LXXXII Mосковская математическая олимпиада

Олимпиада для 8–11 классов прошла 17 марта 2019 года (2 день для 11 кл. — 23 марта) в зданиях МГУ на Воробьевых горах, а также в школах 444, 1568, 2101 и в ЦПМ (доступна орг. информация). В ней приняли участие более 5200 школьников.

Доступна брошюра LXXXII Московская математическая олимпиада. Задачи и решения, опубликована статистика решения задач.

Закрытие Московской математической олимпиады для 8–11 классов и Математического праздника для 7 класса прошло 7 апреля. После закрытия опубликованы критерии награждения и списки награжденных.

Условия задач

[ 8 кл. | 9 кл. | 10 кл. | 11 кл., 1 день | 11 кл., 2 день ]

Условия задач, как они были выданы школьникам (pdf):
(8 класс) (9 класс) (10 класс) (11 класс, 1 день) (11 класс, 2 день)

8 класс

Задача 1. Все таверны в царстве принадлежат трем фирмам. В целях борьбы с монополиями царь Горох издал следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более половины всех таверн и число её таверн делится на 5, то у этой фирмы остается только пятая часть её таверн, а остальные закрываются. Могло ли так случиться, что через три дня у всех фирм стало меньше таверн? (Новые таверны в это время открываться не могут.) (И. Ященко, А. Шаповалов)

Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого $n^2+20n+19$ делится на $2019$. (Д. Шноль)

Задача 3. Про трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ известно, что $AB = BD$. Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $CD$, а $O$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BM$. Докажите, что треугольник $BOC$ — равнобедренный. (Л. Попов)

Задача 4. На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево. (С. Дориченко)

Задача 5. Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AB = BC = CK$ и $\angle KAC = 30^\circ$. Найдите угол $AKB$. (Е. Бакаев)

Задача 6. В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где $n\gt1$, требуется расставить различные целые числа от $1$ до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на $n$, — в разных строках и в разных столбцах. При каких $n$ это возможно? (А. Грибалко)

9 класс

Задача 1. Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвёртое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли мудрецы гарантированно справиться с заданием? (М. Евдокимов)

Задача 2. Найдите наименьшее натуральное число $n$, для которого $n^2+20n+19$ делится на $2019$. (Д. Шноль)

Задача 3. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$. (Е. Бакаев)

Задача 4. Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили — в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий — в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках — произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться? (И. Богданов)

Задача 5. Биссектриса угла $ABC$ пересекает описанную окружность $\omega$ треугольника $ABC$ в точках $B$ и $L$. Точка $M$ — середина отрезка $AC$. На дуге $ABC$ окружности $\omega$ выбрана точка $E$ так, что $EM\parallel BL$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекают прямую $EL$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PE = EQ$. (Е. Бакаев)

Задача 6. Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить? (М. Дидин)

10 класс

Задача 1. Приведите пример девятизначного натурального числа, которое делится на 2, если зачеркнуть вторую (слева) цифру, на 3 — если зачеркнуть в исходном числе третью цифру, … , делится на 9, если в исходном числе зачеркнуть девятую цифру. (М. Евдокимов)

Задача 2. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$. (Е. Бакаев)

Задача 3. На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево. (С. Дориченко)

Задача 4. Каждая точка плоскости раскрашена в один из трёх цветов. Обязательно ли найдётся треугольник площади 1, все вершины которого имеют одинаковый цвет? (О. Косухин)

Задача 5. Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_1,\ldots,x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. Когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0\leqslant x_1\leqslant\ldots\leqslant x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети? (И. Богданов)

Задача 6. Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке $(0,0)$ и вершинами в точках с целыми координатами, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк — фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которых можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n\gt2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.) (İ. Çanakçı, R. Schiffler)

11 класс (1 день)

Задача 1. Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\left(1-\frac{2}{f(1)}\right)\left(1-\frac2{f(2)}\right)\left(1-\frac2{f(3)}\right)\ldots\left(1-\frac2{f(2019)}\right).$$ (М. Евдокимов)

Задача 2. На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится впромежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если её впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7. (А. Галочкин)

Задача 3. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$. (Е. Бакаев)

Задача 4. Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|\gt\frac{1}{mn}$. (Д. Горяшин)

Задача 5. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1? (М. Евдокимов)

Задача 6. Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке $(0,0)$ и вершинами в точках с целыми координатами, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк — фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которых можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n\gt2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.) (İ. Çanakçı, R. Schiffler)

11 класс (2 день)

Задача 1. Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n\gt1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11. (Д. Горяшин)

Задача 2. Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти ($x\gt0$, $y\gt0$) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами? (А. Бегунц)

Задача 3. У многогранника, изображённого на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего? (А. Попов)

Задача 4. Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение $$a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots$$ $$\ldots+a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0$$ имеет хотя бы один действительный корень. (О. Косухин)

Задача 5. На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц? (И. Шейпак)


Другие годы: 2018, 2017, 2016