расположены на расстоянии 2L друг от друга. Коэффициент трения колес о дорогу равен m, радиус колес R. Найти максимальную величину угла a. Указать условия, при которых автомобиль массой m сможет преодолеть этот участок шоссе.

2. Найти общий коэффициент жесткости системы пружин, изображенной на рисунке, если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней, опирается на две пружины. Коэффициенты жесткости всех пружин одинаковы и равны k, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и платформ можно пренебречь.

3. Горизонтальный закрытый теплоизолированный цилиндр разделен на две части тонким теплопроводящим поршнем, который прикреплен пружиной к одной из торцевых стенок цилиндра. Слева и справа от поршня находятся по n молей идеального одноатомного газа. Начальная температура системы T, длина цилиндра 2l, собственная длина пружины l/2, удлинение пружины в состоянии равновесия равно x. В поршне проделали отверстие. На сколько изменится температура этой системы после установления нового состояния равновесия? Теплоемкостями цилиндра, поршня и пружины пренебречь. Трения нет.

4. В электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, вольтметр и батарейка идеальные. Диод при включении в обратном направлении не пропускает ток, а при включении в прямом направлении открывается при напряжении U0 (вольт-амперная характеристика диода приведена на графике). Что показывает вольтметр в этой цепи? Что он будет показывать, если изменить полярность включения диода?

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Имеются два одинаковых длинных однородных легких бруска, которые используют для проведения экспериментов по изучению прочности древесины. В первом эксперименте деревянный брусок положили концами на спинки двух стоящих стульев, а к его середине подвесили сосуд, который начали медленно заполнять водой. Когда масса сосуда с водой достигла величины m=4,8 кг, брусок сломался. Во втором эксперименте брусок положили на гладкий горизонтальный стол, к его концам прикрепили два груза малых размеров с массами m₁=6 кг, а к середине - груз массой m₁=10 кг и веревку, за которую стали тянуть с плавно возрастающей силой F, перпендикулярной бруску и направленной горизонтально. При какой величине силы F брусок сломается? Считать g=10 м/с².

2. Маленькая шайба, скользившая со скоростью V₀ по гладкому льду поперек реки, попала на горизонтальный участок берега, на котором при удалении от кромки льда на расстояние x коэффициент трения возрастает по закону: m=m₀+kx, где m₀ и k - постоянные величины. Найти, спустя какое время после выхода на берег шайба остановится.

3. Теплоизолированный закрытый вертикальный цилиндр разделен на две равные части тонким массивным теплопроводящим поршнем. Сверху и снизу от поршня, закрепленного вначале посередине цилиндра, находятся одинаковые количества идеального одноатомного газа при температуре T и давлении p. После освобождения поршня он сместился вниз на некоторое расстояние и остановился в новом положении равновесия, при котором разность давлений в нижней и верхней частях цилиндра равняется Dp. Найти, на какую величину DT изменилась при этом температура газа. Теплоемкостью поршня и стенок цилиндра пренебречь. Трения нет.

4. Незаряженные конденсаторы с емкостями C₁=1 мкФ и C₂=2 мкФ соединили последовательно и подключили к источнику напряжения U=4,5 В. После того, как конденсаторы зарядились, металлическим пинцетом на достаточно большое время замкнули выводы конденсатора C₂, а затем пинцет убрали. Каким станет после этого заряд конденсатора C₁?

5. Бесконечная электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из одинаковых батареек и одинаковых вольтметров. Показание самого левого вольтметра равно U, а показание каждого из следующих вольтметров в n раз меньше, чем у соседнего с ним слева (n>1). Найти ЭДС батарейки.

2-й тур (06.03.2005)

8-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. На длинном прямом шоссе автомобили движутся с постоянной скоростью V₁ всюду, за исключением моста, на котором автомобили движутся с другой постоянной скоростью V₂. На рисунке изображен график зависимости расстояния l между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени t. Найти скорости V₁ и V₂, а также длину моста.

2. В системе, изображенной на рисунке, груз, подвешенный к легкому подвижному блоку, является льдинкой массой 400 г, плавающей в воде при температуре 0 ^oC, а второй груз изготовлен из алюминия, имеет массу 160 г и касается поверхности воды. При этом система находится в равновесии. Какое количество теплоты надо сообщить системе, чтобы алюминиевый груз оказался на дне сосуда? Вертикальные размеры грузов меньше глубины сосуда, плотности льда и алюминия равны 0,9 г/см³ и 2,7 г/см³ соответственно, нити достаточно длинные, невесомые и нерастяжимые, трения нет. Удельная теплота плавления льда равна 335 Дж/г. Силами поверхностного натяжения пренебречь.

3. В электрических цепях часто используют двухпозиционные переключатели, которые могут, в зависимости от положения перемычки "П", соединять друг с другом либо контакты "0" и "1", либо контакты "0" и "2" (см. рисунок).

Нарисуйте схему, состоящую из двух таких переключателей, двух одинаковых лампочек и одной батарейки, чтобы при четырех различных положениях перемычек переключателей она работала следующим образом:
1) обе лампочки не горят;
2) одна лампочка не горит, а другая горит в полный накал;
3) обе лампочки горят в полный накал;
4) обе лампочки горят в полнакала.

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. Велосипед имеет два одинаковых колеса, расстояние между осями которых равно L. При повороте велосипеда его переднее колесо, повернутое на некоторый угол относительно рамы, вращается вокруг своей оси в n раз быстрее заднего. Найти радиусы окружностей, по которым катятся по земле переднее и заднее колеса. Наклон велосипеда и проскальзывание его колес не учитывать.

2. Барон Мюнхгаузен поднялся на привязанном воздушном шаре над полем боя на высоту H. Мимо него, параллельно земле, пролетает тяжелое ядро, пущенное из лагеря неприятеля. Барон садится на ядро и летит на нем до самой земли. Найти, под каким углом a к горизонту было запущено ядро, если Мюнхгаузен приземлился на расстоянии H по горизонтали от воздушного шара. Массы ядра и барона одинаковы. Сопротивлением воздуха пренебречь.

3. Из неиссякаемого источника через круглую трубу с внутренним диаметром D = 5 см вертикально вниз вытекает струя воды. Ведра емкостью V = 10 л подставляют под струю так, что верх ведра находится на H = 1,5 м ниже конца трубы. На уровне верха ведра диаметр струи равен d = 4 см. Каков расход воды у источника? Ответ выразить в "ведрах в час".

4. Внутри прозрачного клина, перпендикулярно плоскости рисунка, течет жидкость с изменяющимся составом так, что ее показатель преломления n изменяется со временем t по закону: n(t) =1+n₀*(t/t), где n₀ и t - постоянные величины. На этот клин перпендикулярно падает узкий луч света и, пройдя через клин, попадает на экран. Угол a при вершине клина мал, толщина клина в месте падения луча равна a, расстояние между экраном и клином d>>a. Найти скорость движения светлого пятна по экрану.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. В системе, изображенной на рисунке, масса подвижного блока равна M и равномерно распределена по ободу. Нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по блоку. За свободный конец нити тянут с силой F вертикально вверх. Найти ускорение груза массой m. Трением в оси блока и о воздух пренебречь.

2. На гладком горизонтальном столе вдоль прямой линии покоятся на некотором расстоянии друг от друга N = 2005 кубиков массой M каждый. Вдоль прямой, проходящей через центры масс всех кубиков, летит пуля массой m<<M, которая пробивает насквозь кубики с первого по 2004-й и застревает в 2005-ом. При взаимодействии с каждым кубиком скорость пули уменьшается на одну и ту же величину. Известно, что при первом столкновении двух кубиков этой системы друг с другом выделяется теплота q. Какое количество теплоты выделится в этой системе, когда все столкновения пули с кубиками и кубиков друг с другом закончатся? Соударения между кубиками абсолютно неупругие.

3. Капля ртути на чистой горизонтальной поверхности стекла и капля воды на ворсистой поверхности травинки подобны друг другу по форме. Оцените отношение масс этих капель. Плотности ртути и воды равны r_р = 13,6 г/см³ и r_в = 1 г/см³ соответственно, а их коэффициенты поверхностного натяжения - s_р = 0,46 Н/м и s_в = 0,07 Н/м.

4. Две очень длинные цилиндрические трубы имеют одинаковую длину и радиусы R и R-r, причем r<<R. Труба меньшего радиуса вставлена в бульшую так, что их оси и торцы совпадают. Трубы заряжены равномерно по площади электрическими зарядами: внутренняя - с поверхностной плотностью заряда +s, а внешняя - с поверхностной плотностью -s. На оси этой системы вблизи от одного из торцов цилиндров измеряют напряженность электростатического поля E. Найти, как зависит E от расстояния x до этого торца.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. На горизонтальной поверхности лежит однородный стержень. Его медленно поднимают, прикладывая к одному из концов силу, все время направленную перпендикулярно стержню (см. рис.). При каком минимальном коэффициенте трения между стержнем и поверхностью можно таким образом поставить стержень в вертикальное положение без проскальзывания его нижнего конца?

2. Над идеальным одноатомным газом совершается равновесный процесс 1->2->3->4->5->6->7. На рисунке изображен график зависимости количества теплоты DQ, сообщенной газу в данном процессе (отсчитывая от его начала), от абсолютной температуры газа T. Все параметры, заданные на осях графика, известны. Найти, при каких соотношениях между этими параметрами объем газа в результате данного процесса:
а) увеличивается;
б) уменьшается;
в) остается неизменным.

3. К штативу, установленному на тележке, на легкой нерастяжимой нити 1 подвешен маленький шарик массой М, к которому на легкой нерастяжимой нити 2 подвешен другой маленький шарик массой m (см. рис.). Под действием внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону с частотой w, тележка совершает малые колебания в горизонтальном направлении. При какой длине L нити 2 нить 1 будет все время оставаться строго вертикальной? Влиянием воздуха на движение тел пренебречь.

4. Найти сопротивление между точками A и B бесконечной электрической цепи в виде сетки, схема которой изображена на рисунке. Все резисторы в цепи одинаковые и имеют сопротивление R.

5. На высоте h от горизонтальной плоскости находится тонкое непроводящее кольцо массой m и радиусом R, по которому равномерно распределен заряд q. В момент времени t=0 кольцо начинает падать без начальной скорости, сохраняя в полете горизонтальное положение. Одновременно с началом падения кольца включается магнитное поле, ось симметрии которого совпадает с осью кольца. Вблизи кольца магнитное поле однородно, направлено вертикально, а его индукция B нарастает по закону B=kt², где k - постоянная величина. Упав на плоскость, кольцо быстро останавливается и прилипает к ней. Найти количество теплоты, которое при этом выделится в данной системе. Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения равно g.

3-й тур (12.03.2005)

На выполнение каждого из двух экспериментальных заданий в каждом классе отводилось по 2 астрономических часа.

Задача 9.1.

Водяные весы. Нужно измерить плотность (массу единицы объёма) пластилина и массы двух монет.

Приборы и оборудование: мензурка с делениями, вода, кусок пластилина, две монеты, миллиметровка, нить и штатив.

Задача 9.2.

Неидеальный миллиамперметр. Нужно найти сопротивление миллиамперметра на каждом из диапазонов его чувствительности (5 мА и 50 мА).

Задача 10.1.

Легкоплавкое вещество. Нужно измерить температуру плавления, удельнуютеплоту плавления и удельную теплоёмкость выданного слитка.

Приборы и оборудование: слиток легкоплавкото вещества (масса слитка ровно 5 г, вещество плавится в горячей воде!), стаканчик для горячей воды, горячая вода (по требованию), термометр, статанчик для холодной воды, холодная вода (по требованию), часы (используйте свои часы, или любой таймер), миллиметровка, нить, штатив.

Задача 10.2.

Спрятанный конденсатор. Нужно измерить ёмкость выданного конденсатора и измерить его свойства.

Приборы и оборудование: конденсатор (он спрятан внутри картонного цилиндра, один из его выводов заранее припаян к минусу батарейки, его не разрешается отключать!), батарейка, вольтметр "школьный", резистор 1 кОм (точно!), часы (можно использовать свои часы или любой таймер), провода.

Задача 11.1.

Скрытая пружина. Нужно экспериментально определить зависимость удлинения "пружины" от приложенной к ней силы (построить график!) и при помощи этой "пружины" взвесить выданный груз неизвестной массы.

Приборы и оборудование: скрытая в пластмассовой оболочке упругая "пружина", груз известной массы (ровно 102 г), линейка (мерная лента), миллиметровка, нить, "уголок" и липкая лента для крепления его к стене, груз неизвестной массы.

Задача 11.2.

Чёрный ящик. Нужно экспериментально определить схему, заключённую внутри "чёрного ящика" и измерить параметры помещённых в него элементов.

Приборы и оборудование: "Чёрный ящик с четырьмя выводами" (номера выводов указаны на корпусе), генератор низкой частоты, универсальный измерительный цифровой прибор (измеряющий постоянное и переменное напряжение, силу тока, сопротивление постоянному току), провода. Известно, что внутри ящика ровно три элемента - ими могут быть резисторы, конденсаторы или катушки.

Примечание: между выводами 1 и 2 был подключён конденсатор, между выводами 2 и 3 - катушка, между выводами 3 и 4 - резистор.