Математическая регата 11 классов 11.12.1999

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Вычислите: (cos 36^o) - (sin 18^o) .

1.2. Найдите наименьший радиус круга, из которого можно вырезать треугольник, длины сторон которого 4; 5 и 7 см.

1.3. Представьте число 1999 в виде частного от деления пятой степени какого-либо натурального числа и седьмой степени какого-либо натурального числа.

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Решите уравнение:

(1/x/(x+1)) + (1/(x+1)/(x+2)) + (1/(x+2)/(x+3)) + (1/(x+3)(x+4)) = 2

2.2. O - точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOA равны между собой. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3; 4 и 6. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA.

2.3. В школьной олимпиаде по математике участвовало 100 человек, по физике - 50 человек, по информатике - 48 человек. Когда каждого из учеников спросили, в скольких олимпиадах он участвовал, ответ "по крайней мере в двух" дали в два раза меньше человек, чем ответ "не менее, чем в одной", а ответ "в трех" - втрое меньше человек, чем ответ "не менее, чем в одной". Сколько всего учеников приняло участие в этих олимпиадах?

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Найдите наименьшее значение выражения: (x-y)/(x²+y²)^1/2 .

3.2. Ортогональными проекциями некоторого тела на каждую из двух данных плоскостей являются круги. Докажите, что их диаметры равны.

3.3. Найдите все такие х, что tg x и tg 2x являются целыми числами.

Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Существует ли функция f(х), удовлетворяющая двум условиям:
1) её область определения - все действительные числа; 2) f(х²)=х ?

4.2. Площадь полной поверхности треугольной пирамиды равна S. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, вершинами которой являются точки пересечения медиан граней данной пирамиды.

4.3. При каких целых n значение выражения (n²-n+1)^1/2 является целым числом?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Укажите какую-нибудь функцию, которая дифференцируема на (-oo, +oo), а ее производная дифференцируема при всех х, кроме целых.

5.2. Докажите, что сумма синусов внутренних углов выпуклого 1999-угольника меньше 2p.

5.3. Верно ли, что в любой арифметической прогрессии с натуральными членами найдутся два числа с одинаковой суммой цифр в десятичной записи?

Результаты