Олимпиада состоялась 2 марта 2003 года, на выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.
1. Существуют ли такие натуральные числа a, b
и c, что у каждого из уравнений
ax2+bx+c=0,
ax2+bx-c=0,
ax2-bx+c=0,
ax2-bx-c=0
оба корня - целые?
2. По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
3. Пусть P(x) - многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел a1, a2, ... такова, что P(a1)=0, P(a2)=a1, P(a3)=a2 и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?
4. Пусть M - точка пересечения медиан в DABC. На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC, AC и AB, взяты точки A1, B1 и C1 соответственно, причём A1B1 | MC и A1C1 | MB. Докажите, что M является точкой пересечения медиан и в DA1B1C1.
5. В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.
6. Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций f1(x), f2(x), ..., fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например, P1(x)=f2(f1(f2(x))))?