Математическая регата 10 классов 23.04.2005

Задания | Результаты | Решения (doc-файл) | Решения (html-файл)

10 класс.

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Найдите все целые решения неравенства: |x + 3y – 5,5| + |x – 3y| £ .

1.2. Противоположные стороны шестиугольника попарно равны и параллельны, кроме того, в него можно вписать окружность. Обязательно ли этот шестиугольник – правильный?

1.3. В некотором числе переставили цифры и получилось в три раза меньшее число. Докажите, что исходное число делилось на 27.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

2.1. Найдите все значения параметра а, для которых система уравнений имеет единственное решение.

2.2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. На высоте AA1 выбрана такая точка D, что A1D = C1D. Точка E – середина стороны AC. Докажите, что точки A, C1, D и E лежат на одной окружности.

2.3. Имеет ли уравнение 5x4 = 4y3 + 3 целочисленные решения?

Третий тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).

3.1. Докажите, что если , то sinx + tg2x + sin3x + tg4x + ... < 1,2.

3.2. Внутри треугольника выбраны две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (стороны рассматриваются в том же порядке) – 4, 5 и 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

3.3. Пятизначное число назовем «неразложимым», если оно не раскладывается в произведение двух трехзначных чисел. Какое наибольшее количество таких чисел может идти подряд?

Четвертый тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

4.1. Докажите, что для любых значений x выполняется неравенство: .

4.2. Можно ли разрезать куб на три равные части, не являющиеся ни параллелепипедами, ни пирамидами?

4.3. На шахматной доске стоят черная и белая шашки. За один ход разрешается сдвинуть одну из них на соседнюю (по стороне) клетку. Существует ли такая последовательность ходов, при которой каждое возможное расположение шашек встречается ровно один раз?

Пятый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

5.1. Существует ли многочлен P(x) такой, что P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3, P(4) = 4, P(5) = 5, а его значения при всех остальных натуральных x – иррациональны?

5.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD: BC = 4, Ð АDС = 60° , Ð BАD = 90° . . Найдите длину CD.

5.3. Каких треугольников с целыми сторонами больше: с периметром 2005 или с периметром 2008?

Команда

I тур

II тур

III тур

IV тур

V тур

Сумма

Диплом

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

192А

6

6

6

7

0

7

5

7

7

6

8

8

9

0

9

91

I

СУНЦ А

5

0

6

7

7

7

6

7

0

0

3

0

9

9

9

75

II

5

0

6

7

7

7

7

0

7

0

0

8

9

0

9

72

II

1514Б

0

6

6

7

0

0

3

0

0

8

0

8

9

9

9

65

II

СУНЦ Б

6

0

6

4

0

0

7

7

0

8

8

0

9

0

8

63

II

82А Черноголовка

6

3

6

7

7

7

7

0

0

0

0

1

9

0

9

62

II

1514А

2

0

6

7

7

7

7

2

0

8

0

0

9

0

1

56

III

1543Д

0

1

0

1

7

7

7

7

0

8

0

9

0

9

56

III

СУНЦ Д

6

0

6

7

0

7

7

0

7

-1

0

0

0

0

9

48

III

1543Е

3

6

6

1

7

0

5

0

7

2

0

0

0

9

0

46

III

192Б

6

6

6

4

0

0

7

0

0

0

0

0

9

0

6

44

III

1514В

0

6

6

0

0

7

7

0

0

0

8

1

9

0

0

44

III

1543Б

0

0

6

1

0

7

7

0

7

-1

0

0

9

0

8

44

III

1189Б

0

0

6

0

0

0

7

0

0

0

8

0

9

0

9

39

ПП

1543А

0

5

6

1

0

0

0

7

0

0

8

8

0

0

4

39

ПП

1511Б

6

0

6

1

0

7

7

7

0

4

0

0

0

0

0

38

ПП

2007Б

6

0

6

1

0

0

7

0

1

0

8

0

0

0

9

38

ПП

1189В

6

6

6

4

0

0

7

0

0

-1

0

0

9

0

0

37

ПП

СУНЦ В

6

0

6

0

0

0

7

0

0

0

8

0

9

0

1

37

ПП

1511А

6

0

6

1

0

0

5

0

0

0

0

0

9

0

9

36

ПП

1523

5

0

0

1

0

0

5

7

1

0

8

0

9

0

0

36

ПП

444

6

1

0

2

0

7

2

7

0

0

0

0

9

0

1

35

ПП

1537А

0

0

0

4

0

0

7

7

0

8

0

0

9

0

0

35

ПП

82В Черноголовка

0

0

6

1

5

7

7

5

3

0

0

0

0

0

0

34

ПП

0

6

1

7

7

7

0

0

0

0

0

0

0

0

4

32

1543Г

0

6

6

0

0

0

7

6

0

6

0

0

0

0

0

31

1741А

0

0

0

0

0

0

6

6

6

8

0

0

0

0

0

26

6

6

0

1

0

0

1

0

7

4

0

0

0

0

0

25

218А

0

0

0

1

0

0

7

7

0

0

0

0

9

0

1

25

6

0

6

1

7

0

3

0

0

0

0

0

0

0

1

24

1189А

0

6

6

4

0

0

7

0

1

0

0

-1

0

1

0

24

Переславль

0

0

0

7

0

0

8

8

0

0

0

0

23

1543В

0

0

0

0

0

0

7

7

0

7

0

0

0

0

1

22

Троицк А

1

0

6

1

0

0

0

0

0

6

0

8

0

0

0

22

2A

6

0

6

1

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

20

лицей Троицк

0

6

6

0

3

0

1

2

0

0

0

0

0

0

0

18

511

1

0

0

1

0

0

7

4

3

0

0

0

0

1

0

17

1411

0

6

1

0

0

0

0

7

3

0

0

0

0

0

0

17

218Б

0

0

6

1

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

16

82Б Черноголовка

0

0

0

0

7

0

6

0

0

2

0

0

0

0

0

15

1741Б

0

0

6

1

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

0

13

1101А

5

0

0

1

0

0

5

0

0

0

0

0

0

0

0

11

152Б

0

0

0

1

0

0

2

7

0

0

0

0

0

0

0

10

1101В

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

9

1537Б

0

0

0

0

7

0

3

0

0

-1

0

0

0

0

0

9

2007Г

0

0

0

1

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

8

2007А

0

0

0

0

0

0

7

0

0

0

0

0

0

0

0

7

2007В

0

0

0

0

0

0

6

1

0

0

0

0

0

0

0

7

1101Б

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

0

0

0

5

Видное

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

3

-1

0

0

0

0

0

0

0

2

152А

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1580

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

Троицк Б

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

ЮВАО

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1990А

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1990Б

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Квантик

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Rambler's
Top100 Rambler's Top100