Математическая регата 7 классов 14.03.2003

1.1. Вася перемножил квадрат и куб некоторого натурального числа, отличного от единицы. Мог ли он получить шестую степень какого-то натурального числа? Обоснуйте.

1.2. Известно, что треугольники АВС и ADC √ прямоугольные равнобедренные. Следует ли из этого, что Ð АВС = Ð АDС?

1.3. Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

2.1. Известно, что а = 3²⁰⁰⁴ + 2. Верно ли, что а² + 2 √ простое число? Обоснуйте.

2.2. В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что BD = BC. Найдите CD, если AD = 4.

2.3. Существуют ли четыре числа, попарные разности между которыми равны: 2, 2, 3, 4, 5, 6? Обоснуйте.

3.1. Докажите, что если xy + z = yz + x = zx + y, то (x √ y)(y √ z)(z √ x) = 0.

3.2. ABCD √ квадрат. Треугольники АМD и AKB √ равносторонние (см. рисунок). Верно ли, что точки С, М и K лежат на одной прямой?

3.3. В трехзначном числе зачеркнули цифру в разряде сотен, затем полученное двухзначное число умножили на 7 и вновь получили исходное трехзначное число. Какое это число?

4.1. Докажите, что число является квадратом натурального числа.

4.2. Треугольник, один из углов которого равен 40° , разрезали по его биссектрисам на шесть треугольников, среди которых есть прямоугольные. Какими могли быть остальные углы исходного треугольника?

4.3. Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем √ две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2004 серебряные монеты. Сколько монет закопал Буратино?