Экспериментальная математическая регата 8 классов 20.10.2001

Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. Найдите a⁶ + 3a²b² + b⁶, если а² + b² = 1.

1.2. Две стороны четырехугольника равны 1 и 4. Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину 2. Найдите периметр четырехугольника.

1.3. После игры в футбол После игры в футбол (два тайма по 45 минут) ребята делились впечатлениями.
Петя: "Я забил на один гол больше, чем все остальные, вместе взятые".
Миша: "Во втором тайме было забито вдвое больше голов, чем в первом".
Олег: "Из всех мячей, забитых в первом тайме, я забил половину".
Верно ли, что каждый из них сказал правду?

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Сравните числа: 99! и 50⁹⁹. (Напомним, что n! = 1*2*3*...*(n-1)*n .)

2.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD и равны углы A и С. Верно ли, что этот четырехугольник - параллелограмм?

2.3. Варианты второго тура математической регаты готовились так: на каждый лист печаталось несколько одинаковых условий и затем каждый лист разрезался. Получилось так, что количество подготовленных условий совпало с количеством команд. Сколько команд могло участвовать в регате, если сделано р² разрезов, где р - простое число?

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

3.1. Найдите все натуральные значения n, для которых число n⁵ + n + 1 является простым.

3.2. В треугольнике АВС: /A = 15^o, /B = 30^o. Через точку С проведен перпендикуляр к АС, который пересекает сторону АВ в точке М. Найдите ВС , если АМ = 5.

3.3. Из квадрата со стороной 5 клеток вырезали одну клетку, после чего его разрезали на 8 одинаковых прямоугольников размером 3*1. Какую клетку изначально вырезали из квадрата?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

4.1. Найдите наибольшее возможное значение выражения:
20x-4y+6z-2x²-4y²-3z²-2 . При каких При каких значениях переменных оно достигается?

4.2. Даны две перпендикулярные прямые и точка С, не принадлежащая ни одной из них. Рассмотрим все прямоугольники СDМЕ такие, что вершина D лежит на одной из данных прямых, а вершина Е - на другой. Найдите геометрическое место точек М.

4.3. Существует ли такое натуральное число, которое при умножении его на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении его на 3 - кубом какого-то натурального числа, после его умножения на 5 - пятой степенью какого-нибудь натурального числа, а после его умножения на 7 - седьмой степенью какого-либо натурального числа?

Результаты