Математическая регата 9 классов 9.10.2004

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Сократите дробь: .

1.2. В прямоугольной трапеции АВСD высота АВ равна сумме оснований АD и ВС. Биссектриса угла АВС пересекает сторону СD в точке K. В каком отношении эта точка делит СD?

1.3. В какое наименьшее количество цветов надо раскрасить доску 100´ 100, чтобы никакие две соседние клетки (по горизонтали, вертикали или диагонали) не были окрашены в одинаковый цвет?

2.1. Известно, что каждое из уравнений x² + 2bx + c = 0 и x² + 2cx + b = 0, где b > 0 и с > 0, имеет хотя бы один корень. Произведение всех корней этих уравнений равно 1. Найдите b и c.

2.2. Существуют ли четыре отрезка с длинами a, b, c и d такие, что можно составить две трапеции: одну с основаниями а и b и боковыми сторонами c и d, а другую – с основаниями c и d и боковыми сторонами а и b?

2.3. Существует ли натуральное n такое, что число n²⁰⁰⁴ – 1 является какой-либо степенью двойки?

3.1. Пусть xyz = 1 и , , . Вычислите a² + b² + c² – abc.

3.2. В треугольнике АВС точка М – середина АС, МD и МЕ – биссектрисы треугольников АВМ и СВМ соответственно. Отрезки ВМ и DE пересекаются в точке F. Найдите MF, если DE = d.

3.3. На прямой сначала отметили 100 точек, затем отметили середины всех отрезков с концами в ранее отмеченных точках. Какое наименьшее количество точек могло получиться в итоге?

4.1. Докажите, что .

4.2. Существует ли треугольник, в котором радиус описанной окружности равен радиусу вневписанной окружности (то есть, окружности, касающейся одной из его сторон и продолжений двух других)?

4.3. Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизначное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?

5.1. Существуют ли числа a, b, c и d, удовлетворяющие неравенству 0 < a < b < c < d, такие что уравнения x⁴ + bx + c = 0 и x⁴ + ax + d = 0 имеют хотя бы один общий корень?

5.2. Дан квадрат АВСD. Луч АЕ пересекает сторону ВС, причем Ð ВАЕ = 30° , а Ð ВСЕ = 75° . Найдите Ð CBЕ.

5.3. На окружности расположены шестнадцать точек. Эти точки требуется соединить восемью хордами, не имеющими общих точек (даже общих концов). Сколькими способами это можно сделать?