Математическая регата 8 классов 13.05.2000

Задания | Результаты | Решения

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Сколько корней имеет уравнение:
(1999-2000x)1/2+(2001x-2000)1/2 ?

1.2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, а прямые AD и BC - в точке Q. Докажите, что AB | PQ.

1.3. Запишите наибольшее десятизначное число, кратное семи, все цифры в десятичной записи которого различны.


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Найдите значение выражения:
((2+3)*(22+32)*...*(2256+3256)*(2512+3512)+21024)/31024

2.2. В равнобокую трапецию с длинами оснований 8 см и 18 см вписана окружность. Найдите ее радиус.

2.3. Сто сумасшедших последовательно красят доску 100*100 в сто цветов, соблюдая единственное правило: в одной строке и в одном столбце не может оказаться двух клеток, раскрашенных одинаково. Смогут ли 99 сумасшедших правильно докрасить доску, если первый сумасшедший уже раскрасил "свои" сто клеток?


Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка - булочку, то они вместе потратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка - пирожок. Цена пирожка и цена булочки различаются больше, чем на 50 копеек. Известно также, что мальчиков больше, чем девочек. На сколько? Что дороже, пирожок или булочка, и на сколько?

3.2. Две противоположные стороны АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD лежат на перпендикулярных прямых. Расстояние между серединами сторон ВС и AD равно 5. Найдите расстояние между серединами диагоналей АС и BD.

3.3. Можно ли на доску 5*5 поставить три шахматных коня так, чтобы они "били" все незанятые ими клетки?


Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

4.1. При каких значениях а уравнения x3+ax+1=0 и x4+ax2+1=0 имеют хотя бы один общий корень?

4.2. Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до всех вершин и до всех сторон треугольника - наименьшая.

4.3. Найдите все целые а и b, такие что а4+4b4 является простым числом.


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVСумма
баллов
Место
123123123123
63017088875962I-II
50677018865962I-II
5А(Долгопрудный)0100007067042513-14
5Б(Долгопрудный)60007024840839IV-V
0100700580002117
50007081770338VI
406001001086412710-12
109А0300018181012316
109Б0000008020001020-21
152А0301700380032513-14
152Б000000101100322
174000000000101223-24
21813070060879243III
5485000301186002415
1101500150808703377
1189А000070808800318
1189Б1001008087022710-12
1514А60517181800239IV-V
1514Б500270608001299
1514B5000712020001718
15600000011080001020-21
1694А0060713800022710-12
Новая гуманитарная школа А100100000000223-24
Новая гуманитарная школа Б0000004080001219
Rambler's
Top100 Rambler's Top100