Первый тур (10 минут; каждая задача — 6 баллов).
1.1. Сколько корней имеет уравнение 
?
1.2. В треугольнике АВС проведены перпендикуляры к стороне АВ в точке В и к стороне АС в точке С, которые пересекаются в точке А1. Аналогично, В1 — точка пересечения перпендикуляра к стороне АВ в точке А и к стороне ВС в точке С, а С1 — точка пересечения перпендикуляра к стороне АС в точке А и к стороне ВС в точке В. Докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
1.3. На какую наибольшую степень двойки делится число 32003 + 1?
Второй тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).
2.1. Известно, что число p является корнем уравнения x3–2x–1=0. Найдите значение выражения p4+2p3–3p2–7p+2001.
2.2. Существует ли правильный многоугольник, одна из диагоналей которого равна сумме двух других?
2.3. Про функцию f(x) известно, что при любых а и b выполняется равенство: f(a+b)+f(a-b)=2f(a)+2f(b). Верно ли, что f(x) — четная функция?
Третий тур (15 минут; каждая задача — 7 баллов).
3.1. Решите уравнение: x4 + 4xy2 + 2y4 + 1 = 0.
3.2. Существуют ли прямоугольник и точка S (не обязательно лежащая в его плоскости) такие, что расстояния от точки S до вершин прямоугольника в каком-либо порядке равны 1, 3, 5 и 7?
3.3. Верно ли, что существует бесконечное множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел?
Четвертый тур (20 минут; каждая задача — 8 баллов).
4.1. Известно, что для сторон а, b и с треугольника АВС выполняется равенство: а + b = 3c. Найдите ctg A/2 ctg B/2, где А и B — углы, противолежащие сторонам а и b соответственно.
4.2. Точка М — середина стороны ВС выпуклого четырехугольника АВСD, Ð АМD = 120°. Докажите, что АВ + BC/2 + CD ³ AD.
4.3. Вася записал по кругу несколько натуральных чисел, так что любые два соседних числа различаются на единицу. После этого он подсчитал сумму A всех чисел, которые больше каждого из двух своих соседей и сумму B всех чисел, которые меньше каждого из двух своих соседей. Эти две суммы Вася сообщил Пете. Сможет ли Петя по числам A и B установить количество чисел, записанных по кругу?
Пятый тур (25 минут; каждая задача — 9 баллов).
5.1. Докажите, что из любых пяти чисел можно выбрать два числа x и y таких, что выполняется неравенство: 0£(x-y)/(1+xy)£1.
5.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD Е — точка пересечения диагоналей. SABE=SDCE=1, SABCD£4, AD = 3. Найдите ВС.
5.3. Внутри квадрата со стороной 1 располагается некоторая ломаная длиной 1000, не имеющая самопересечений. Существует ли прямая, имеющая общие точки не менее, чем с пятьюстами звеньями этой ломаной?
