Математическая регата 8 классов 22.10.2003

1.1. Докажите, что .

Так как , , ¼ , , то > = .

1.2. Из вершины А параллелограмма АВСD проведены высоты AK и AM. Может ли оказаться так, что точка K лежит на стороне параллелограмма, а точка М – на продолжении стороны?

Ответ: да, может (см. рис. 1).

Отметим, что в любом параллелограмме, не являющемся прямоугольником, основания высот, проведенных из вершины острого угла, лежат на продолжениях сторон, а основание одной из высот, проведенных из вершины тупого угла, может попасть на продолжение стороны параллелограмма, если угол между меньшей диагональю и одной из сторон – тупой.

1.3. Существуют ли три последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-нибудь натурального числа, отличного от единицы?

Ответ: да, существуют.

Приведем несколько примеров: 1) 48 = 3× 4²; 49 = 7²; 50 = 2× 5²; 2) 98 = 2× 7², 99 = 11× 3², 100 = 2^2× 5²; 3) 124 = 31× 2², 125 = 5³, 126 = 14× 3².

Указанные «тройки» чисел – наименьшие из возможных.

2.1. Числа a, b, c и d таковы, что a + b = c + d и a² + b² = c² + d². Верно ли, что a³ + b³ = c³ + d³?

Если a + b = c + d, то (a + b)² = (c + d)² Û a² + 2ab + b² = c² + 2cd + d², откуда, учитывая что a² + b² = c² + d², получим, что ab = cd.

2) Так как a + b = c + d Û (a + b)³ = (c + d)³ Û a³ + b³ + 3ab(a + b) = c³ + d³ + 3cd(c + d), то a³ + b³ = c³ + d³.

 

2.2. В трапеции АВСD диагонали АС и BD перпендикулярны. На большем основании AD выбрана точка М так, что BM = MD = 3 см. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 3 см.

Первый способ. Проведем прямую через вершину В, параллельную АС, которая пересечет прямую АD в точке K (см. рис. 2а). Тогда D KВD – прямоугольный, М лежит на его гипотенузе KD и равноудалена от вершин В и D, следовательно М – середина KD. Так как ВСАК – параллелограмм, то ВС = АК. Следовательно, длина средней линии составляет половину длины KD, то есть, равна 3 см.

Второй способ. Пусть О – точка пересечения диагоналей трапеции; Р – точка пересечения ВМ и АС (см. рис. 2б). По условию, D BMD – равнобедренный, значит, Ð MBD = Ð MDB = a . Так как Ð CBD = Ð MDB = a и ВО ^ РС, то ВО – высота и биссектриса треугольника РВС, поэтому, этот треугольник – также равнобедренный, то есть, ВР = BC.

Так как Ð APM = Ð BPO = 90° – a = Ð OAD, то равнобедренным является и треугольник АМР: АМ = PM. Таким образом, средняя линия трапеции равна:

= = = 3 (см).

2.3. В круговом турнире каждый участник встретился с каждым один раз (победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Единоличным победителем турнира стал Иванов. Затем за употребление допинга был дисквалифицирован Петров, результаты всех игр с его участием были аннулированы, и единоличным победителем оказался Сидоров. Петров утверждает, что если бы дисквалифицировали не его, а Сидорова, то он (Петров) стал бы единоличным победителем. Может ли это быть правдой?

До дисквалификации Петрова Иванов опережал Сидорова не менее чем на пол-очка, а после – уступил ему не менее, чем пол-очка. Следовательно, Иванов выиграл у Петрова. Так как после дисквалификации Сидоров опередил Иванова, то при пересчете Сидоров очков не терял, значит, Сидоров проиграл Петрову. Следовательно, при дисквалификации Сидорова Петров потеряет одно очко и опередить Иванова не сможет (даже если Иванов выиграл у Сидорова и также потеряет это очко).

3.1. Решите уравнение: 2x² + 5y² – 4xy – 2y – 4x + 5 = 0.

Ответ: x = 2; y = 1.

Преобразуем данное уравнение: (x² – 4xy + 4y²) + (x² – 4x + 4) + (y² – 2y + 1) = 0 Û (x – 2y)² + (x – 2)² + (y – 1)² = 0. Так как каждое слагаемое в левой части принимает только неотрицательные значения, то полученное равенство выполняется тогда, и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю: (y – 1)² = 0 Û y = 1; (x – 2)² = 0 Û x = 2; (x – 2y)² = 0 Û x = 2y. При x = 2, y = 1, последнее равенство верно.

3.2. В прямоугольнике АВСD точка М – середина стороны ВС, точка N – середина стороны СD, Р – точка пересечения отрезков DМ и ВN. Докажите, что Ð МАN = Ð ВРМ.

Первый способ. Пусть К – середина стороны АВ (см. рис. 3). Тогда, так как BK || ND и BK = ND, то KBND – параллелограмм. Следовательно, KD || BN, то есть, Ð ВРМ = Ð KDM.

Соединим точку М c точками N и K. Так как D KDM = D NAM (по трем сторонам), то Ð KDM = Ð MAN. Следовательно, Ð ВРМ = Ð MAN, что и требовалось доказать.

Второй способ. Так как AM = MD и BC || AD, то Ð MAD = Ð MDA = Ð DMC (см. рис. 3). Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников ВСN и ADN следует, что Ð NBM = Ð NAD.

По теореме о внешнем угле для D ВМР: Ð BPM = Ð DMC – Ð NBM = Ð MAD – Ð NAD = Ð MAN, что и требовалось доказать.

3.3. У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них – щуки, треть – окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?

Первый способ. Выпишем в ряд всех знакомых Золотой рыбки и разделим их на части, учитывая, что все знакомые с номерами, делящимися на 4, – караси (К – карась, Р – другая рыба):

Р Р Р К Р Р | Р К Р Р Р | К Р Р Р | К Р Р Р | К Р Р Р | ... (все части, начиная с третьей, – одинаковые, но в последней части может быть и менее четырех знакомых).

Тогда в первой части караси составляют от общего количества, во второй части – , а в остальных – (в последней части может быть и больше, чем ). Из условия следует, что караси не могут составлять больше, чем от общего количества, поэтому, выписанный ряд должен ограничиться первой частью.

Второй способ. Из условия следует, что количество знакомых Золотой рыбки является числом вида 6n, где n – натуральное; из них: 3n щук и 2n окуней, поэтому карасей – не больше, чем n.

Пусть – количество карасей, тогда 6n = 4k + r, где 0 £ < 4. Заметим, что r ¹ 0, так как в противном случае караси составляли бы четвертую часть от всех знакомых, что невозможно, поскольку . Кроме того, так как 6n – четное число, то r ¹ 1 и r ¹ 3. Следовательно, r = 2, то есть, 6n = 4k + 2 Û 3n = 2k + 1 Û . Так как n ³ k, то k £ 1. При k = 0 число n не является целым, поэтому k = 1, тогда n = 1, то есть, 6n = 6.

Третий способ. Заметим, что количество знакомых Золотой рыбки не может быть кратно четырем, так как . Вместе с тем, оно должно быть чётным (так половина ее знакомых – щуки). Поэтому, количество ее знакомых должно быть числом вида , где – натуральное число ( ¹ 0, так как в этом случае общее количество знакомых равно двум, то есть, не кратно трем). Тогда количество щук равно , количество окуней – , а количество карасей – .

Общее количество щук, карасей и окуней не превосходит общего количества знакомых, следовательно, Û Û Û . Так как – натуральное число, то , то есть, общее количество знакомых равно 4× 1 + 2 = 6.

4.1. Верно ли, что все корни уравнения , где a, b и c – данные натуральные числа, являются целыми числами?

Из условия следует, что второй множитель – положительное число, значит, x – (ab + bc + ca) = 0 Û x = ab + bc + ca, то есть, x – целое число.

Эту же идею можно реализовать иначе: Û Û Û Þ x = ab + bc + ca.

 

4.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD: АD = ВС; Ð ABD + Ð CDB = 180° . Докажите, что Ð BАD = Ð ВCD.

Разрежем данный четырехугольник по диагонали ВD (см. рис. 4а) и, «перевернув» треугольник ВСD, вновь приложим его к диагонали ВD (см. рис. 4б). Получился равнобедренный треугольник АB’C’ (АB’ = B’C’). Следовательно Ð B’АD’ = Ð В’C’D’, то есть, Ð BАD = Ð ВCD, что и требовалось доказать.

Отметим, что выходя за рамки материала, уже изученного восьмиклассниками, можно предложить другой способ решения (см. рис. 4а).

Пусть Ð AВD = a , тогда Ð СDB = 180° – a . По теореме синусов из D AВD: . Аналогично, из D ВСD: . Учитывая, что АD = ВС и sin(180° – a ) = sina , получим, что sinÐ A = sinÐ C.

Так как Ð ABD + Ð CDB = 180° , то либо каждый из этих углов – прямой, либо один из них – острый, а другой – тупой. В первом случае ясно, что углы А и С – острые, поэтому, из равенства их синусов следует равенство углов.

Во втором случае, без ограничения общности можно считать, что Ð ABD = a – острый, а Ð CDB – тупой. Тогда Ð С – острый, следовательно, из D ВСD получим, что BD < BC. Предположим, что Ð А – не острый, тогда в D AВD: Ð А > a , то есть, BD > AD. Значит, BC > AD, что противоречит условию.

Таким образом, Ð А – острый, поэтому Ð А = Ð C, что и требовалось доказать.

 

4.3. Дан круг радиуса 10см. На одном из его радиусов отмечены пять точек: на расстояниях 1, 3, 5, 7 и 9 см от центра соответственно. Разрежьте этот круг на 5 равных частей так, чтобы в каждой части оказалась ровно одна точка.