7-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой промежуток времени повторяются противостояния Земли и Марса. Марс совершает оборот вокруг Солнца за 687 земных дней, а Земля - за 365 дней.

2. На земле лежит слой снега толщиной h = 70 см. Давление снега на землю (без учёта атмосферного давления) равно p = 630 Па. Погода морозная, и снег состоит из воздуха и льда. Определите, сколько процентов объёма снега занимает лед, а сколько процентов - воздух. Плотность льда равна r_л = 0,9 г/см³. Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с².

3. На заводе для подъёма тяжёлых заготовок используется система из четырёх блоков и одного троса, закреплённых на потолке, как показано на рисунке. С какой силой F надо тянуть вниз за конец троса, чтобы удерживать или медленно и равномерно поднимать заготовку, вес которой равен P? Участки троса, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны, весом блоков, троса и трением можно пренебречь.

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. В широкий сосуд с водой медленно опускают на нити цилиндрический брусок так, что ось цилиндра всё время остается вертикальной. График зависимости силы натяжения нити F от глубины погружения h нижнего основания цилиндра является отрезком прямой линии, как показано на рисунке. Найдите площадь основания цилиндра S и его массу m. Плотность воды r₀ = 1 г/см³, ускорение свободного падения g = 10 м/с².

2. В сосуде находился лед при температуре t_л = 0 ^oC. Туда влили воду массой m_в = 0,4 кг, взятую при температуре t_в = 60 ^oC. Какая температура установилась в сосуде, если конечный объём его содержимого равен V = 1 л? Чему равна масса содержимого сосуда? Плотности воды и льда r_в = 1000 кг/м³ и r_л = 900 кг/м³, их удельные теплоёмкости c_в = 4200 Дж/(кг*^oC) и c_л = 2100 Дж/(кг*^oC), удельная теплота плавления льда l = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой промежуток времени повторяются противостояния Марса. Ответ выразите в земных годах. Расстояние от Марса до Солнца в n = 1,53 раза превосходит расстояние от Земли до Солнца. Считайте, что орбиты Земли и Марса являются круговыми.

2."Чёрный ящик" представляет собой систему, изображённую на рисунке. Внутри него находятся вода и погруженный в неё узкий вертикальный цилиндр с поршнем. К поршню прикреплён выходящий наружу вертикальный шток. Потянув за шток и подвигав его вверх-вниз, школьник решил, что в "чёрном ящике" находится прикрепленная к штоку пружина, и измерил её коэффициент жёсткости. Он оказался равным k = 100 Н/м. Чему равна площадь S поршня? Трением и массой поршня можно пренебречь. Плотность воды r = 1000 кг/м³, ускорение свободного падения g = 10 м/с².

3. В сосуде находился лед при температуре t_л = -20 ^oC. Туда влили воду массой m_в = 0,4 кг, взятую при температуре t_в = 60 ^oC. Каким может быть конечный объём V содержимого сосуда, если установившаяся в системе температура выше 0 ^oC? Плотности воды и льда r_в = 1000 кг/м³ и r_л = 900 кг/м³, их удельные теплоёмкости c_в = 4200 Дж/(кг*^oC) и c_л = 2100 Дж/(кг*^oC), удельная теплота плавления льда l = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. По гладкому горизонтальному столу скользит однородная линейка длиной L = 25 см. В некоторый начальный момент времени скорости концов линейки направлены перпендикулярно к ней в разные стороны и равны v₁ = 10 см/с и v₂ = 30 см/c. Какая скорость v будет у центральной точки линейки через время t = 5 с после начального момента? За какое время t от начального момента линейка повернётся на угол 90^o от исходного положения?

2. В системе, изображённой на рисунке, грузы 1 и 2 прикреплены к нитям, массы грузов 1, 2 и 3 равны M, 2M и 3M соответственно. Найдите их ускорения. Трение отсутствует. Блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, не лежащие на блоках участки нитей вертикальны.

3. По горизонтальному столу катится без трения тележка массой M со скоростью v₀. На горизонтальную поверхность тележки положили кирпич массой m, начальная скорость которого относительно стола была равна нулю. Кирпич прошёл по тележке путь l и остановился относительно неё. Найдите коэффициент трения между кирпичом и тележкой.

4. В сосуде постоянного объема находится смесь гелия и кислорода. Смесь нагревают от температуры T₁ = 300 К до температуры T₂ = 4T₁/3 = 400 К, при этом половина атомов гелия покидает сосуд, а давление газа остается прежним. Во сколько раз при этом изменяется плотность смеси? Молярная масса кислорода m_к = 32 г/моль, гелия m_г = 4 г/моль.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Одна из разновидностей так называемой планетарной передачи состоит из центральной (солнечной) шестерни (С), нескольких планетарных шестерён (П), оси которых соединены жёсткой рамой - водилом (В) и кольцевой шестерни (К), имеющей внутреннее зацепление с планетарными. Пусть радиусы солнечной и планетарных шестерён равны, и солнечная шестерня приводится во вращение с угловой скоростью w. С какой угловой скоростью будет вращаться кольцевая шестерня, если водило зафиксировано? С какой угловой скоростью будет вращаться водило, если кольцевая шестерня зафиксирована? С какой угловой скоростью в последнем случае будет вращаться планетарная шестерня?

2. На длинной нити, перекинутой через блок, висят грузы массами m₁ и m₂. На высоте h₀ над более лёгким грузом держат шайбу из пластилина массой m₃ (смотри рисунок). Известно, что m₃ > m₂ - m₁ > 0. В некоторый момент грузы m₁ и m₂ приходят в движение без начальной скорости. Когда груз m₁ доходит до шайбы, её отпускают без начальной скорости, и пластилиновая шайба прилипает к грузу m₁. На какую максимальную высоту h над начальным положением поднимется шайба? Трение и масса блока пренебрежимо малы. Нить невесомая и нерастяжимая, а её участки, не лежащие на блоке, вертикальны.

3. Если направить поток протонов на кусок льда из тяжёлой воды D₂O, то при минимальной кинетической энергии протонов E₁ = 1,4 МэВ происходит ядерная реакция с образованием ядер ³₂He . Какую минимальную кинетическую энергию E₂ надо сообщить ядрам дейтерия, чтобы при их попадании на кусок льда из обычной воды произошла эта же ядерная реакция?

4. В сосуде находился лед при температуре t_л = -20 ^oC. Туда влили воду массой m_в = 0,4 кг, взятую при температуре t_в = 60 ^oC. Каким может быть конечный объём системы V, если установившаяся в системе температура:
а) положительна?
б) отрицательна?
в) равна нулю?
Плотности воды и льда r_в = 1000 кг/м³ и r_л = 900 кг/м³, их удельные теплоёмкости cв = 4200 Дж/(кг*^oC) и cл = 2100 Дж/(кг*^oC), удельная теплота плавления льда l = 335 кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда и потерями тепла пренебречь.

5. Электрическая цепь состоит из двух конденсаторов емкостью C, двух одинаковых катушек индуктивности L и идеального трансформатора с коэффициентом трансформации, равным единице. Если зарядить один из конденсаторов и замкнуть ключ, подсоединяющий его к трансформатору, в цепи возникнут гармонические колебания с частотой w. Найдите возможные частоты гармонических электрических колебаний в цепи, если оба ключа замкнуты.

2-й тур (25.02.2007)

8-й класс

На выполнение задания отводилось 3 астрономических часа.

1. Два велосипедиста одновременно выезжают навстречу друг другу из деревень Липовка и Демушкино, находящихся на расстоянии L = 10 км друг от друга. Каждый планирует ехать со скоростью V = 20 км/ч и, достигнув противоположной деревни, сразу повернуть обратно. Но на дороге всё время дует ветер, скорость и направление которого постоянны. При движении по ветру скорость увеличивается на столько же, на сколько уменьшается при движении против ветра. Велосипедист, который сначала ехал по ветру, достигнув противоположной деревни, сразу повернул назад, а велосипедист, который сначала ехал против ветра, задержался в противоположной деревне, чтобы отдохнуть, и только потом повернул обратно. Известно, что велосипедисты встречались в точках A и B, находящихся на расстояниях L_A = 2 км и L_B = 6 км от Липовки. Найдите времена движения t₁ и t₂ из Липовки в Демушкино и из Демушкино в Липовку. В какой деревне и в течение какого промежутка времени Dt отдыхал велосипедист, ехавший сначала против ветра?

2. Плотность масла измеряют в опыте, схема которого показана на рисунке. Сосуд разделён на две части вертикальной перегородкой. В одну часть сосуда налита вода, в другую - масло. В перегородку встроен шарнир, который может вращаться без трения. В шарнир вставлена однородная сосновая линейка, которая находится в равновесии. Длина левой части линейки равна l₁ = 40 см, правой - l₂ = 60 см. Плотность воды равна r_в = 1000 кг/м³, плотность линейки r = 600 кг/м³. Чему равна плотность масла r_вм?

На выполнение задания отводилось 4 астрономических часа.

1. Найдите ускорение груза 1 в системе, изображённой на рисунке. Массы грузов 1 и 2 равны M, массы грузов 3 и 4 равны m. Грузы 3 и 4 касаются грузов 1 и 2, участки нити, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны. Нить невесома и нерастяжима, блоки лёгкие, трения нет.

2. На неподвижно закреплённом цилиндре радиусом R лежит тонкая линейка длиной l = 2рR и массой M. Линейка расположена горизонтально, перпендикулярно к оси цилиндра и опирается на него своей серединой. На середине линейки сидит жук массой 0,2M, который начинает медленно ползти к одному из концов линейки, прочно цепляясь за её шероховатости; линейка при этом меняет угол своего наклона к горизонту, перекатываясь по цилиндру без проскальзывания. На каком расстоянии x₀ от середины линейки будет расположена точка соприкосновения линейки и цилиндра, когда жук доползёт до конца линейки? Под каким углом a₀ к горизонту будет при этом наклонена линейка? При каких значениях коэффициента трения m между цилиндром и линейкой возможно такое её перекатывание без проскальзывания?

3. Электрическая цепь, изображённая на рисунке, состоит из идеальной батарейки, двух одинаковых вольтметров и двух одинаковых миллиамперметров. Показание миллиамперметра A₁ равно I₁ = 1,6 мА, показания вольтметров равны U = 1,2 В и U' = 0,3 В. Какой из вольтметров - V₁ или V₂ - показывает меньшее значение напряжения? Найдите показание I₂ миллиамперметра A₂ и напряжение батарейки U₀.

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Школьник бросает мяч в баскетбольное кольцо. Чтобы попасть в цель при броске под углом a₁ = 30^o к горизонту, он должен сообщить мячу начальную скорость v₁=v, а при броске под углом a₂ = 60^o - начальную скорость v₂=v/2. На какой высоте h над точкой бросания расположено баскетбольное кольцо? Под каким углом b к горизонту наклонён отрезок, соединяющий точку бросания и кольцо? Бросок каждый раз производится из одной и той же точки. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, ускорение свободного падения равно g.

2. Найдите ускорения грузов 1 и 2 и силу натяжения нити в системе, изображённой на рисунке. Массы грузов 1, 2, 3 и 4 равны соответственно M₁, M₂, m₁ и m₂. Грузы 3 и 4 касаются грузов 1 и 2, участки нити, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны. Нить натянута, невесома и нерастяжима, блоки леёгкие, трение отсутствует.

3. На столе стоит вертикальный теплоизолированный цилиндрический сосуд. В него вставлены два поршня (см. рисунок). Верхний поршень - тяжёлый, теплонепроницаемый и может двигаться в цилиндре без трения. Нижний поршень - лёгкий и теплопроводящий, но между ним и стенками сосуда существует трение. В каждой из частей сосуда находится по n молей идеального одноатомного газа. Вначале система находилась в тепловом равновесии, а обе части сосуда имели высоту L. Потом систему медленно нагрели, сообщив ей количество теплоты DQ. На какую величину DT изменилась температура газов, если нижний поршень при этом не сдвинулся с места? При каком наименьшем значении F силы трения между нижним поршнем и стенками это возможно? Какова теплоёмкость C системы в этом процессе? Теплоёмкостью стенок сосуда и поршней пренебречь.

4. Электрическая цепь (см. рисунок) состоит из идеальной батарейки с ЭДС U₀, идеального амперметра и четырёх одинаковых нелинейных элементов, для каждого из которых, в отличие от закона Ома, связь силы тока I и напряжения U имеет вид I=aU². Какой ток I₀ показывает амперметр?

5. Тридцать одинаковых резисторов сопротивлением R каждый соединены между собой в пространстве так, что они являются рёбрами выпуклого правильного многогранника: в случае а) - двадцатигранника (икосаэдра); в случае б) - двенадцатигранника (додекаэдра). Какое сопротивление будет представлять описанная выше система (а) или (б), если подключиться к паре её наиболее удалённых вершин? Сколько разных значений сопротивления можно получить в случае (а) и в случае (б), если подключаться к всевозможным парам вершин этих многогранников?

На выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Снаряд, летевший вертикально, взорвался в верхней точке своей траектории, распавшись на три осколка массами m₁ = 2m, m₂ = 3m и m₃ = 4m, которые полетели в разные стороны с одинаковыми начальными скоростями. Через некоторое время после взрыва расстояние между осколками m₁ и m₂ оказалось равным L. Чему было равно в этот момент расстояние между осколками m₁ и m₃, если ни один из осколков ещё не достиг земли? Влиянием воздуха и массой взрывчатого вещества снаряда пренебречь.

2. Велосипедное колесо, вся масса которого сосредоточена в его ободе, раскрутили вокруг оси, удерживая её неподвижной в горизонтальном положении. При этом пришлось совершить работу A, и вся эта работа пошла на увеличение механической энергии колеса. Затем колесо осторожно поставили на горизонтальную поверхность доски такой же массы, которая может без трения двигаться по столу. Какое максимальное количество теплоты может выделиться в системе, пока колесо не покинет доску? Колесо при движении все время остаётся в вертикальной плоскости.

3. Над n молями идеального одноатомного газа проводят циклический процесс, график которого изображён на pV-диаграмме. Цикл состоит из вертикального (1-2) и горизонтального (3-1) участков и "лестницы" (2-3) из n ступенек, на каждой из которых давление и объем газа изменяются в одно и то же количество раз. Отношение максимального давления газа к минимальному равно k; отношение максимального объёма к минимальному также равно k. Найдите КПД тепловой машины, работающей по данному циклу.

4. На конце невесомого проводящего стержня закреплён маленький металлический шарик, касающийся гладкой проводящей сферической поверхности радиусом R = 0,8 м. Второй конец стержня закреплён в центре сферы при помощи проводящего шарнира так, что стержень может вращаться без трения вокруг него, сохраняя электрический контакт со сферой. Эта система помещена в однородное вертикальное магнитное поле с индукцией B = 0,5 Тл и подключена к батарее так, как показано на рисунке. Если стержень закрутить вокруг вертикальной оси в определенном направлении с частотой w = 5 рад/с и под определённым углом к вертикали, то этот угол и частота вращения в дальнейшем не будут меняться. Определите этот угол и ЭДС батареи. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².

5. Звуковая волна от удалённого источника падает на стену, имеющую вогнутую цилиндрическую форму, под углом, близким к a, причём эта волна идёт перпендикулярно оси цилиндра. Определите, в какую точку A вблизи стены следует поместить чувствительный микрофон, чтобы он зарегистрировал максимально возможную интенсивность звука. Найдите расстояние от этой точки A до стены и до оси цилиндра. Радиус цилиндра R много больше размеров стены, но много меньше расстояния до источника. Длина волны звука много меньше размеров стены.

3-й тур (10.03.2007)

На выполнение каждого из двух экспериментальных заданий в каждом классе отводилось по 2 астрономических часа.

9.1. Измерение удельной теплоты плавления сплава (припой - олово и свинец)

Приборы и приспособления: термометры - электронный и обычный, стаканчики для горячей и холодной воды, кусок припоя, спички, шприц без иглы - мерный, миллиметровая бумага, штатив с лапкой.

Задание: экспериментально определить удельную теплоту плавления l (Дж/грамм) выданного образца сплава. Температура плавления сплава 230 ^oC считается известной.

Примечание. Школьникам также было сообщено устно, что масса 10 см проволоки из сплава (сплав выдавался в виде такой проволоки) составляет 1,35 г (эта величина не была указана в условии задачи по ошибке).

9.2. Измерение сопротивлений резисторов, включённых в электрическую цепь

Приборы и приспособления: батарейка плоская, универсальный измерительный прибор ("тестер" цифровой), потенциометр 1 кОм (это резистор сопротивления 1 кОм, у него сделаны три вывода - от концов резистора и от подвижного контакта, при повороте рукоятки меняется положение подвижного контакта и величины сопротивлений между выводом от этого контакта и крайними выводами, оставаясь в сумме равными 1 кОм), колодка с контактами - на колодке припаяны: "чёрный ящик", в котором находится полупроводниковый диод, параллельно диоду присоединён резистор R₁, последовательно с ним подключён резистор R₂, резистор 100 Ом - его сопротивление можно считать точным, и такой же диод, как находящийся внутри ящика, провода.

10.1. Сосуды с газом

Известно, что в "чёрном ящике" - коробке, прикреплённой к столу, - нахордится два соединённых короткой трубкой сосуда. Один из них внутри ящика сообщается с атмосферой, из другого трубка выведена из "чёрного ящика" наружу. Внутри одного из сосудов находится поршень, который может без трения перемещаться вдоль стенок сосуда.

Предлагается нарисовать схему "чёрного ящика" и с помощью выданного оборудования узнать, каковы объёмы V₁ и V₂ каждого из сосудов в ящике.

Оборудование:
1. Шприц на 20 мл (без иглы), который можно "подключать" к пластиковой трубке и "отключать" от неё.
2. Пластиковая трубка с затычкой, предназначенная для изготовления манометра. Затычку можно вставлять в трубку и вынимать из неё.
3. В баночке - зелёная жидкость, предназначенная для изготовления манометра.
4. Зажим, позволяющий пережимать трубку.
5. Тройник и резиновые муфты.
6. "Чёрный ящик" с выходящей из него трубкой.
7. Измерительная лента с миллиметровыми делениями, прикреплённая к столу.
8. Несколько кусочков прозрачной липкой ленты (для крепления манометра к столу).

10.2. Электрический "Чёрный Ящик"

В "чёрном ящике" находятся последовательно соединённые резистор и нелинейный элемент с двумя выводами (в отличие от обычного резистора, для нелинейного элемента график зависимости между током через него и его напряжением получается криволинейным).

Приборы и приспособления: колодка с подключённым к ней "чёрным ящиком", вольтметр 6 Вольт, миллиамперметр 5/50 мА, батарейка плоская, потенциометр 470 Ом (или 1 кОм), провода.

11.1. В коробочке с двумя отверстиями находится часть плоско-вупуклой линзы. Не разбирая коробочку, определите ипараметры этой линзы: её фокусное расстояние F и расстояние L от главной оптической оси до метки (крестика) на плоской повержности линзы.

Оборудование: коробочка с частью линзы, источник света - лазерная указка, миллиметровая бумага, липкая лента.

Внимание!!

Запрещается направлять луч лазера света на соседей и в свои глаза!!!

Не держите лазер включённым длительное время (батарейки садятся!)

11.2. Измерения магнитного поля

Измерение магнитной индукции часто производят с помощью датчиков, основанных на эффекте Холла - магнитное поле действует на движущиеся заряды с "поперечной" силой, вызывая появление электрического поля, которое перпендикулярно направлению движения заряженных частиц. Измеряя "поперечную" разность потенциалов, мы можем определить величину магнитной индукции B. В нашем опыте датчик представляет собой тонкую пластинку из полупроводника с примесью, которая обеспечивает проводимость n-типа (электронную), по ней пропускают ток (батарейка подключается к выводам белого цвета), электронным вольтметром измеряют разность потенциалов между другой парой выводов (короткие, полупрозрачные). Для используемого датчика: полупроводниковый образец имеет форму тонкой квадратной пластинки, её размеры (1*1*0,05) мм. Ток течёт вдоль длинной стороны, проводимость примесная, зряды-носители - электроны (заряд электрона q=-1,6*10^-19 Кл), концентрация носителей составляет n=1,3*10²¹ 1/м³. Керамическая пластина, на которой закреплён датчик, имеет толщину 0,05 мм.

Оборудование: батарейка плоская, универсальный измерительный прибор (цифровой "тестер"), датчик Холла с выводами, два цилиндрических магнита (маленькие, блестящие, легко теряются), магнит "бабочка", миллиметровая бумага, несколько листов бумаги одинаковой толщины.

Задание: измерить магнитную индукцию у торца цилиндрического магнита, измерить отношение максимальных магнитных полей "бабочки" и цилиндрического магнита, сделать более точную оценку магнитной индукции цилиндрического магнита непосредственно у его поверхности. Старайтесь во всех случаях измерять именно максимальное значение магнитной индукции - поля в разных местах у торца магнита заметно отличаются друг от друга.