Математическая регата 10 классов 20.04.2002

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Квадратный трехчлен ax² + bx + c имеет действительные корни. Верно ли, что трехчлен
a³x² + b³x + c³ также имеет действительные корни?

1.2. Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.

1.3. Найдите две последние цифры в десятичной записи числа: 1! + 2! + ... + 2001! + 2002! (Напомним, что n! = 1*2*3*...*(n - 1)n.)

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. (a_n) - арифметическая прогрессия, a₁ = 1. S₂₀₀₂ - наибольшая среди всех S_n. Какие значения может принимать разность прогрессии?

2.2. Верно ли, что если длина каждой высоты треугольника меньше 1, то его площадь меньше 1?

2.3. Изобразите 6 точек на плоскости так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.

Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

3.1. Найдите наибольшее значение выражения sinx*cosy*cosz + cosx*siny*sinz

3.2. Верно ли, что если длина каждой медианы треугольника меньше 1, то его площадь меньше 1?

3.3. Нарисуйте эскиз графика непрерывной функции, которая каждое действительное значение принимает ровно три раза.

Четвёртый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

4.1. Найдите наименьшее значение выражения y/x, если известно, что x²-10x+y²-2y+1=0.

4.2. Проекциями некоторой фигуры на каждую из двух перпендикулярных плоскостей являются правильные треугольники. Могут ли они быть неравными?

4.3. Можно ли функцию y = x³ представить в виде суммы четной и периодической функций?

Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

5.1. Решите уравнение:
(2x + 2)(5 - 2x)(4x² + 8x + 11) = 10(2x + 3)².

5.2. Проекциями некоторого треугольника на каждую из двух перпендикулярных плоскостей являются правильные треугольники. Могут ли они быть неравными?

5.3. Найдите все натуральные решения системы уравнений:

{	k2+p=n2
	p2+k=m2

Результаты