Математическая регата 9 классов 19.11.2002

Задания | Результаты | Решения (doc-файл)

Задания


Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов)

1.1. К простому числу прибавили 400 и получили квадрат натурального числа. Каким могло быть исходное простое число?

1.2. СA и СB - касательные к окружности в точках A и B соответственно, AD - ее диаметр. Прямые DB и пересекаются в точке E. Докажите, что С - середина отрезка AE.

1.3. Можно ли число 2002 представить в виде суммы двух натуральных слагаемых, произведение которых делится на 2002?


Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

2.1. Докажите, что при всех x>0, y>0 выполняется неравенство

(x/(x4+y4)) + (y/(y4+x4)) < 1/(xy)

2.2. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные его сторонам. Точки пересечения касательных со сторонами треугольника являются вершинами шестиугольника АВСDEF. Верно ли, что противолежащие стороны этого шестиугольника попарно равны?

2.3. Укажите все натуральные значения n такие, что (n-1)! делится на n.
(Напомним, что m! = 1*2*...*(m-1)*m )


Третий тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов)

3.1. Существуют ли иррациональные числа x и y такие, что числа x+y2 и x+2y - рациональные?

3.2. В трапеции АВСD меньшее основание ВС равно боковой стороне CD. Докажите, что если AD>2BC, то РABD - тупой.

3.3. Какое наименьшее количество точек надо расположить внутри выпуклого пятиугольника АВСDE, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в точках А, В, С, D и E лежала хотя бы одна точка?


Четвертый тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов)

4.1. Представьте многочлен x7+x5+1 в виде произведения двух многочленов.

4.2. Существует ли четырехугольник, не имеющий ни центра симметрии, ни оси симметрии, который можно разрезать на два равных четырехугольника?

4.3. В компании из n человек есть "шпион" - человек, который знает каждого члена этой компании, но его не знает никто из них. Вы можете спросить любого из членов компании про любого другого человека, знает он его или нет, и получить честный ответ. Сможете ли вы выявить "шпиона", задав (n-1) вопрос?


Пятый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов)

5.1. Найдите все наборы, состоящие из 11 чисел, если известно, что каждое из этих чисел равно квадрату суммы остальных десяти чисел.

5.2. Внутри отрезка АВ взяты точки С и D так, что АС=BD. Докажите, что для любой точки О, не лежащей на прямой АВ, выполняется неравенство ОА+ОВ>ОС+OD.

5.3. Сколько различных значений можно получить, расставляя всеми возможными способами скобки в выражении 2:3:5:7:11:13:17:19:23:29?


Результаты

команда
школы
тур 1тур 2тур 3тур 4тур 5Итоговый
балл
Место
 1  2  3  1  2  3  1  2  3  1  2  3  1  2  3 
1543 Ж666762777028198821
82(Ч) А6 60077678-18529701
2 А661004777008118562
2 Е601077077008922562
1543 Г666703070000293492
1543 Е666003050080159492
2 Б631773070008500472
1543 Д100004775080551433
1101 А6 6022000048920393
2 Ж106002007080903363
2 И602073700000900343
1543 В606002700800100303
1189 Г661070005000103293
82(Ч) Б6 0701005008100283
2 Д66106000500012027 
1514 А10000207000862026 
1514 Б10100077000090025 
218 А63005200700010024 
1514 В00100207000813022 
Фрязино А15102300500020221 
2 В60470100000010019 
218 В61007200000012019 
1101 Б66000000500001018 
2 Л10200200600015017 
218 Г00600200000810017 
1189 А6010510 000012016 
1101 В30000007500-110015 
Фрязино Б10007007000000015 
2 К00000307000012013 
218 Д1 002206000010012 
1710300000500010010 
1189 Б10007000000011010 
1543 А00100000000315010 
218 Б0020000600001009 
"Квантик"3 00000050001009 
1521010000060001009 
82(Ч) В6 00000010001008 
2 Г1010020200001007 
1543 Б0 000200000-10056 
7470000000050000005 
1101 Г1010000000001205 
155410010300000000-14 
Раменское1 10010000001004 
Химки А1000000000001204 
109 А1010000000001003 
109 Б0010000000000203 
109 B0000000010011003 
15251010000000000002 
Сборная1 00000000000001 
15131000000000000001 
Химки Б0001000000000001 
1740000000000000000 
9560 100000000-10000 
1101 Д0 00000000000000 

Жёлтым цветом выделены оценки, поставленные в результате апелляций. Rambler's
Top100 Rambler's Top100