Математическая регата 7 классов 12.03.2005

1.1. Из спичек сложено неверное равенство. Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

1.2. Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который также сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен Васиному?

1.3. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см

2.1. Температуру можно измерять в градусах Цельсия и Фаренгейта. Известно, что вода замерзает при 0°С, что соответствует 32°F, а кипит при 100°С или при 212°F. Сейчас на улице 5 градусов мороза по Цельсию. Какова температура по Фаренгейту?

2.2. На столе лежат шесть непересекающихся контуров из проволоки, частично накрытые листом бумаги (см. рис.). Известно, что три контура сделаны из медной проволоки (она потолще), а три – из тонкой алюминиевой, причем один из контуров закрыт полностью, а пять других частично видны. Какой контур закрыт полностью, алюминиевый или медный? Свой ответ достаточно проиллюстрировать рисунком, показывающим расположение всех шести контуров.

2.3. Найдите наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от двух до десяти.

3.1. Все акции компаний «Карабас» и «Барабас» вместе стоят 90 золотых монет. У Буратино есть 25% акций компании «Карабас» и 75% акций компании «Барабас» общей стоимостью 30 золотых монет. Найдите стоимость всех акций каждой компании.

3.2. На плоскости расположены пять точек А, В, С, D и Е так, что АС = 5 см, AE = 4 см; ВС = 14 см, BD = 2 см, DE = 3 см. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.

3.3. В ряд выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено?

4.1. Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?

4.2. Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники периметра 2. Сколько прямоугольников могло получиться? (Укажите все возможные значения и обоснуйте.)

4.3. В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали еще некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?