Математическая регата 10 классов 21.04.2001

Задания | Результаты | Решения (doc-файл)

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения аsin2x + bcos2x, где a и b - действительные числа.

1.2. Точки В и С делят полуокружность с диаметром AD на три равные части (см. рис.). Найдите площадь фигуры САВ, ограниченной хордами АВ и АС и дугой ВС, если радиус полуокружности равен R.

1.3. Пусть S(x) - сумма цифр натурального числа x. Решите уравнение: x + S(x) = 2001.


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Приведенный квадратный трехчлен P(x) имеет положительный дискриминант D. Сколько корней имеет уравнение P(x) + P(x+D1/2) = 0?

2.2. В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что AC = 2AB.

2.3. Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел таких, что наименьшее общее кратное первых трех из них больше, чем наименьшее общее кратное трех следующих?


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Найдите все значения а, для которых уравнение ax2 - 2x + 2a2 - 4 = 0 имеет только целые корни.

3.2. О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Точка D лежит на стороне АС, причем отрезок BD перпендикулярен прямой AO. Найдите длину отрезка AD, если АС = b; АВ = с.

3.3. Дана кучка из 2001 камня. Ее требуется разбить на 2001 кучку по одному камню в каждой, причем за один "шаг" разрешается разбивать любую из уже имеющихся кучек камней на две непустые кучки. На каждом "шаге": если количество камней в двух кучках, получающихся при разбиении, различно, то оплачивается штраф - 1 рубль, если же оно одинаково, то штраф не платится. Какой наименьший штраф придется заплатить для того, чтобы осуществить указанное разбиение?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Функция f(x) при всех действительных x удовлетворяет уравнению 2f(x) + f(x2-1) = 1. Какие значения может принимать f(-21/2) ?

4.2. Существуют ли четыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости, такие, что каждый из треугольников АВС, ABD, ACD и BCD является тупоугольным?

4.3. На плоскости задано конечное множество точек так, что для любых двух точек А и В из данного множества существует точка М из этого же множества такая, что /АМВ = a, где a - фиксированное число. Найдите значение a.


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Сколько действительных корней имеет уравнение: x37 + x8 + 1 = 0?

5.2. Существуют ли на плоскости два выпуклых четырехугольника такие, что стороны каждого из них лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого?

5.3. Кучку из N спичек произвольным образом разбили на две кучки, подсчитали количество спичек в каждой кучке и записали их произведение. Затем, одну из новых кучек опять разбили на две, опять подсчитали количество спичек в каждой и записали новое произведение. Этот процесс продолжали до тех пор, пока не получили N кучек по одной спичке в каждой. Тогда, все полученные произведения сложили и получили число S. Найдите S.


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVVСумма
баллов
Место
123123123123123
2 г. Фрязино 021007000001-1121
7 (А) 5307070070310033614
7 (Б) 2400701000000001420
7 г. Ступино (А) 000010000000-1 26
7 г. Ступино (Б) 101000000040-6 23-24
11 г. Долгопрудный (А) 0640170000601002517
11 г. Долгопрудный (Б) 0000000070010008 22
17 (А) 0100000000211005 25
17 (Б) 603027400820909508
57 564007207841970602
109 (А) 400007007830990479
109 (Б) 2010771010219003116
109 (В) 2000001000300006 23-24
152 2550041071319134211
218 (А) 662377007861909711
218 (Б) 5550701068110003913
1101 (А) 666064107141911537
1101 (Б) 6610700070409004012
1101 (В) 0211602000109102318
1511 (А) 4662003671008034610
1511 (Б) 666057307021704546
1514 (А) 610777106801903563
1514 (Б) 663777107800111554-5
1514 (В) 0050770050007103215
1523 256746106801900554-5
Ионосферная школа г. Боровск500027000001-1519
Rambler's
Top100 Rambler's Top100