Математическая регата 9 классов 25.11.2000

Задания | Результаты | Решения (doc-файл)

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Решая задачу: "Какое значение принимает выражение x2000 + x1999 + x1998 + 1000x1000 + ... + 1000x999 + 1000x998 + 2000x3 + 2000x2 + 2000x + 3000 (x - действительное число), если x2 + x + 1 = 0? ", Вася получил ответ 3000. Прав ли Вася? Ответ обосновать.

1.2. Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)?

1.3. Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Квадратный трехчлен y = ax2 + bx + c не имеет корней и а + b + c > 0. Найдите знак коэффициента с.

2.2. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

2.3. Назовем натуральное число "замечательным", если оно - самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных замечательных чисел?


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

3.1. На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: y2 - |y| = x2 - |x|.

3.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E, F и G - середины сторон AB, BC и AD соответственно, причем, GE | AB, GF | BC. Найдите угол ACD.

3.3. Тридцать студентов с пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причем однокурсники - одинаковое количество задач, а студенты с разных курсов - разное. Сколько студентов придумали по одной задаче?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

4.1. Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

4.2. Диагонали равнобокой трапеции АВСD с боковой стороной АВ пересекаются в точке Р. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника ABP?

4.3. Корни уравнения x2 + ax + 1 = b - целые, отличные от нуля, числа. Докажите, что число

a2 + b2 является составным.


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

5.1. Про квадратный трехчлен f(x) = ax2 - ax + 1 известно, что |f(x)| < 1 при 0 < x < 1. Найдите наибольшее возможное значение а.

5.2. Дан тупоугольный треугольник АВС. На стороне АС, лежащей против тупого угла, укажите такие точки D, что отрезок BD является средним геометрическим отрезков AD и CD.

5.3. Докажите, что среди чисел вида 19991999...199900...0 найдется хотя бы одно, которое делится на 2001.


Результаты

Команда
школы
IIIIIIIVVСумма
баллов
Место
123123123123123
2 601311000808000289-10
5А Долгопр.160010560020900307
5Б Долгопр.601770307808000474
4061101000000001315-16
100002060000000918-19
11 000110000000000224
25/1018Б 000110300000000520
91А 0400703000080002211
91Б 366027377000009502-3
109А 000700100010000918-19
109Б 025710000800009325-6
109В 6012000000000031217
152 0013703070000002112-13
174 000100000000000125-27
218 000120001000000421-22
429 000100000000000125-27
1018 0000703100060001714
1101А 030707600800100325-6
1101Б 100070700006503298
1209 000100300000000421-22
1514А 661777771000400531
1514Б 661077707000900502-3
1523 0001173100000001315-16
1543А 000117300800800289-10
1543Б 0600071007000002112-13
1560 000120000000000323
1694 000000000000100125-27
Rambler's
Top100 Rambler's Top100