Математическая регата 11 классов 16.12.2000

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Решите систему уравнений:

{	xy = 1;
	x + y + cos2 z = 2

1.2. Существует ли пирамида, для которой найдутся ровно семь плоскостей, каждая из которых равноудалена от всех вершин пирамиды?

1.3. Сколько существует натуральных n таких, что 2000 < n^1/2 < 2001?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Решите уравнение: x² - 5x - 4x^1/2 + 13 = 0.

2.2. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника.

2.3. Написано уравнение: ... x³ + ... x² + ... x + ... = 0 без коэффициентов. Двое по очереди ставят коэффициенты (действительные числа). Второй игрок стремится к тому, чтобы хотя бы один корень уравнения был целым. Может ли первый ему в этом помешать?

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. Р(x) = x³ - 6x² + 12x - 7. Укажите какую-нибудь прямую, на которой график Р(x) отсекает равные отрезки.

3.2. АВСА₁В₁С₁ - прямая треугольная призма. Ее сечение ВСА₁ имеет площадь Q. Найдите объем призмы, если расстояние от С₁ до плоскости этого сечения равно h.

3.3. При каких натуральных n число A = 1313...13 (всего 2n цифр) делится на 63?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. При каких значениях а система уравнений

{	2|x| + |x| = y + x2 + a;
	x2 + y2 = 1

имеет единственное решение?

4.2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A - прямой, E - точка пересечения диагоналей, точка F - основание перпендикуляра, опущенного из E на сторону АB. Найдите /CFE, если /DFE = a.

4.3. Последовательные нечетные числа сгруппированы следующим образом: 1; (3; 5); (7; 9; 11); (13; 15; 17; 19): Чему равна сумма чисел в n-ой группе?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Р(x) = (x-4)(x-3)(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) . Найдите сумму коэффициентов при четных степенях Р'(x).

5.2. В треугольнике ABC: /C = 10^o, /B = 20^o. Вне треугольника выбрана точка M так, что треугольник CMB - правильный (точки M и А лежат в разных полуплоскостях относительно ВС). Найдите /MAB и /MAC.

5.3. Не используя микрокалькулятор, сравните значения выражений: arcsin(arccos m) и arccos(arcsin m), если m = (sin 1 + cos 1)/2 .

Результаты