66 Московская математическая олимпиада. 11 класс.

Олимпиада состоялась 2 марта 2003 года, на выполнение задания отводилось 5 астрономических часов.

1. Для положительных чисел x, y, z выполнено равенство
x2 + y2 + z2 = x2 + z2 + y2.






yzxzyx
Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между собой.

2. Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых чисел a1, a2, ..., такая что P(a1)=0, P(a2)=a1, P(a3)=a2 и т. д. Докажите, что не все числа в последовательности a1, a2, ... различны.

3. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно. Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр (точку пересечения высот) H треугольника ABD.

4. По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.

5. У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

6. На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живет по 20 борцов. Был проведен турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

7. Дано равенство
(am1-1)...(amn-1)=(ak1+1)...(akl+1) ,
где a, n, l и все показатели степени - натуральные числа, причем a>1. Найдите все возможные значения числа a.